02第二章极限与连续.docx

其次章极限与函数一、本章学习要求与内容提要(一)学习要求1 .了解极限的描述性定义.2 .了解无穷小、无穷大的概念及其相互关系和性质.3 .会用两个重要极限公式求极限.4 .驾驭极限的四则运算法则.5 .理解函数在一点连续的概念，知道间断点的分类.6 .了解初等函数的连续性及连续函数在闭区间上的性质(最大值和最小值定理、根的存在定理、介值定理).7 .会用函数的连续性求极限.重点极限的求法，两个重要极限，函数在一点连续的概念.难点间断点的分类，分段函数在分段点的连续性.()内容提要1.极限的定义(1)函数极限、数列极限的描述性定义极限定义表类型描述性定义极限记号x时函数f()的极限设函数y=(x)在W>bS为某个正实数)时有定义，假如当自变量/的肯定值无限增大时，相应的函数值无限接近于某一个固定的常数A,则称A为Xf8(读作“X趋于无穷”)时函数幻的极限Iimf(x)=A或.tf(x)(x00)Xf+8时函数F(X)的极限设函数)，=/(外在(凡内)3为某个实数)内有定义，假如当自变量X无限增大时，相应的函数值/*)无限接近于某一个固定的常数A,则称4为x+(读作一趋于正无穷”)时函数/(X)的极限Iimf(x)=A或.r4)/(x)A(X+8)x-时函数A外的极限设函数y=(x)在(,)3为某个实数)内有定义，假如当自变量W无限增大且XVO时，相应的函数值AX)无限接近于某一个固定的常数A,则称A为x"(读作“X趋于负无穷”)时函数/(X)的极限Iim/(x)=A或XT-OO/(x)A(x-)XX0时函数/(x)的极限设函数y=/(x)在点见的去心邻域N(£。)内有定义，假如当自变量X在NC,R内无限接近于与时，相应的函数值f(x)无限接近于某一个固定的常数A,则称A为当xx°(读作“x趋近于x。”)时函数/3的极限Iim/(x)=A或XTXO/(x)A(Xx0)溢时函数/*)的极限设函数y=/(幻在点/的左半邻域(%-&%)内有定义，假如当自变量X在此半邻域内从/左侧无限接近于X。时，相应的函数值AX)无限接近于某个固定的常数A,则称A为当X趋近于与时函数/(x)的左极限Iim/(x)=A或-<f(x)A(xx)期(A0-O)=AH时函数/()的极限设函数)，=/(X)的右半邻域(与+b)内有定义，假如当自变量X在此半邻域内从与右侧无限接近于X。时，相应的函数值/3无限接近于某个固定的常数A,则称A为当X趋近于与时函数/(x)的右极限Iim/(x)=A或/(x)A(xH)期(与+0)=4数列叫的极限对于数列，若当自然数"无限增大时，通项”无限接近于某个确定的常数，则称A为当趋于无穷时数列U的极限，或称数列%收敛于4Iim%=A或toounA(n>Oo)若数列W的极限不存在，则称数列国发散IirnW“不存在t(2)单侧极限与极限的关系定理lim(x)=A的充分必要条件是lim(x)=Iim/(x)=A.Iimf(x)=A的充分必要条件是Iim/(X)=Iimf(x)=A.*TQx5(3)极限存在准则单调有界数列极限的存在定理单调有界数列必有极限.夹逼准则若当XWNJ5)时，有g(x)f(x)h(x)9且Iimg(x)=A,Iimh(x)=A，r则Iim/(x)=A.夹逼准则对自变量的其他改变过程也成立.2,极限的四则运算法则设IimF(X)及Iimg(x)都存在，则(1) HmIy(X)±g(x)=Iimf(x)±Iimg(x);(2) IimIy(X)g(x)=Iim/(x)Iimg(x),XTXOqXqIimQ,(x)=CIim/(x)(C为随意常数)；0XAIim四二Iim四(Iimg(x)0)XfMg(x)XTXOg()s上述极限四则运算法则对自变量的其他改变过程下的极限同样成立.(3) 个重要极限(1) Iim也=1,一般形式为Iim回3=1(其中心)代表X的随意KToX”(x>0W(X)函数).(2) Iimfl+-=e,vxVXZ«(-V)一般形式为Iim1+-1.=e(其中“代表X的随意函数).4.无穷小量与无穷大量在探讨无穷小量与无穷大量的概念及其相关性质时，均以的极限改变过程为例.其他极限改变过程,有完全类似的结论.(1)无穷小量在自变量的某个改变过程中，以零为极限的变量称为该极限过程中的无穷小量，简称无穷小.例如，假如Iim/(x)=0，则称当x时，/(X)是无穷小量.留意一般说来，无穷小表达的是变量的改变状态，而不是变量的大小，一个变量无论多么小，都不能是无穷小量，数零是惟一可作为无穷小的常数.(2)无穷大量在自变量的某个改变过程中，肯定值可以无限增大的变量称为这个改变过程中的无穷大量，简称无穷大.应当留意的是：无穷大量是极限不存在的一种情形，我们借用极限的记号Iimfa)=8,表示“当x/时，/是无穷大量”.(3)无穷小量与无穷大量的关系在自变量的某个改变过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，非零无穷小量的倒数是无穷大量.(4)无穷小量的运算有限个无穷小量的代数和是无穷小量.有限个无穷小量的乘积是无穷小量.无穷力、量写有界量的乘积是无穷小量.常数与无穷小量的乘积是无穷小量.(5)无穷小量的比较下表给出了两个无穷小量之间的比较定义.无穷小量的比较表设在自变量X%的改变过程中，(x)与夕(X)均是无穷小量无穷小的比较定义记号"x)是比a(x)高阶的无穷小Iim=0f。a(x)"(X)=oa(x)(XfXO)a(x)与夕*)是同阶的无穷小Iim幽=C(C为不等于零的常数)t¾(x)(x)与7(x)是等阶无穷小Iim久XTXoa(x)(x(x)(x)(XX0)(6) 极限与无穷小量的关系定理Iirn/(x)=A的充分必要条件是/(x)=4+(x),其中(x)是当x天时*fl的无穷小量.(7) 无穷小的替换定理设当Xf4时，/(x)%(x),Bl(X)2(x)，Iim'2C)存在，则XT.a2(x)XTxOal(x)a2(x)5.函数的连续性函数在一点连续的概念函数在一点连续的两个等价的定义：定义1设函数在点飞的某个邻域内有定义，若当自变量的增量-=xr0趋于零时，对应的函数增量也趋于零，即IimAy=Iim/(x0+Ar)-/(x0)=O,rOArTo则称函数f3在点X0处连续，或称是的一个连续点.定义2若如八幻='),则称函数/(x)在点式o处连续.左右连续的概念若IimAX)=则称函数/3在点用处左Xf%连续；若>im/(x)=/()，则称函数/O)在点/处右连续.tU函数在一点连续的充分必要条件函数F(X)在点儿处连续的充分必要条件是/3在点儿处既左连续又右连续.由此可知，函数/(X)在点儿处连续，必需同时满意以下三个条件:函数/(X)在点儿的某邻域内有定义，Iim(x)存在，*这个极限等于函数值f6).函数在区间上连续的概念在区间上每一点都连续的函数，称为在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续，该区间也称为函数的连续区间.假如连续区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续.(4)间断点若函数/在点七处不连续，则称点/为函数Fa)的间断点.间断点的分类设儿为“幻的一个间断点，假如当.时，幻的左极限、右极限都存在，则称为f的第一类间断点；否则，称/为f(X)的其次类间断点.对于第一类间断点有以下两种情形：当Iimf(x)与Iimf(x)都存在，但不相等时，称儿为f(x)的跳动间XT0->J断点；当Iim/存在，但极限不等于/(七)时，称儿为/3的可去间断*-M>点.(6)初等函数的连续性定理基本初等函数在其定义域内是连续的.一切初等函数在其定义区间内都是连续的.(7)闭区间上连续函数的性质 最大值和最小值存在定理闭区间上连续函数肯定能取得最大值和最小值. 根的存在定理设/为闭区间1上的连续函数，且/()与/0)异号，则至少存在一点收(“3,使得/0=0.介值定理设/3是闭区间上连续函数，且/3)S),则对介于/3)与TS)之间的随意一个数，则至少存在一点JeQb),使得二、主要解题方法1 .求函数极限方法(1) 利用极限存在的充分必要条件求极限例1求下列函数的极限：(1) lim¼_1.,12X2-4(2) /()=xsin-+，"：'当。为何值时，八%)在x=0的极限1÷,'存在.hjj/-I.卜一N2X1解(1)Iim-4-=Iim=,2-%2-4t2(-2)(X+2)4IimXT2,X2-4Iim=-,-tr(-2)(x+2)4因为左极限不等于右极限，所以极限不存在.(2)由于函数在分段点x=0处，两边的表达式不同，因此一般要考虑在分段点X=O处的左极限与右极限.于是，有Iimf(x)=Iim(xsin-+d)=Iim(xsin)+Iima=a9.tOx0-Xx0X.r0Iim/(x)=lim(l+x2)=l,XTo'x0'为使Iimfa)存在，必需有Iim/(x)=lim/(X),XTOx0+.v0因此，当=1时，Iim/(x)存在且Iim/(x)=l.0X0小结对于求含有肯定值的函数及分段函数分界点处的极限，要用左右极限来求，只有左右极限存在且相等时极限才存在，否则，极限不存在.(3)利用极限运算法则求极限例2求下列函数的极限:(1)Iim223Xflx+1Iim2，-9,x3X-5x+6(4)Iim隼3解(1)Iim生*二Xfx+lim(2x2-3)1.rl=_2_Iim(X+1)2xl(2)当x3时，分子、分母极限均为零，呈现,型，不能干脆用商的极限法则，可先分解因式，约去使分子分母为零的公因子，再用商的运算法则.rg-4_rX29.(X3)(x+3)rx+3N原JXi-Iim-=Iim=Iim=6.7X2-5+6r3(x-3)(X-2)3%2(3)当XfI时，_匚的极限均不存在，式乌_匚呈现l-x21-xl-x21-x8-OO型，不能干脆用“差的极限等于极限的差”的运算法则，可先进行通分化简，再用商的运算法则.即原式二lim(二T-)=lim2-0XfI-X1-xXf1-r(l-)r11=Iim=Iim=.Xf(I-x)(l+x)Xfl+X2(4)当X+8时，分子分母均无极限，呈现方形式.需分子分母8同时除以正，将无穷大的瓜约去，再用法则求原式二IimI=旦±=后.x+<>I2小结(I)应用极限运算法则求极限时，必需留意每项极限都存在(对于除法，分母极限不为零)才能适用.(II)求函数极限时，常常出现艺00OO等状况，都不能干脆0,00,运用极限运算法则，必需对原式进行恒等变换、化简，然后再求极限。常运用的有以下几种方法.(i)对于Oo-OO型，往往须要先通分，化简，再求极限，(ii)对于无理分式，分子、分母有理化，消去公因式，再求极限，(iii)对分子、分母进行因式分解，再求极限，(iv)对于当Xoo时的三型，可将分子分母同时除以分母的最高OO次累，然后再求极限.(3)利用无穷小的性质求极限例3求下列函数的极限(I)Iim丛,(2)Iimi.XTl-lXTg+3解(1)因为Iim(X-1)=0而Iim(X2+i)w,求该式的极限需用无穷XTIxl小与无穷大关系定理解决.因为Iim宇=(),所以当l时，守是XfX2+1X2+1无穷小量，因而它的倒数是无穷大量，即limS=8.x-1(2)不能干脆运用极限运算法则，因为当x位时分子，极限=IimX+OD不存在，但SinX是有界函数，即卜inxl而IimXTMyll因此当x”0时，肃亏为无穷小量.依据有界函数与无穷小乘积仍为无穷小定理，即得.xsinx八Iim-=0.-KCJI+/小结利用无穷小与无穷大的关系，可求一类函数的极限(分母极限为零，而分子极限存在的函数极限)；利用有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小定理可得一类函数的极限(有界量与无穷小之积的函数极限).(4)利用两个重要极限求函数的极限例4求下列函数的极限：(1)IimCoSX铲3c,(2)Iim(I一与)。x0"xX'解(I)分子先用和差化积公式变形，然后再用重要极限公式求极限言一,.2sinxsin2x1.SinXrz.sin2x.1.原式二Iim=IimIim(4)=1×4=4.XTOX-x0X.r2,X(2)解一j=Iim(1+-)v(1-)r=Iim(1+-)tIim(1-),=ee1=1,XXXX0XXX解二原式=IimKl-二广凸1.=e0=l.XfoCXN小结(I)利用Iim皿=1求极限时，函数的特点是9型，满意XToX0Iim”的形式，其中为同一变量；(II)用Iim(I+3'求极限时，函数的特点r型幕指函数，其形式xX为l+(:亦型，(x)为无穷小量，而指数为无穷大，两者恰好互为倒数；(III)用两个重要极限公式求极限时，往往用三角公式或代数公式进行恒等变形或作变量代换，使之成为重要极限的标准形式。(5)利用等价无穷小代换求极限常用等价无穷小有当Xfo时,x-sinx-tanx-arcsinx-arctanx-ln(l+x)-ex-1,121-cosxX,2xsin2xtan2x2例5求下列函数的极限/1、,.1-cosxzx,.tanX-sinXV1Iim，)Iim；.3xXToX1 2_X解(1)Iim-cs-=Iim=(x0,l-cosx-X2).XTo3x23x262zox,.tanX-sinXsinx(l-cosx)IIm二Iim0sinXxf。XCOSx1. SinX(I-COSx)1=IimXT。XXCOSX2sin2=Iim住XfO2.Z、2二一(VX0,Sin2.22小结利用等价无穷小可代换整个分子或分母，也可代换分子或分母中的因式，但当分子或分母为多项式时，一般不能代换其中一项。否则会出错.如上题limtanx-sinx=limx-x=0即得一错误结果.0sinXXTOX(6)利用函数的连续性求极限例6求下列函数的极限2(1)Iim入；SinE，(2)Iimarcsin(7x2+x-x).ijl+/XTW解(1)因为人：SinX是初等函数,在1=2处有定义，evl+所以Iim2X+smxe2f+x2_4+sin2一e25函数arcsin(J%2+一卜)看成由=sinw,«=-Jx2+x-x复合而成,2利用分子有理化Iim(2+x-)=Iim/X一*kox2÷x+x然后利用复合函数求极限的法则来运算Iimarcsin(Vx2+x-x)=Iimarcsin、-HXX-HX>/11÷r1_.111-arcsin=.26小结利用“函数连续的极限值即为函数值”可求连续函数的极限。在肯定条件下复合函数的极限，极限符号与函数符号可交换次序.2.推断函数连续性的方法由于初等函数在它的定义区间内总是连续，所以函数的连续性探讨多指分段函数在分段处的连续性.例7探讨函数f(x)x,1,在点X=O处的连续性.xsn-,x>0.X解由于函数在分段点x=0处两边的表达式不同，因此，一般要考虑在分段点x=0处的左极限与右极限.因而有Iimf(x)=IimX=0,Iimf(x)=IimXSin=0,.vO-x0x0*x0+X而/(0)=0,即lim(x)=lim(x)=(0)=0,.r0x0.由函数在一点连续的充要条件知/G)在无=0处连续.三、学法建议1 .本章的重点是极限的求法及函数在一点的连续的概念，特殊是求极限的方法，敏捷多样.因此要驾驭这部分学问，建议读者自己去总结阅历体会，多做练习.2 .本章概念较多，且相互联系，例如：收敛，有界，单调有界；发散，无界，无穷大；极限，无穷小，连续等.只有明确它们之间的联系，才能对它们有深刻的理解，因此读者要留意弄清它们之间的实质关系.3 .要深刻理解在一点的连续概念，即极限值等于函数值才连续.千万不要求到极限存在就下连续的结论，特殊留意推断分段函数在分段点的连续性.