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依“你”展翅于课堂浅谈数学猜想能力的培养摘要本文时单介绍了数学猜想的概念，指出在教学教学中打破传统教学观 念，课堂以学生为主体.积极引导和鼓励学生大胆猜想和创造.通过对中学教学中 相关问题的分析与探讨.总结出直觉，归纳，类比，构造和探索等数学猜想方法.不 仅能激发学生浓厚的求知欲和成就感，而且能,培养和提高学生的创新恚识.更有助 于提商学生的解理能力和数学素恭.为此，举出实例加以说明.关使词教学精想；数学教学；学会猜想“没有大胆的猜想,就做不出伟大的发现.“我们纵观数学发展史,很多的数学结 论都是从猜想开始,然后再设法证明,但是在传统的教学中,过分的去强调数学科学 的严谨性和科学性,强调严密的逻辑思维而忽略了猜想等非逻辑性思维能力的培养, 总至扼杀学生的猜想思维.正因为如此,著名的美国数学教育家波利亚大声疾呼： “让我们教猜想吧“！”一、转变传统教学观念长期以来,数学教学中存在着一种忽略猜想思维的领向.认为数学具有严谦性. 培养的是逻辑思维.不能把非逻辑的思维引进课堂教给学生.在课堂提问、作业练习 中不允许学生带有猜测的成分.桎如某个学生猜想出问题的结果,老师还要批评.“不 能凭猜想！“久而久之.学生的大脑中就没有“猜想” 了.在这种观念K学生的猜想 天性就得不到发展.现行教科书是经过逻辑加工好的、完成了的形式,是一个比较严格的演绎体系， 记载着一系列科学事实与结论,而这些事实与结论是怎样产生的问题往往被忽视. 一些缺乏教学经验的教师往往荷单地照本宣科0.由此.发现定理、公式以及证明方 法的过程.探求解题思路的过程等.这些数学思维的最精彩最生动的部分都被陷藏 起来.学生不能从老师那里学到发现问题.分析和解决问题的方法.这样来.既会扼 杀学生的创造性.乂会使学生丧失学习数学的兴趣.要改变这种状况需要进行多方 面的综合治理,包括教学方法的改革,以及注重引导和培养学生进行猜想.经调查研 究发现猜想意识,猜想能力是从学习过程中逐步形成和提高的,猜想问题也是从荷 单到复杂,从低层次向高层次转化的.猜想思维也是种重要思维,它的训练对于培 养能力,开发智力有若重要作用.二、数学猜想与数学教学数学猜想是指根据某些己知的事实材料和教学知识,通过理性思维的能动作用, 对未知量及其关系所做出的一种预测性推断.科学领域的重大发现有许多是依靠合 理猜想得出的.阅读欧拉传记和波利亚的名著名数学与猜想3 "就会发现教学中的 许多著名公式与定理就是通过不厌其繁的归纳类比、细心观察等过程中猜想出来 的.今天我们知道的有关数的性质也有许多是由观察猜测得到的.波利亚曾指出数 学教学要“教发现,教猜想,教证明”，猜想无论是对数学研究,还是对数学教学都起 若很全要的作用.因此,数学教学中应该重视学生猜想能力的培养.因此.数学教学应将科学家的发现过程,经过教育上的再编制给学生创设开展 教学活动的环境,模拟当年数学家的发现过程,精心设计问题系列,引导学生在一个 简化的理想形式卜一亲身经历探索与发现过程,十分重要的是形式猜想,培养猜想能 力.同时,领悟猜想过程中蕴涵的数学思想方法,体会到寻求真理的兴趣和喜悦,也仃 助于激发其热情培养学习能力.三、在数学教学中积极引导学生学会猜想数学猜想可分为直觉猜想、归纳猜想、类比猜想、构造猜想、探索猜想,根据 教学内容灵活地运用这些猜想能培养学生的猜想能力.(-)直觉猜想直觉猜想就是在一定的知识、经验的基础上,凭白己的直觉想象力,大致地、模 糊地确定一下问题的结果或解题途径,然后再证明国.3例 1 函数 F(X) = K°s + 2sinxcosfin'x+A+ 在0"a”上的最大值Af与参数4,"有关.问A,/3取什么值时M为最大？证明你的结论.Axj= f2 sin 2x + - + U+fl分析原函数通过变形可得(4J I .考虑到正弦函数和一次函数性质及其图象特征,运用直觉思维可猜得答案是“ A = 8 = 0 ".当A = A = O何)/W = il 2x + l卜丹 ,1 =-时,记F(X)为 I 1 "不难算得在区间L 2上有三点8 ,_59“=铲= W”,使/3取得最大值Mf=走,它就是要求的最大值.直觉猜想,结论不一定正确.下面运用逻辑思维证明：对任何A,8不同时为零时max F(x) max /()出 *"s> <*i4,=M,= /用反证法证明之： max ,(.v)0)设 OSrSlr < 衣则应有-24+<0(2). 22 >yA+0(3), -22-4 + B0(4) O由(2)(3)可得£8包8A 4 O.O 事8有 则!M,由(3)可得4+0.O等A + BW0.O则仃-即八Mo所以4=°考虑到八、%不同时为零,从而推得B 0,但当A = 0. B # 0时仃：F(x) max>2sin(2x + ()+5= + (>2与式矛盾.原猜想结论获证.在本题中直觉猜想所起的作用是毛估,毛估对于发现解题途径有极重要的意义. 许多数学问题.包括世界名题的解决.都是从图形或数据的直接观察中获得某种直 觉猜想,然后再进行逻辑证明的.(-)归纳猜想当我们研究般性的问题而难以解决时,可先退步去研究这个问题的特例. 用具体的数字代替字母做一些实验,对这些特殊问题的性质进行归纳,再根据归纳 的结果去猜想原问题的规律和性质,这就是归纳猜想.它具有很强的创造性,是从已知推出未知的方法,但它不是以现成的一般知识 为前提,而是以已知的关于科学事实的知识为前提,因而能铭概括,解释新的科学事 实,扩展认识成果,形成新的一般原理.(对新课的有关性质、定理,如果直接告诉它的 内容让学生记忆,则不利于学生对性质,定理的理解和应用.相反,引导学生自己归纳 猜想出性质、定理,则便于学生的记忆和应用.)例2设* w N：求满足不等式用+帆 < 衣的整数解H)')的组数.分析先猜想解的组数与2有关,因此可记为/("),再用探索法逐个求得/(1)=1,/(2) = 5,/(3)= 13,/(4)= 25,-由于/(l)=l = l + 2×l/(2) = 5 = 1 + 2×2×1/(3)=13=l + 2×3×2/(4)=25 = I + 2×4×3从而猜想："*)=+2*-1)然后用数学归纳法加以证明,在解题教学当中， 教师应留有余地让学生先思考和猜想问题的规律.解题方法,问题的结论.问题中隐 含条件等,发挥学生学习的积极性.(三)类比猜想由于事物之间常常具有相同或相似的属性,所以当两个问题在某个方面相似时. 我们就可以由其中一个问题的已知域性去猜测另一个问题可能会有相似的属性,这 就是类比猜想.当我们无法直接解决面前的问题时,就应该想以前是否见过相同的问题而形式 稍有不同？是否知道与此相关的问题？是否知道可能用得上的定理？这些问题都 将启发和指引我们去进行类比.心色) + /(62/(号M号)7>0 P例3设/(外满足I 2八2 J且12 J xeRt求证：/(6是周期函数,并求出它的一个周期.有)=。分析因涉及周期函数,并且12J .从而可联想到三角中的和差化枳公式C X + V X- VCOS X + COS V = 2 COS COS A 22 .与本题中的/(xi)÷(x2)=211.12,12 )结构类似,而COSX的周期为2%与之类比产 生猜想：/(6为周期函数,且2k是它的一个周期是,只要证明猜想的正确性即可。证明由已知条件得/("”)+ f(x)= 2/()G = 0从而可得/(x + -)=-(.r)于是f(x + 2) = (x + )+-=-(x + *) = f(x)所以/(X)是以2,T为周期的周期函数.数学解题中运用类比猜想的思想方法是展见不鲜的.数学教学中的类比猜想主 要有降维类比,结构类比等猜想.(四)构造猜想构造猜想是依据数学问题的相似模式,利用模型构造法作出相应数学规律或方 法的猜想间.构造猜想本质是转化的方法.通过构造相似模式.将发杂、陌生的问题转化为熟 悉,易解的数学模型,把抽象问题转化成具体问题,把未知问题转化成己知问理,从而 使学生在转化构造过程中培养构造猜想能力.例4设。也工，为实数,且求证：-ja2x2+b2y2 + -jb2x2 +aiy2 a + l分析如果直接从题设的条件入手证明不等式,是不容易的事,此时应该引导 学生思考应用转化的思想,构造出一个新形式.形成猜想：复数”+方的模为行万.若不等式中的一些项形如+人时可考虑构造相关熨数,然后利用关丁复数的模 的不等式证明.证明 设 Zl = ax + byi l = bx + ayi根据+ zjNz+z1可得av + "W + 版 + «y/| (ar + byi) + (bx + ”回即Ja2x2 +h2y2 + yb2x2 +a2y2 |(« + b)x + ( + MM = I + Aj-J v2 + J2 ” + 4这类问题的解决,学生必须要针对题目的特点构造出相关的方程、函数、几何 图形或其它模型和媒体,然后借助它们解题.形成猜想后,加以证明.在数学教学中,利用构造猜想的思想方法解题的例子很多.例如：例4中我们将 题设对照发数模的形式.结合模的性质构造猜想出相应的宓数.例5已知MBC的三个内角A、8、C满足：A + C = 2生I 12A-C+=COSCoSA cos CCOSB 求 2 的值.分析因题设条件中A + C = 28.A+8 + C = l8(F,角的关系比较明确.于是设A-C = 2。，8 = 60°及A + C = 120。,得A = 60。+ 氏C = 60。-C自然猜想本题可通 11 = 42过已知式嬴4+嬴0=一段薪,构建含。的方程模型求解.下面只需代入分母得 cos(60o -0)+ cos(60o + ) = -22 cos(60o - )cos(60o + 将 cos(60o ± 0) _ LCOS 干苧sin 22COSe = -22 -cos2 -sin2 代入上式，可得B 4 J ,即cos” 也4、心#。+ 28$。-371 = 0.至此猜想已化为事实.解之得“'、-2或 COSe =cos = 2这里列举了构造猜想出更数、函数和参数方程的例子.还可以构造出相关的数 组、几何图形或其它模型和媒体,各种猜想方法.不但可适用于数学猜想.而Il还可适 用于其它学科的猜想.因此,数学猜想方法的掌握和能力的提高,不但可以提高数学 解题能力,而且还可提高今后所从事数学工作的能力.在数学教学中.加强学生.数学 猜想能力的训练,是提而数学教学质量和培养创造性人才的揖要途径之一.(五)探索猜想探索猜想是指依据已有知识和结果,对所仃研究的对象做出向结果苑近的方向 性猜想.探索猜想本质上就是启发式方法,它是能用以激发青年人的智悬和培养学生独 立思考能力的一种思想方法见例 6 证明：C+2C+3C+ y="2"分析1由等式右边的”.猜想到应将左边各项的系数化为含有的式子.会试 用倒序相加法.证明设工=C1l1 + 2C： + 3C： + + (“ -I)C丁+ nC：则Sn= nC： +(t-l B + ( - 2)Cr + + C：两式相加并注意到c： =C YhO.2,“)得25 = C> nC + 仁+比 + + nC：-1 + nC： «即2Sn =2"分析2 EH等式右边的2"入手.我们知道：C3+C：t+C3 + ._ + C：=2； 猜想应将等式左边变形成C3的形式.由于有&C = 亡;，则C, + 2C： + 3C： + + nC；=% + 心 + + "C=;=2"-,例7已知一人二/而=,作数列q=a-b%=/ab + b= a' - a，b + cb1 -b",="' < b + ai b2求证"" ="z+"z(“3)分析若按常规思路,直接对4+“7整理转化,从而得到%,会使问题豆杂化. 那么只有引导学生换个角度考虑,如果 =3时结论成立.那么从小 =%+%的推证 是否可猜想出 > 3的一般性证明思路.事实上由于%,“2,%中。与人的最高次第不 等.不能直接看到关系式成立.利用"一'=|"' = |加以沟通,于是“2(“一同 =(«2 -ab + b:a-b)=ai -a2b + ab2 -u2b + ab2 -b' =ULa帅 则 abti+(a-b)u2 = u3 推 出+% = "J此时便猜想：“加”+(。Vl= ”'是否成立？于是猜想验证这个猜想.就会发现只要招ZT与“7代入展开.可证实猜想是成立.这类问题的解决,学生必须能把学过的知识、思想和方法,按照个人接受、理解 的深度和广度,通过自己的观察、分析、比较和概括得出结论,形成猜想并加以证明.数学探索猜想思想方法用于教学,就是教师在讲授定理的证明及问题的解答方 法时.总是采用启发式，步步阐明解法.每步都先让学生去实践去探索.而Il要 学生接触各种各样的数学问胭,使学生在大量的探索中提高独立思维能力,从而提 高自己的发现力和创造力,真正具备良好的数学素质.参考文献1波钊发.代单与猜想.(第一卷.北京科学出.版社,20172除昌平.ft洋我奇比较与研究.上海华东师范大学出版社, 20193刘云华，马复.教学近免与发现.安徽敦力出版社,20114徐本顺，平巴泽.教学猜想集.湖南科学技术出版社,2017