离散数学王元元习题解答5.doc

word第二篇 集合论第四章 集合与其运算4.1 集合的根本概念 容提要4.1.1集合与其元素集合是一些确定的、作为整体识别的、互相区别的对象的总体。 组成集合的对象称为集合的成员或元素member。通常用一对“ 把集合的元素括起来，表示一个集合。 元素对于集合的隶属关系是集合论的另一根本概念。即当对象a是集合A的元素时，称元素a属于集合A，记为 aA 当对象a不是集合A的元素时，称a不属于A，记为Ø(aA)或aÏA 对任何对象a和任何集合A，或者aÎA或者aÏA,两者恰居其一。这正是集合对其元素的“确定性要求。定义41空集和只含有有限多个元素的集合称为有限集finite sets，否如此称为无限集infinite sets。有限集合中元素的个数称为基数cardinality无穷集合的基数概念将在以后重新严格定义。集合A的基数表示为|A|。4.1.2外延公理、概括公理和正规公理集合论依赖于三大根本原理：外延公理extensionality axiom、概括公理prehension axiom和正规公理regularity axiom。它们从根本上规定了集合概念的意义。外延公理：两个集合 A和 B相等当且仅当它们具有一样的元素。即对任意集合A，B,A=B«"x(xÎA«xÎB) 外延公理事实上刻划了集合的如下特性：集合元素的“相异性、“无序性，与集合表示形式的不唯一性。 概括公理: 对任意个体域，任一谓词公式都确定一个以该域中的对象为元素的集合。即对给定个体域U，对任意谓词公式P(x)，存在集合S，使得 Sx êxÎUP(x) 概括公理规定了集合元素确实定性,以与集合的描述法表示的理论依据，它还规定了空集的存在性。正规公理：不存在集合A1，A2, A3，使得 ÎA3ÎA2ÎA1正规公理的一个自然推论是：对任何集合A，A¹A否如此有ÎAÎAÎA。从而规定了集合A与A的不同层次性,因而正规公理也就规定了集合不能是自己的元素。4.1.3子集合定义4.2集合A称为集合B的子集合或子集，subsets，如果A的每一个元素都是B的元素，即"x(xÎA®xÎB)A是B的子集，表示为AÍB或BÊA，读作“A包含于B或“B包含A。 对任意集合A，B，AB当且仅当A Í B且B Í A 。对任意集合A，AÍU。定理4.3 设A，B，C为任意集合，假如AÍ B,B ÍC，如此AÍC。定理4.4 对任何集合A，ÆÍ A。即空集是任意集合的子集。定理4.5 空集是唯一的。定理 4.6设 A 为一有限集合，|A|= n，那么 A的子集个数为2n。习题解答练习4.1l、证明：如果AÎb，那么bÎA。证由于A为集合b的元素，而集合b中只有一个元素b，所以A=b；又因为bÎb，所以bÎA。2、用描述法规定如下集合：1A 1，3，52B = 2，3，5，7，11，13，17，89，973C0，1，2，3，94全集 U解 1A 2B =，：为小于100的质数 3C4U为任意一元谓词公式3、对任意对象a，b,c，d，证明：a,a,bc,c，d 当且仅当a = c且b = d证 设a = c且b = d，如此显然a,a,bc,c，d；设a,a,bc,c，d，如此有ac，a,bc，d或者ac，d，a,bc。前一种情况有ac且bd；后一种情况有acd且abc，所以有ac且bd。命题得证。4、指出如下集合序列的排列规律，并依此规律再写出两个后续集合：Æ ，Æ，Æ,Æ,Æ，Æ，Æ，Æ，解 上述集合序列的排列规律是An+1AnÈAn。两个后续集合分别为：Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ；Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ。5、“如果AÎB, BÎC，那么AÎC对任意对象A,B,C都成立吗？都不成立吗？举例说明你的结论。解 并不都成立，例如：设A1,B1,C1，此时AÎB且BÎC，但AÏC；另一方面，并不是都不成立，例如：A1,B1, C1，1，此时AÎB，BÎC，且AÎC。 6、确定如下各命题的真、假； 1ÆÍÆ 2ÆÌÆ 3ÆÎÆ 4ÆÍÆ 5ÆÎÆ 6a, b Ía,b,c,a， b，c 7a, bÎa， b， c，a， b，c 8a, bÍa，b，a，b9a, bÎa，b，a，b10a, bÌa，b，a，b 11对任意集合A，B，C，、假如AÎB，BÍC如此AÎC。 12对任意集合A，B，C，假如AÎB，B ÍC如此AÍC。 13对任意集合A，B，C，假如A Í B，BÎ C如此A Î C。l4对任意集合A，B，C，假如A Í B，B Î C如此AÍC。解 1真，2假，3假，4真，5真，6真，7假，8假，9真，10真，11真，12假，13假，14假。 7、指出如下各组集合中的集合间的不同之处，并列出每一集合的元素和全部子集：1 Æ， Æ2a，b，c，a，b，c，a，b，c解 1不同之处：前者是以空集为元素的集合，而后者是以前者为元素的集合。Æ的元素为Æ，全部子集为：Æ，ÆÆ的元素为Æ，全部子集为：Æ，Æ2第一个集合由3个元素组成；第二个集合由2个元素组成，其中一个元素为集合；第三个集合由1个元素组成，该元素为一个集合。a，b，c的元素为：a，b，c；全部子集为：Æ，a，b，c，a，b，b，c，a，c，a，b，c。a，b，c的元素为：a，b，c；全部子集为：Æ，a，b，c，a，b，c。a，b，c的元素为：a，b，c；全部子集为：Æ，a，b，c。 8、罗素曾用如下较通俗的悖论来解释他的集合论悖论罗素悖论：某镇上一位理发师宣布，他只给那些不给自己刮脸的人刮脸。问：为什么这是一个悖论？解 如果理发师给自己刮脸，那么按照规定，理发师不能给自己刮脸因为他只给那些不给自己刮脸的人刮脸；如果理发师不给自己刮脸，那么按照规定，理发师应该给自己刮脸因为他给那些不给自己刮脸的人刮脸。这样，理发师给自己刮脸或不给自己刮脸都得出矛盾。所以这是一个悖论。9、说明为什么在确定个体域上使用抽象原理(即使用概括公理)时罗素悖论不再成立。解 在确定的个体域D上使用概括公理时，罗素悖论中的集合当我们再问时，回答时不会导致矛盾，因为。从而防止了罗素悖论的产生。10、设A，B为任意集合证明：如果对任意的集合C，C Í A当且仅当C Í B，那么AB。证 因为C为任意的集合，因此，当令CA时有A Í B，当令CB时有B Í A，因此有AB。11、证明：不能使用“一切集合的集合所谓大全集作为个体域U。提示：假如用大全集作为个体域；概括公理也将导致罗素悖论。解 如题9，加上确定的个体域D为大全集U，如此概括公理为S = x | xÎU Ù P(x)，它等价于S = x | P(x)，这就一样于抽象原理，会产成悖论。4.2集合运算 容提要4.2.1 并、交、差、补运算 设A，B为任意集合。 l AB称为A与B的并集union set，定义为 ABxxAxB称为并运算。 2 AB称为A与B的交集intersection set，定义为 AB =xxAx B称为交运算。 3 A-B称为A与B的差集difference set，定义为 A-BxxAx Ï B- 称为差运算。 4A称为A的补集plement set，定义为 A=U-A=x| xUxÏA称为补运算，它是一元运算，是差运算的特例。定理4.7 设A，B，C为任意集合，那么 lAÈAA AÇAA 幂等律 2AÈB = BÈA AÇB = BÇA 交换律 3AÈBÈC=AÈBÈC AÈBÈC=AÈBÈC 结合律4AÈÆA， AÇU=A 同一律 5AÇÆ=Æ， AÈU = U 零一律 6AÈ(BÇC)=(AÈB)Ç(AÈC) AÇ(BÈC)=(AÇB)È(AÇC) 分配律 7AÈAÇB= A， AÇAÈB= A 吸收律定理 4.8对任意集合 A，B，C，l A - BAÇB 2A - AÆ，A - ÆA， A U = Æ 3A - (BÈC)(A - B)Ç(A - C) A - (BÇC)(A - B)È(A - C) 定理4.9对任意集合A，B（1） AA 双重否认律（2） UÆ , ÆU补余律3AÈAU , AÇAÆ互否律4(AÈB)AÇ B(AÇB)AÈ B德摩根律 对任意集合A , B , C , D， 1A ÍAÈB，B ÍAÈB 2AÇBÍA AÇBÍB。 3A - B ÍA 4A ÍB,A - B= Æ,AÈB = B , AÇB=A 四个命题等价。 5假如A ÍB,如此BÍA定理4.11 对任意集合A，B假如它们满足 lAÈBU 2AÇBÆ 那么BA4.2.2 求幂运算和广义并、交运算*定义 4.5 对任意集合 A，(A)称为A的幂集Power set，定义为(A)x | xÍA 即A的全体子集构成A的幂集。此种运算称为集合A的求幂运算。定理4.12设A,B为任意集合, AÍB当且仅当(A)Í(B) 。定义4.6 假如集合C的每个元素都是集合，如此称C为集合族collections。假如集合族C可表示为 C =Sd|d ÎD如此称 D为集合族的标志集index set。定义4.7 设C为非空集合族，（l） 称为C的广义并，定义为 2 称为C的广义交。定义为 3当集合族C=Ad|d ÎD时，和可分别表示为，当D为自然数集N时，它们又可分别表示为 ，定理4.13 对任意集合A和集合族C，有对任意集合A和集合族C，有定理4.15 对任意集合族C有定理4.16 对任意集合*4.2.3环和、环积运算 定义4.8 对任意集合A，B， AÅB称为A与B 的环和cycle sum或对称差，定义为 AÅB = A-BÈB-AAÄB称为A与B 的环积cycle product，定义为 AÄB = AÅB- 对任意集合A，B， 有（1） AÅB = AÈB-A Ç B（2） AÄB = AÈB-ÇA- ÈB定理4.18对任意集合A，B，C，1A Å B = B Å A2A Å A = Æ3A- Å B- = A Å B 4A Ä B = A Å B-= A- Å B = A Å B- 5A Å BÅ C = A Å B Å C6A Ä B = B Ä A7A Ä A = U8A- Ä B- = A Ä B9A Ä BÄ C = A Ä B Ä C习题解答练习4.2l、证明定理4.7之5。证 1所以2所以2、证明定理4.8之2中的第二式。所以3、证明定理4.9之4。 证 所以。 4试以如下次序证明定理4.10的4：PÞ RÞSÞQÞP证P：A ÍB，R：A È B = B，S：A Ç B = A，Q：A B = Æ1PÞ R：由定理4.10的1容易知道B Í A È B，下面要证明A È B Í B。设xÎA È B，那么xÎA或xÎB。假如xÎA，因为A ÍB，所以xÎB。因此有A È B Í B。所以A È B = B。2R ÞS：由定理4.10的2容易知道A Ç B Í A，下面要证明A ÍA Ç B。设xÎA，如此xÎ A È B。因为A È B = B，那么有xÎ B，所以xÎ A Ç B，从而A ÍA Ç B。故A Ç B = A得证。3S ÞQ：反设A BÆ，那么至少有一个元素xÎ A且xÏB，如此A Ç BA，与条件S矛盾，故A B = Æ得证。4Q ÞP：设xÎA，设xÏB，如此xÎ A B，与A B = Æ矛盾，所以xÎ B，故A ÍB得证。5说明如下各命题是否为真，为什么。1假如A È B = A È C，如此B = C 。2假如A Ç B = A Ç C，如此B = C 。解 1命题不为真。例，令A = 1,2，B = 1，C = 2。2命题不为真。例，令A = Æ，B = 1，C = 2。6对任意集合A，B，C，证明： A ÈC-B ÈCÍA - B证：xÎA ÈC-B ÈCÛ xÎA ÈCÇB ÈCÛxÎA ÈCÇ BÇ CÛxÎA Ç BÇ CÈC Ç BÇ CÛ xÎA Ç BÇ CÞ xÎ A Ç BÛ xÎ A - B故A ÈC-B ÈCÍA- B得证。 7对任意集合A，B，C，证明；（1） A -B ÈCA - B- CA - C- B2A Ç B- C = A ÇB- C=A - CÇB 3A - B- CA -B - C当且仅当A ÇC = Æ4A - B- C =A - C-B - C证：1A -B ÈCA ÇB ÈC A Ç BÇ C A - BÇ C A - B- CA -B ÈCA ÇB ÈC A Ç BÇ C A Ç CÇ B =A - CÇ B A - C- B故A-B ÈCA - B- CA - C- B得证。2A Ç B- C A Ç BÇ C A ÇBÇ C A ÇB - C A Ç B- C A Ç BÇ C A Ç CÇ B A - CÇB故A Ç B- C = A ÇB- C=A - CÇB得证。3设A- B- CA -B - C成立，为证A Ç C = Æ，反设有xÎA Ç C，如此xÎA 且xÎC。而：A - B- CA Ç BÇ C，所以xÏ A Ç BÇ C，从而xÏA - B- C；A -B - CA ÇBÇ CA ÇBÈ CA ÇBÈA Ç C，由假设xÎA ÇC，如此xÎA ÇBÈA Ç C，从而x Î A -B - C。这与A- B- CA -B - C矛盾，所以假设不成立，故A Ç C = Æ得证。设A Ç C = Æ，此时设x为A中的任一元素，即xÎA，如此x ÏC，所以A - CA，那么：A- B- CA - BÇCA Ç BÇ CA Ç CÇ BA - CÇ BA Ç B；A -B - CA ÇBÇ CA ÇBÈ CA ÇBÈA Ç CA Ç B所以在A Ç C = Æ 时，A- B- CA -B - C。综合、，故A - B- CA -B - C当且仅当A ÇC = Æ得证。4证：A - B- CA - BÇCA Ç BÇ CA - C-B - CA Ç CÇBÇ C A Ç CÇBÈ C A Ç CÇ BÈA Ç CÇC A Ç BÇ C故A - B- CA - C-B - C得证。8证明；对任意集合A，B如下命题等价， 1A ÍB 2AÈ B = U3AÇB= Æ证：1Þ2：为证AÈ B = U，反设有xÎAÈ B，即xÎ AÇB，所以xÎ A且xÏB；而由A ÍB知道xÎ A必有xÎ B，矛盾，故有AÈ B = U。2Þ3：因为AÈ B = U，所以对任一x，有xÎA或xÎ B假如xÎA，如此xÏA，那么xÏ AÇB假如xÎB，如此xÏB，那么xÏ AÇB即没有一个元素在集合AÇB中，所以AÇB= Æ。3Þ1：反证设A不包含于B，即有xÎ A且xÏB，所以有xÎ A ÇB，与AÇB= Æ矛盾。所以A ÍB。9设A = Æ，B = 1，2，求A，B。解：A = Æ，所以A= Æ，Æ，A= Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，故A= Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ。B = 1，2，所以B= Æ，1，2，1，2，故B= Æ，Æ，1，2，1，2 ，Æ，1，Æ，2，Æ，1，2，1，2，1，1，2，2，1，2，Æ，1，2，Æ，1，1，2，1，2，1，2，Æ，2，1，2，Æ，1，2，1，2。 10对任意集合A，B。求证： 1A = B当且仅当A=B 2AÇBA ÇB3AÈBÍA ÈB证：1假如A = B成立，那么有xÎAÛ x ÍAÛ x ÍBÛ x ÎB故有A=B；假如A=B成立，反设A B，那么有xÎ A且xÏ B因为A，B为任意集合，所以作此假设是合理的，如此xÎA，而A=B，如此xÎB，这与xÏ B矛盾。因此A = B。综上所述，故A = B当且仅当A=B得证。2xÎAÇBÛ x ÍA Ù x ÍBÛ x Í A Ç BÛ x ÎA ÇB故AÇBA ÇB得证。3xÎAÈBÛ x ÍA Ú x ÍBÞ x Í A ÈBÛ x ÎA ÈB故AÈBÍA ÈB得证。11. 假如C = x|xÎB 求。解：= B。12. 对如下诸C，求 和。lC =Æ 2C =Æ，Æ 3C =a，b，a,b 4C =N5假如允许C = Æ,请讨论和。解：1= Æ，= Æ。2=Æ，= Æ。3=a，b，= Æ。4=N，= Æ。5=x | $s (s Î C Ù x Î s)，=x | "s (s Î C ® x Î s)，那么当C = Æ时,C中无任何元素，如此此时 ， 13对任意非空集合族C1，C2，证明： 1 2 34证 1x ÎÈÛ$s (s ÎÙ x Î s) Ú$s (s ÎÙ x Î s)Û$s (s ÎÙ x Î s) Ú (s ÎÙ x Î s)Û$s (s Î(È)Ù x Î s)Û因此， 。2设xÎ() Ç ()，那么xÎ()且xÎ()，如此：$s (s ÎÙ x Î s)且$s (s ÎÙ x Î s)，那么有：$(s1 Ç s2)(s Í (s1 Ç s2)Ù x Î s Ù s1ÎÙ s2Î)， 如此：x Î s1 Ç s2| s1ÎÙ s2Î，即有() Ç () Í s1 Ç s2| s1ÎÙ s2Î；且以上推导均可逆，故有Ç s1 Ç s2| s1ÎÙ s2Î。3设对于任一x Î()，如此对任一s1Î有x Î s1或对任一s2Î有x Î s2，那么对任一s1 È s2s1Î，s2Î有x Î s1 È s2，因此：x Î s1 È s2| s1ÎÙ s2Î，所以()Í s1 È s2| s1ÎÙ s2Î，且以上推导均可逆，故有() = s1 È s2| s1ÎÙ s2Î。4仿上题，易证ÇÍ；而对任一s，sÎÈ，有xÎs，如此对任一s1Î，有x Î s1，且对任一s2Î有xÎ s2，因此ÍÇ。故有Ç=。*14对任意集合A，B，C，证明： 1A Å A Å B = B 2A - BÅ B = A È B 3A Ä BÈ C =A È C ÄB È C 4A Å BÇ C =A Ç C ÅB Ç C 5A Å B C =A C ÅB C 6A È B = A ÅB ÅA Ç B证 1A Å A Å B = ÆÅ B = ( Æ B) È (BÆ) = B2(AB) Å B = (A Ç B) Å B = (A Ç B B) È (B A Ç B) = (A Ç B) È B = (A È B) Ç (BÈ B) = A È B3(A Ä B) È C = (A Å B) È C = (A B) È (B A) È C = (AÇ B) È (A Ç B) È C(A È C) Ä(B È C) = (A È C) Å(B È C) = (A È C) (B È C)È (B È C) (A È C) ) = (AÇ CÇBÇ C)È (B È C)Ç (A È C) = (AÇBÇ C)È (A Ç B) È C = (AÇBÇ C)È C È (A Ç B) = (AÇB)È C)Ç (CÈ C)È (A Ç B) = (AÇB)È C È (A Ç B)所以有A Ä BÈ C =A È C ÄB È C。4(A Ç C) Å (B Ç C) = (A Ç C) (B Ç C) È (B Ç C) (A Ç C) = (A Ç C Ç (BÈC) È (B Ç C Ç (AÈ C) = (A Ç C Ç B) È (A Ç C Ç C) È (B Ç CÇA) È (B Ç C Ç C) = (A Ç C Ç B) È (B Ç CÇA) = (A Ç B) È (AÇ B) Ç C = (A B) È (B A) Ç C = (A Å B) Ç C所以有(A Å B) Ç C = (A Ç C) Å (B Ç C)。5(A Å B) C = (A ÇB)È(AÇB) Ç C = (A ÇB)Ç C) È (AÇB) Ç C) = (A ÇBÇ C) È (AÇB Ç C) (A C) Å (B C) = (A C) (B C) È (B C) (A C) = (A Ç CÇ (B C) È(BÇ CÇ (A C) = (A Ç CÇ (BÈ C) È(BÇ CÇ(AÈ C) = (A Ç CÇ B) È (AÇ CÇ C) È(BÇ CÇ A) È (BÇ CÇ C) = (A Ç CÇ B) È(BÇ CÇ A)所以有(A Å B) C = (A Ç CÇ B) È(BÇ CÇ A)。6A Å (B Å (A Ç B) = A Å (B A Ç B) È (A Ç B B) = A Å (B Ç(A Ç B) ) È (A Ç BÇ B) = A Å (B Ç(AÈ B) = A Å (AÇ B) = (A AÇ B)È (AÇ B A) = (A Ç (AÈ B)È (AÇ B Ç A) = A È (A Ç B)È (AÇ B)= (AÈ A) Ç (A È B) È (A Ç B)= (A È B) È (A Ç B)= (A È B È A) Ç (A È BÇ B)= A È B所以有A È B = A Å (B Å (A Ç B)。*15.对任意集合A，B，C，证明：（1） 假如A C = B C，如此A Å B Í C。2假如A Å B = A Å C，如此B = C。证 1反设(A Å B) Í C，如此存在xÎ(A B) È (B A)且xÏC，假如xÎ A B，如此有xÎA，xÏB，xÏC，所以xÎ A C而xÏ B C，与的A C = B C矛盾；假如xÎ B A，如此有xÎ B，xÏ A，xÏC，所以xÎ B C而xÏ A C，与的A C = B C矛盾。因此，A Å B Í C。（2） 反设B = C，那么不妨设有x，xÎB，xÏC。假如xÎ A，如此xÏ A Å B，但xÎA Å C，与A Å B = A Å C矛盾。假如xÏA，如此x ÎA Å B，但xÏA Å C，又与A Å B = A Å C矛盾。因此有B = C。 集合的归纳定义与归纳法证明容提要 集合的归纳定义由三局部组成: 1根底条款：规定待定义集合以某些元素为其根本成员，集合的其它元素可以从它们出发逐步确定。 2归纳条款：规定由已确定的集合元素去进一步确定其它元素的规如此。于是，可以从根本元素出发，反复运用这些规如此来确认待定义集合的所有成员。 3终极条款：规定待定义集合只含有l，2条款所确定的成员。条款l，2又称归纳定义的完备性条款，它们必须保证毫无遗漏地产生出待定义集合的全部成员；条款3又称归纳定义的纯粹性条款，它保证整个定义过程所规定的集合只包括满足要求的那些对象。4.3.2自然数的集合论定义定义 4.9 l称空集 Æ为自然数，记为0。 2称A为集合A的直接后继，如果 AA ÈA 归纳定义自然数集N： l根底条款：ÆÎN 。 2归纳条款：如果xÎN ，如此x= x ÈxÎN。 3终极条款略 按照上述定义。自然数集N由如下元素组成：Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，Æ，或 0，0，0，0，将它们依次表示为 0，1，2，3，习题解答练习 4.31归纳定义å*å*å+Èl，令å= a，b。解 1根底条款：åÍå*，lÎå*2归纳条款：如果xÎå，yÎå*，如此xyÎå*（3） 终极条款：除有限次使用1、2条款确定的元素外，å*中没有别的元素。 2令å= a,b,c，归纳定义： l L Íå*，使L中所有字里都有字ab的出现，且所有含字 ab的字全在L中。2LÍå*，使L中所有字里都含有字符a和b，且所有含字符a,b的字全在L中。解 1根底条款：abÎ L归纳条款：如果xÎå，yÎ L，如此xy ÎL，yx ÎL终极条款：除有限次使用1、2条款确定的元素外，L中没有别的元素。2根底条款：abÎ L，baÎ L归纳条款：如果xÎå，yÎ L，y=w1w2如此w1xw2ÎL终极条款：除有限次使用1、2条款确定的元素外，L中没有别的元素。 3归纳定义如下集合： 1十进制无符号整数集合，非零数不得以 0为字头。 2十进制非负有穷小数。 3全体十进制有理数。4二进制形式的非负偶数， 非零数不得以0为字头解 1设I表示十进制无符号整数集合，其归纳定义如下：根底条款：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9Í I归纳条款：如果xÎ I且x 0，yÎI，如此xy ÎI 。终极条款：除有限次使用1、2条款确定的元素外，I中没有别的元素。2设R表示十进制非负有穷小数集合，其归纳定义如下：根底条款：x.ê xÎ IÍ R归纳条款：如果xÎ R，yÎ0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，如此xyÎR终极条款：除有限次使用1、2条款确定的元素外，R中没有别的元素。3设Q表示全体十进制有理数集合，其归纳定义如下：根底条款：I Í Q (I为整数集)归纳条款：如果xÎ Q且x 0，yÎQ，如此x/y ÎQ终极条款：除有限次使用1、2条款确定的元素外，Q中没有别的元素。4 回忆命题公式的定义公式中括号不省略。现将公