专题58 二次函数中的面积问题（原卷版）.docx

二次属数中的面积问题例题精讲求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、捌补'等枳变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法一一钳垂法.【忖1述】在平面直角坐标系中，已知人(1.1)、8(7.3)、C(4.7),求44BC的面积.【分析】显然对于这样一个位置的三角形.面枳公式并不太好川,割补倒是可以-试比如这样:构造矩形AOER用矩形面积减去三个:角形面积即可得iM8C面枳.2树=S.q+$"=CDAE+1CDBfcD(AEBF)此处AE+A尸即为A、8两点之间的水平距离由即意得：AE+BF6.下面求CD：根据小8两点坐标求得宜跳AB解析式为：y=-x+-由点C坐标（4,7）可得D点横坐标为4.将4代入直线八8解析式得D点纵坐标为2.故。点坐标为<4.2）,CD=5.S.w="×6×5=15.ak2【方法总结】作以下定义：八、8两点之间的水平距离称为“水平宽”：过点C作K轴的垂线与八8交点为d线段C。即为八8边的“锚垂高二【解J步】< 1）求4、8两点水平距建，即水平宽：< 2）过点C作X牯垂线与AB交于点/）,可得点。横坐标同点C；< 3）求口战AB解析式并代入点。横坐标，得点。纵坐标；< 4）根据C。坐标求得铅乖高；< 5）利用公式求汨三角形面枳.例题精讲【例1】.如图.附物线F=-A2-2r+3与X轴交于A(1,0),8(-3,0)两点，与y轴交千点C点P为搬物戌第：象限上动点，连接/招、PCBC,求4P8C面积的爆大例，并求出此时戊尸的坐标.A变式训猿【变17.如图，已知她物线y="v2+6+3与X轴交于4、B两点,过点A的直规/与物物税交于点G其中A点的坐标是(1.0).C点坐标是(4,3).<1>求抛物我的斛析式和出线AC的解析式：<2>若点E是(D中拗物统上的一个动点，且位于立践AC的下方，试求aACE的坦大面积及E点的坐标.【变1-2.如图.直线产-±k+2交.轴于点A,交X轴于点C弛物线F=-1/+/）计<.经过点14,点0.且交X轴于为一点反<>求他物线的耨析式：< 2>在直线AC匕方的她物线上行一点M,求四边形AtiCM而枳的最大值及此时点M的坐标.【例2】.如图,他物纹.v=x2+>r+r与X轴交于4<-1.0）,8（3.0）两点,过点八的直线/交跄物线于点C（2,m）,点。是线段AC上一个动点，过点尸作X轴的垂规交她物跳于点E< 1>求拈物税的解析式：< 2）当P在何处时,CEif积最大.A变式训练$2-1.如图，拗物畿）=«?+限+2交X轴于点八（-3,0）和点B（1,0）,交）轴于点C.1）求这个他物线的函数表达式:2若点。的型标为-1.0）,点P为第二象限内抛物线上的一个动点,求四边形八/XT面积的最大【变2-2.如图，在平面直角坐标系中，直线2与K轴交于点8,与轴交于点C，：次函数F=X2+8,C两点，且与N轴的负半轴交于点八，动点。在食跷8C下方的：次函数图象上.1求二次函数的表达式；（2连接OC,DB,设BCD的面积为S,求5的垃大f,（.实战演练1 .如图，抛物税y=-÷+2与X轴交于A,B两点,与'V轴交于点C.若点/>是线段BC上方的抛物践上动点，力CP的面枳取得最大值时，点P的坐标是A.(2,3)(ff>C. (1.3)D. (3.2>2 .如图1.他物线y=-+b+c与X轴交于a、8两点.与.轴交于点C宜线y=-j+2过从C两点,连接AC.<I>求他物税的解析式：(2)点P为地物线上宜线UC上方的一动点，求2XP8C面枳的最大值,并求出点P坐标：<3>若点。为她物线对称轴上一动点,求(?AC周长的最小值.3 .如图，抛物线了=-F+防+c与K轴交于A(I,0),8(-3,0)两点.<1)求该枪物线的艇析式：2设(D中的抽沏成交)轴于C点，在该抛物战的对称轴上是否存在点Q,使得AQAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标：若不存在，请说明理由.(3在(1)中的效物线上的第二象限上是否存在一点P,使/>8(?的面枳最大？若存在,求出aP8C面枳的最大值.若没有.请说明理由.4 .如图I,在平面直角坐标系中,已知弛物税y=aj+Zn-5与X轴交于A(-1.O),H(5.0)两点,与y轴交于点C.图】图1畜用图<1)求他物线的二次函数解析式:(2若点P在抛物战上，点。在X轴上,当以点从G尸、。为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标:<3>如图2,点，是直线8C下方拗物线上的动点，连接B”,CH.当ABC”的面枳最大时，求点，5 .如图，在平面直向坐标系中，二次函Sb=F+限+<的图象与、轴交于A、8两点，8点的坐标为(3,0>,与.丫粘交干点C(0.-3),点P是直线86?下方地物线上的一个动点.<1>求二次函数解析式：(2)连接PO.PC.并将/¥)(：沿y轴对折，得到四边形PwU地否存在点P,使四边形P。C'为菱形?若存在,求出此时点尸的坐标:若不存在,请说明理由:<3)当点P运动到什么位置时,四边形A8PC的面积最大？求出此对P点的坐标和四边形A8PC的最6 .如图，跄物线y=r2+hr+c与坐标轴交点分别为A<-1.0),B(3.0),C(0.2),作直线8C.<I>求她物般的解析式；<2>点P为拊物线上第一象限内一动点，过点P作P1.x轴于点。，设点P的横坐标为f<0<<3),求44JP的面枳S与t的函数关系式：<3)条件同(2),若P与ACOb相似.求点尸的坐标.7.如图，拊物线.v=a-34“储<0)与X轴交于A,B两点,宜城y=x+，经过点A,与抛物线的另一个交点为点C点C的横坐标为3.线段尸。在线段A8上移动PQ=I.分别过点A。作K轴的垂线，交加初战于£、F,交直线于。，G.<>来她物线的解析式：<2）当四边形。MG为平行四边形时,求出此时点入。的坐标：<3）在戏段P。的移动过程中,以。、E、F、G为顶点的四边形面枳是否有最大值，若有求出川大值.若没有谙说明理由.8.如图，已知二次函数y=v2+hr+3的图象交X轴干点4（1,O）,B（3.0）,交F轴于点C.E是,BC上一点,PEy.<1>求这个二次函数的解析式：（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点.求BCP面积的最大值：3直线x=m分别交出线BC和她物线于点M.N.当m为何值时MN=HM.9.已知出城产率-3与X轴交于点A,与y轴交千点C.抛物线y=-2+nr+M经过点A和点C.<1>求此拈物税的解析式：<2）在直线E上方的附物戏上是否存在点。,使得ZiAC/?的面枳M大？若存在，求出点。的坐标:若不存在,说明理由.y10.如图，在平面H角坐标系中，拗物线y="ri+Z>.1.3交X箱于点A(-I,0),8(3,0),过点8的宜戏F=x-2交抛物线于点C<1>求该枪物线的函数表达式：<2>若点。是直战SC下方抛物线上的一个动点(P不与点8,C重合，求APBC面积的最大值.II.如图，在平面直角坐标系XOy中，已知直线y=x-2与X轴交于点A,与F轴交于点8,过A、8两点的拊物战>=0t2+b+c与X轴交于另一点C-1.0>.<1>求抛物线的解析式：<2>在她物戏上是否存在一点P,使Sb=S,ohI若存在，诂求出点P的坐标，若不存在，说说明,Pih；3点JW为出线八8下方弛物线上一点.点N为F轴上-点,当仇8的面积最大时,求A的酸小值.12.直规>=-+2与X轴交于点4,与y轴交于点B,拊物践）=-x2+>x+c经过阳B两点.<1>求这个二次函数的去达式；<2>若尸是H战A8上方抛物线上一点；当APBA的面枳鼓大时，求点P的坐标：在的条件下,点。关于他物线对称轴的对称点为Q,在直规AB上是否存在点M使忠直线QM与出城8A的央角是NQA8的两倍？若存在,出接写出点M的坐标：若不存在,请说明理田.13.如图.在平面宜苑坐标系中，他物线y="+fer-3(a0交F轴于点4.交X轴于点8(-3.0)和点C(1,0>.<l）求此枪物线的表达式.（2）若点P是直线八8下方的拊物线上一动点，当4A8P的面枳朵夫时，求出此时点P的坐标和AAB尸的最大面积.<3>i殳他物税顶点为在（2）的条件下宜线A/T上确定点儿使AOHP为等接：.角形,请直接写出此时点，的坐标14.如图.已知效物线）=-F+6+，与3线相交于A（1.0）、C<-2.3）两点.与轴交于点N,其顶点为D.<)求抛物税及直线AC的函数关系式：2在对称轴上是否存在一点M,使aANM的周长最小.若存在.请求出M点的坐标和4AMW周长的最小值I若不存在，请说明理由.3若P是她物线上位于宜城AC上方的一个动点，求/1(？的面枳的最大值及此时点P的坐标.备用图15 .如图，在平面H角眼标系中，二次函数的图象交坐标轴十八<-I.O),B<4,0).C(0.-4)三点,点P是真线8C下方搬物找上一动点.<>来这个二次函数的解析式：<2)动点尸运动到什么位置时,夕8C面积最大,求出此时。点坐标和/>"?的最大面枳.(3)是否存在点P,使aPOC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出。点坐标；若不存在，请说明理由.16 .已知抛物线1.=-F+辰+<,与X轴交于A(-1.0),8(3.0)两点,与y轴交千点C.< 1>求抛物找的解析式：< 2>如图1.抛物线的对称轴交X轴于点M,连接8C、CM.求/?CM的周长及UInN8CM的值：< 3>如图2,过戊A的宜践涧8C,点P是直线8C上方拗物设上一动点，过点P作1.”，垂足为点4连接8)CD.CP.PB,当四边形W)C尸的面枳最大时，求点P的坐标及四边形MCP面积的最大值.17.如图I,在平面耳角坐标系AS中，微物城M：y=Y+M+c经过点八(-3,0)和点8(1,0).1求拗物线Fi的解析式；（2如图2,作她物线行!，使它与她物线内关于原点。成中心对林，谓直接写出她物跣尸2的解析式:3如图3,将（2）中岫物线力向上平移2个IR位，得到抛物线Fi.他物线Fi与她物税为相交于C.。两点（点C在点。的左1W）求点C和点C的坐标：若点W.N分别为抛物线E和抛物城仍上G。之间的动点（点M,、与点C。不重合，试求四边形CW"V面积的最大（18.将抛物畿y=M（O）向左平移1个单化再向上平移4个单位后，得到他物城/：=«（.v-）¼.勉物线”与X轴交于点A、B,与y*交于点C.已知A（-3,0）,点P是抛物线H上的个动点.< I）求枪物线H的表达式.< 2>如图1,点P在线段AC上方的弛物线H上运动不与A、C重合P过点FfflPDlAB.垂足为D,。交八。于点£.作P凡1.Ic垂足为A求的面积的最大值.< 3）如图2,点Q是抛物线H的对称轴/上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P,使得以点A、。、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点尸的坐标；若不存在，说明理由.+,yI+y>参考：若点Pl（KI,yi）、Pi3,川，则城段p>2的中点处的坐标为（T-Z.1）.乙乙