专题69 数与式中的新定义问题（解析版）.docx

数与式中的新定义问题例题精讲k2J若【例I】.定义一种新运算：Jnxn_1dx=an-bn例如J：2xdxk=-2.解：由SS意得.解得Jt=-2.故答案为，-2【变17.定义：对于实数.符号匕表示不大于”的最大整数.例如1：57=5,5=5.-n=-4.如果察=3则X的取值范用是（>A.5x<7B.5<.v<7C.5x7D.5x7解：由题意得：3W驾<4,26jr+i<8.5<7,故选：A.【变1-2.现定：符号口叫做取整符号,它友示不超过X的最大整数.例如：5=5,2.61=2,0.2=0.现在有一列非负数maz-«3.,.已知m=10,当"N2时,an=zan+-5（亳与-二马），则"2022的值为11.解：.i=10,o2=÷I-5()-0)二11O3=2+5(tf5=<M+l-5(fl4-53-5d6=d5÷l-5(11-.ai,<0,传5个结果循环一次.V2022÷5=404-2.02ce2=G=I1.故答案为：11.【例2.定义：如果一个数的平方等于-I.记为尸=7,这个数i叫做虚数单位，把形如“+/"的数叫做处数，其中“叫做这个发数的实部,b叫做这个攵数的虚都,它的加、然、乘法运算与整数的加,减、乘法运算类似.例如计算:(4+r)+<6-2i>=4+6+r-2=IO-<2->(.3-i)=6-2<-3+r2=6-5r-1=5-5/根据以上信息计算(l+2r>(2-力+(2-r)2=1-1.解：(1+方><2->+(2-r)2=2-/+4-2?+4-4f=2+3+2=7-1.故答案为：7-A”变式训练【变2-1】.阴宪是生活在北宋年间的数学家，“黄帝九章徵法细草:“择镇前书3等书，但是均已失传.所谓“贾宪三角”指的是如图所示的由数字所组成的三角形，称为“开方作法本源”图，也称为“杨辉三角二贸先发明的“开方作法本源一图作用之一，是为了揭示二项式(“+/>)"(n=l,2.3,4.5)展开后的系数规律,即<+Z>),=+.<+h)2=(T*2h>2.<a+b)'=J+3"rt3加+初.<+)4=w4+4<,H-6tr2+4,+fr4.<+Z>)s=<+5<ft+IOr+l3+5rt>4+>5.则二项式（"+/>>"<”为正整数）展开后各Iii的系数之和为<解：根据即意得：C.2"D.2ntl当”=1时.展开后各项的系数之和为：l+l=2l当”=2时，展开后各项的系数之和为：1+2*=2?,当”=3时,展开后各项的系数之和为：1+3+3+1=2n当”=4时，展开后各项的系数之和为；l+4W+4+l=24.当”=5时,展开后各项的系数之和为：1+5+10+10+5+1=2$,当”=6时，展开后各项的系数之和为；1+6+15+20+15+6+1=26,二猜想当n=n时，展开后各项的系数之和为:2n.故选：C.alla12aIna2a22*a2n【变2-2.已知"行"列("N2)的数表A=：:3,中.对任意的i=l,2.,小尸1,2.IanIan2a*n.都有即=O或1.若当“*=0时,总疔(air+s/+”而)+(u+r?+"m)-”则称数表A为典型表，此时记表中所有码的和记为S1,.0,01.其中典型表是（OOq（；：<>若数表B=1OO,C=00"I。OOl<2>典型表中SS的最小值为13.斜：（1）数农8中“12=0,而<2÷22+<M2>+(tf+<112+B)=O÷O+1H0+1=2<3,二数表占不是典型表：对于数表C中当&t=0时，总有<d+<J2i+tfr>+<,+g+>n»二教表C是典型表：故答案为:C.(2)若典型表中出行最小值,即典型表A中的1最少且当。、尸0时，总行<,+g+”,")+(u+u)n.1则八=0001000,1000OlllOlllOlll或A中,则SS的最小值为13.故答案为：13.实战演练I.时任意两个实效«.定义两种运算Tmicl，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如：<-2>3=3,<-2>03=-2.(-2)3)02=302=2,则(遍中2)®病等于()A.35B.3C.5D.2垂：由题就得:(52)V27=V027=V03=V.故选：C.2.对于两个不相等的实数。、b,我力规定符号M(,川表示。、b中较小的值.lm(2.4)=2,按照这个规定.方程4=&-1的解为()A.I或3B.I或-3C.1D.3耨：分两种情况：当x>0时.2,XXVMn-9-J-J.XXX.14lXXl=4-x,解得,k3检验：当X=3时.x0.工l=3是原方程的根：当XVO时,1>1,XX；Minl1.-I=-1-XXX1,XX3=4-X.解得：*=1,不符合题意，禽去，综上所述：fjViMin-,31=2_的好为3.XXX故选：D.3.定义：如果t=N(a>0.al>,那么X叫做以“为底N的对数.记做x=log(身.例如：因为72=49,所以log49=2:因为53=125,所以1咕<125=3.则卜列说法正确的个数为() k>g<,l=O; log.C5=3k>ga2;若0g2<3-«)=Iog827,则rt=O:Iogzry=log2x+log2,v<x>0.y>0>.A.4B.3C.2D.I解；.6')=1.Iug61-0,说法普合触意：由于，=<r*",设f=(w,F=<r.ftm=IogjW.n=log,V.F是IOgJMN)=Zn+"=IogW+kgjM说法符合题童：则1。妒3=Iogj(2×2×2)=log2+log2+log32=3logj2.说法符合飕.fi:设p=k>g11.则,=b,两边同时取以。为夫的劝数，IogCaP=1。8小，则“馋"=卜娟3logra所以P-丁七IOgCblogcblijlo8ab=-alogcalog2271r'llIog827-g-=ylOg227=1og2273一<*T2Vlog2(3-«)=logs27=Iog23，=0.说法符合题.旗：故选：A.4.我们把F1称作二阶行列式,规定它的运修法则为aJ=%/-加.史：(j=2X5-3X4=-2.请你计-2。2的值为20.4-9-2B解：24-9=<-2)X(-9)-(-)×42=18-<-2)=18+2=20.故谷案为：20.5.而于实数Gh.定义运算“0”如下：ab=(+fe)2-(-ft)2.若(m+l)O<n-2)=16.则m=3或-2.解：Va©&=(a+>>2-(,a-b)2=<u÷+-A)(o+b-a+b)=4ab：.<m÷l>Q(/M-2)=4<m*l><m-2)=4(-m-2)=16,塾理汨>n2-m6=0.耨得m=3或，”=-2.故答案为：3或-2.6 .设”为正整数.记加=1×2×3×4×Xm(w2>.I!=1.Wj-J+-J-÷-+?+9,2!3!4!9!10!.110!解.-J-,2I32!3!4!9!10!=<1-l->+<r-J->+-111-)+(J-)2!2!3!3!-4!9!10!故答案为：.T10!7 .新定义：任意两数按现定y=典得到一个新数V,称所得新数丫为数，”，”的“愉悦数，则n当m=2vH,=>I,且加，的"愉悦数”为正整数时，正整数M的值是解:m=2÷hrr=-I.旦F为数r,的"愉悦数”时,9v÷l-2÷l>+(X-I)X-I2x+l(2x+l)(-l)(-l)2X-Ix-1x-12x÷1-2x2÷x+1÷x2-2x÷1x-1_-x2+x+3x-1_-(x2-2x÷l)-x÷4x-1.-(x-1)2.-x÷4x-1x-1.3和y均为正整数,当x=2时，y=l,当x=3时，V=-1,'2枚答案为：2.8 .对数的定义：一般地，若d=N(0>0且“KI),那么K叫做以“为底N的对数，记作x=l%W,比如指数式2=8可以转化为对数式3=log28,对数式2=1OgQ6,可以转化为指数式62=36.计算Iog39*log525-Iog232=O.解：Iog59+log5125-Iogz32=2+3-5=0.故答案为：09 .对于正整数我们规定：若师为奇数.则/=3n+3:若加为偶数.则/3)=5.例如，=3×5+3=18.f(8)二微=4,若叫=1?2二,(“)32>"M-f(T)依此规律进行下去，得到一列数，"I,W2,m.，必，而，5为正整数)，则m+m2+aBsr202=14140.解：根据题意得,m=1,m2=/<m)=/(I)=6H3=/<w?)=/<6)=3./W4=/(m)/(3)=12,m5=/<rm)=/12)=6,W6=<侬)=/<6>=3，m=f<n6)=/<3>=12,m=</W7)=/<)2)=6.w=/<m)=/<6)=3.112(2I=6."22=3,2022÷3=674.m÷m2÷w÷÷m202=(6÷3÷I2)X(674-1)÷6÷l=14140.故答案为：14140.10 .如图.把平面内一条数轮绕原点。逆时针旋转角0(f<<90>得到另一条数轮X轴和y轴构成一个平面斜坐标系.规定：过点?作轴的平行战，交轴干点A,过点P作人轴的平行跷，交F轴于点8.若点A在.i轴上对应的实数为点8在轴上对应的实数为队则称有序数对(“.b为点P的斜坐标.(I)点P(X,关于原点对称的点的斜坐标是(-x,7)；2在某平面斜坐标系中,已知0=60,点P的斜坐标为(2,4),点N与点P关于X轮时林，则点N的斜坐标是(6,7).解：(I)点P(,y>关于原点对脓的点的斜坐标<-.-y>.故答案为：(-X.-.V)；<2作P点关于X轴的对法点N,连接PN交.I轴于点R作NCx轴交y轴于C点，作NO他交X轴于D点,'：PA/BC/ND.：.Z¾F=Z=ZFD>V=60*,'JPF=FN,NPFA=NDFN=,.PAFNDF(AAS),JPA=DN,AF=FD.；点。的斜坐标为<2.4).：.OA=BP=3P=BO=4.：.DN=4.VZ¾F=60",AF=DF=4cos60c=2.O=4.：.()!)2+46.：.N(6.-4).故答案为：(6-4).”.欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他的贡献不仅遍及高等数学的各个领域.在初等数学中也留下了他的足迹,下面是关于分式的欧拉公式：7-7llS3En-=p,r=0时0,r=10t1,r=2时a+b+c,r=3时(其中b,c均中为零,且两两互不相等).< 1>当r=O时.常数的值为0.< 2>利用欧拉公式计算：_202132°-=6063.物""二°时.(a-b"-c)(M(b-a)Yc-a"c-b)_111(a-b)(a-c)(b-c)(b-a)(c-a)(c-b)_b-c_a-ca-b(a-b)(a-c)(b-c)(b-c)(a-b)(ac)(a-c)(b-c)(a-b)=0,IP=O,故答案为：0：< 2>当0=2022,b2O2l,c=2O2O,r=3时，20223Q90203-20213#柴一=2022+2021+2020=")63.故答案为：6063.12.任何一个正整数”都可以进行这样的分解：n=s×t($、，是正整数.且$«力如果PXq在”的所有这种分解中两因数之差的绝时值最小，我们就称PXq是"的最佳分解，并规定：F(«)=2.例如18可以分解成1X8.2×9.3X6这三种,这时就行尸(18>=.给出下列关于F(”)的说尚F(2)=£:F(48>=yF<n2+n)=肃若”非。整数,则产(后=1.其中正确说法的是(¾(将正确答案的序号Ift写在横戏上).解：V2=l×2,(2)=工2故遇句符合即意：V48=1×48=2×24=3×16=4×12=6×8.Ff-O5_6_384故语句不符合也意：Vn2*=<«+1),：.F(n2+n)=-r,n+1故语句符合跑意：V2=i×i.故语句符合题意,故答案为：(§烦.13.对于三个实个b,C用Mo,b，c)表示这三个数的平均数,用加n(o,b,0表示这三个数中最小的数.例如：M1.2.9=叱+9=4.min,2.-31=-3.,”汕3.1.1=1,请结合上述材料.«5解决下列时即：<I>MJ>tsin30o,cos60a.tan45o)：<2>若"-2x,，3=2.求X的(ft.解：(I)wr(sin30,.cos60".tan45"|=”而哈,PI)-1-2：<2>V.W-2x.X2.3J=2.-2x+x2+3,-32，整理汨：x2-Zt-3=0.< -3)(x+l)=0-3=0uJ.v+i=0.=3或K=-I.I的值为3成-I.14.定义0C<1>求<2>若)为二阶行列式，规定它的运算法则为:201720181.ffi20162017"2m1=20，求，”的伯.m-2m+&=Od-be.例如:=5×8-6×7=-2.2017201820162017=2OI72-2018X2016=2OI72-<207+)X(2017-I)=2O172-2O172+l< 2>Va=ad-bc.m+2Brm=20.Icqm-2m+3<m÷2><m÷2>-(m-2><m-2)=20.解得rt=-.I5材料：对于一个四位正整数，n,如果满足百位上数字的2倍等于位与十位的数字之和，十位上数字的2倍等于百位与个位的数字之和，那么称这个数为“相邻数二例如：；3579中，2×5=3+7=IO.7×2=5+9=l4.'.3579是“相如数”.< 1)判断7653.3210是否为“相邻数二并说明理由:(2)若四位正整数”=l000+100>+l0c为“相邻数其中,b.c.d为整数，且1W.W9,OWbW9,OWCW9,OWdW9,设尸=2c,G()=Id-a，若期行空(n)侬为蜷数,求所有海足条件的值.Hfh(I)7653不是“相邻数”：3210是“相邻数”，；7653中，6X2=7+5=12.5×2=IO.6+3=9,IO9.7653不是“相邻数”：V3210.2×2=3+l-4.I×2=2+0=2.32!0½“相邻数”：<2)；四位正整数”=1000o+l(X)Hl0r÷d为“相铭数“，2=+<'.2<=b+d.VF(/»)=2c,G<«>=2d-a.3F(n)Y(n)+236c+a-2d+236c+a-2(2c-b)+232a+3c+23,2a+3c+6'17=1717=17"=1Vl9,0Z>9.0<9.0rf9.82a+3<-Hi5.*.2+3i+6=17.34.51.20+3C=H时.«-l.c=3.b=2.d=4,此时”=1234.2+3<=28时，=8.c=4,b=6,(1=2.此时a=S642,2+3c=45时，“=9.<=9,b=9.<1=9.此时“=9999,综上所述，所有满足条件的”的值为I2M，8642,9999.16.我国宋朝数学家杨辉在他的若作M详解九章算法3中提出“杨辉三角”(如图)，此图揭示了(“40”(”为非负整数)展开式的项数及各项系数的相关规律.例如：(e+b>°=,它只有一攻，系数为I：< u+),=÷,它有两项，系数分别为I,1,系数和为2：< +)2=fl2+2flH-,它有三项,系数分别为1.2.I,系数和为4：根据以上规律，解答下列问题；< l><+)$展开式共有6项,系数和为32.< 2>求(2<-1)$的展开式；< 3)利用表中规律计算:25-5×24+10×23-IO×22+5×2-1(不用表中规律计算不给分)：< 4>i殳(x+l),7=i7x+rtiMl6+flix+<ro.贝Jm+0r*G+6+i7的位为2l7-I.;(+b)0=11(a-b)l=÷bI132§1(a-b)2=2+2b÷b214641(a+t>)3=a3÷3a-+3ab+b3(+b)4=a4+4a3t>+6a-l>2+4ab1+b4图I图2解：根抑;图发中的比律.可得：S+b)$展开式共有6项，ll+5+l(H-l(H5+l=32,故答案为:6.32：(2><2-I)5=25a+5×244<-l>+10×2,a3(-!)j+10×222(-I)3+5×2a(-1)4+<-I>,=325-80r4+80-40a'+1-I；< 3)根据图衣中数据的规律可以发现：25-5×24+IO×23-1O×22+5×2-I=(2-I)5.2s-5×24+IO×2j-IO×22+5×2-1=1：< 4)，：(x+l)l7=u7x+,6+u+<ro.二当X=I时，< 1+1)"=E+5+G+a3+“16+。”，当X=O时，< 0+1)l7=<o=h.2l7=l+u+<r2+i+-+CI16+fII7.a*a2+3+l+l7的值为217-I.故答案为：2”-I.17.若规定f<”，m)=n×<n+l)×(n+2>×(+3>××(n+w-1),且，n,为正整数，例如/(3,l>=3.<4,2>=4X5,/(5,3)=5×6×7.< 1>计算f<4,3)-/(3,4)：2试说明：f(nm)-rf(n,m+l)-f(n-l.m+1)：tn+1< 3>利用(2中的方法解决下面的问题.记«=/<1.2>V(2,2>V(3.2)+(27,2),b=f< i.3)V<2.3)V<3.3)+4(11.3).0,的也分别为多少？试确定/的个位数字.(I)解I/(4.3)-/<3,4)=4×5×6-3×4×5×6=4×5×6×(1-3)=-2×4×5×6=-240：<2)证明：*/(】)=w×(+1)×(+2)×(/1+3)××(r÷w-1)(-i-ir(n.n+)-f<n-1.n+l)=-××(+I)X(n+2)×<n+3>××(n+n)m+1m+1-I>××<n+l)×(n+2)×(n+3)X-×(n-1+m+l-1)=i-(11×(m+1)×(rr+2)×(r+3)××(11+m-I)×<m+l>Jm+1=×(rt+l>×(t+2>×(+3)XX(n+m-1).f(n,m)=f(n,m+1)-f(n-l,m+1)：tn+1<3)解：V=(l.2)(2.2)(3.2)+(27.2)(2.3)+-+/(27.3)-<26.3)-/(2.4)+-4/(il,4)<1,3>-f(0.3)V(2.3)f(l.3>(3.3)*5=-(<27.3)-/(0.3)I-A×27×28×293=7308.b=f(1.3)+f(2.3)+f(3.3)+-V(II.3)-<1.4>-f(0.4)V(2.4)-<l.4>V<3.4)4412×I3×141-4=6006：(？=730806,.6的个位数字是8.82的个位数字是8.4.2.6撕环.V6()06÷4=150i.V的个位数字是8.,请阅读以下材料,解决问题.我们知道：在实数体系中，一个实数的平方不可能为负数，即"HQ.但是，在复数体系中，如果一个数的平方等于-1.记为F=-1.这个数，叫做虚数单位,那么形如。+历(、人为实数)的数就叫做复数.。叫做这个坡数的实部，/，叫做这个发数的虚部.它的加，减，乘法运算与整式的加，M，乘法运算类似，例如计算：(3+i)i=ii+i1=3i-i(2+/)+(3-4f)=(2+3)+<1-4)i=5=3r三若两个笈数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个狂数相等：若它们的实剖相等，虚部互为相反数，则称这两个亚数共辅.如l+2i的共转复数为I-2/.根据材料回答：(I)埴空：(2+f)(3i-1)=Si-5；符”r2+9(，”为实数)因式分解成两个复数的积："Ag=("+3i)(,”-3普：<2>若，叶加是<l+2f)2的共规更数，求12on的值;(3)已知(+i)(Ki)=2-4r.求(J一庐)(尸+沁产+产23)的值解：(1)<D(2+i)(3i-I)=6i-2+3产-f=5-2-3=Si-5.故答案为：5/-5；w2+9=(m+3i)(m-3i),故答案为：(，+3力(m-3i)s(2) <l+2i)2=+4+4r2=-3+41.Z+加是1+202的共惧灾数.,.a=-3.b-4.J<h-fl)屈=(7+3)血二|：<3)7(0÷D(W)=ab+3b)i-I=24r.:2=aba+b=-4»:ab=3.<÷b=4«ab=±2,Vi2=-I,?=-i,i*=l,i5=ir=-1.j7=-i.，.in的运算结果-1.-i,.i循环出现，V<2023-I)÷4=5O5-2,i2+ii+ii+i2a2y=-j-i,当Q-6=2时,(J-户)(产+户+，4+产”)=-8<-I-i)=8+8/：当-/»=-2时，(<r-b2)内户+人+产=8(-/)=-8-8/：踪上所述：(2-扇)(沁pH%.一泮力的慎为8+&或-8-8i.19.式子-1+2+3+4+100”表示从1开始的连续100个正整数的和,由于上述式子比较长，书写不方便,100为了简便起见,可以将上述式子表示为En.这里是求和的符号.例如“I+3+5+7+%用n-15010可以表示为£(2n-l).3+2M3+-+IO3,MJ*,可以表示为En3.n-ln-l6)<>把工写成加法的形式是15+32+42+52Hz:n-l50<2>“27+6+8+10()”用u"可以表示为_Y2n；E2022.计算；E(/n)n-1n(n+l)6)解：En-12+22+32*42*52+62.n-l故答案为：12+32+32+42+52+62：50(2>2+4+6+8+1()0£2«.n-l50故答案为：£2”：n-l20221<3>(-Z.T)n三ln(n+l)=1-1.1+，_1_1×22×33×4n(n+l)J1.-223344520222023=I-2023.2022一202320.好学的小货I可学，在学习多j式乘以多项式时发现：(4)<2r+5)(3-6)的结果是一个多项式，并且最离次项为：x23x=3.t常数*4×5×<-6)=-120,那么一次Js是多少呢？要解决这个何甥，就是要确定该一次JS的系数.根据尝试和总结他发现：一次项系数就是；y×5×(-6)+2×(-6)×4+3×4×5=-3,即一次项为-3x.谛你认真领小东同学斜决向胞的思路，方法.仔细分析上面等式的结构特征.结合自己时多项式乘法法则的理解，解决以下何甥.<1>计算(-5><3,r+l>(5-3)所得专项式的一次项系数为17.<2>若计算(.r+.v-IX?-2t+«)(2r+3)所得多项式的一次项系数为2,求“的假；<3>若(.v+l)20"=(m"+“I.产1.dit2020+xm2022,WO«2(121=2022.解：(I)(x-5)(3x+l)<5x-3>的一次项系数为：IXIX<-3>+3×<-5)×(-3)+5×(-5)Xl=-3+45-25=17.故答案为：17：<2)(+x-1)(？-2v+a)(2+3)的一次项系数为：lXX3+(-2)×<-1>×3+2×(-I)×a=34+6-2=4+6,V<+-1)(?-2r+)(2t+3)的一次项系数为2.:a+6=2,*=-4：晔:2哈20君晔20N.(.r+l)W的一次项系数为:IX1X-×11×IX-X1+1×IX-Xi-,l+l+12022.又x+1022=wr2022+x2021+<it2,20+2)2.v+2022»22=2022.故答案为：2022.21.阅读下列材料.材料一：时于-个四位正整数，如果百位数字大于千位数字，且个位数字大于十位数字，则称这个数是“双增数”：如果百位数字小于干位数字.且个位数字小于十位数字，则称这个数地“双减数”.例如：3628,4747“双增数”.5231.9042是“双减数”.材料二：将一个四位正整数E的百位数字和I位数字交换位置后，得到一个新的四位数加，规定：F(m)=m-ni.例如：F<2146)=2146-2416=-270.< 1>最大的“双增数”是8989.0小的“双减数”是IOIO；< 2>已知“双增数”$=I(KX1.v+100(94)+1OyIWX<9,049,八y是整数,“双减数r,t=3000+20d+><0fl9.0Z>9.。、Z)是整数)，且r的各个数位上的数字之和能被12整除，现规定K=F(三)+F<r).求*的最大值.耨：(1)由双增数的定义得最大的双增数是：8989.根据双减数的定义得出小的双战数是：IUlS故答案为：8989.1010.< 2>由题念：F(三)=s-s'=I000+I00(>m4)+I0v+6-OOO*100>÷IO(.v+4)46=360.Vr=3000+2<+>.，2+>是一个一:位数.设它的百位数是e,卜位数是/；个位数足,则1001.Ky=2(M.r=3(XXHKXV+l(y+.Y，为双M数.0e<3-(/)=MOtHlr+IQb-(3000HUQfHOe+ZO=90(e-f)=36O+9O(.e-f).：.e=0.I,2,当=6,7,8.9时20会产生进位,故百位e的公大值为1.,Vf各数位上数字之利是12的倍数.3+l+>乱12的倍数./&2的倍数=6,b=2此时k的报大值为：3M)+90(1-6)=-9().