2011年河南专升本高数真题 答案解析.docx

2011年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学一、选界黑(每小题2分，共60分)的定义域是<1.函数/(x)=ln(2-x)+7=j=A.(-oo,2)B.(-2,+oo)C.(-2.2)D.(0.2)恪案】C【解析】2-x>0x+2>0=>-2<x<2.故语数"X)的定义域是(-2.2).2.设/(x+l)=x'+2x+2,则/(X)=()A.B.+lC.-5x+6D.xj-3x+2【答案】B【解析】/(x+1)=x2+2x+2=(x+I)2+I,故/”)=/+I.3,设函数/U)在R上为奇函数,g(x)在火上为偶函数，则下列函数必为奇函数的是(>A./(x)g(x)B./g(x)C.g(x)D./(x)+g(x)【答案】A【解析】由千奇函数与偶函数的条枳为奇函数.故/(XAg(X)为奇函数.4.Iimxsin-=()-*XA.-1B.IC.0D.不存在【符案】C【解析】当XTO时，*无穷小埴，sinll.Sin1.为有界函数，由于无穷小量与有界函数XX的柔枳仍为无穷小量，Ailim.vsin*0.,0X5 .设/,3=3则Iim绚四二&二四()JU力A.4B.5C,2D.1恪案】Btrlim÷2)-(x-3)=2hnV+2种x)+3li11(xT)-f(x)=5/")=5.ArOhJQ2h2-3r6 .当t0时,下列无穷小盘与X不等价的是()A.x-x2B.el-2x,-1C.!n°二D.sin(x+sinx)x恪案1DOilIim幽但U”Iim山叱=Iimt2=2,故Sin(X+sinx)与X不等价.X*X1Yx07 .=1.,则X=O是外的)0,X-OA,可去间Hfi点B.蹦跃间断点C.连续点D,第二类间断点【答案】B【解析】lim-=0.lim-=l./(x)在0处的左、右极限存在但不相等,故0I1*M-e'+1e,+1是/(K)的跳跃间断点.8 .N=SinX的三阶导致是()A.SinXB.-sinxC.CoSXD.-COSX【答案】D【师枷】(Sinx)'=cosx,(sinx)*=(cosx)r=-sinx,(sin.v)-=(-sinx)'=-cosx.9 .设X-1.1,则arsin+arccosA=<A.C.O【答案】AKIIvyf2【访:析】(arcsinx+arccos.v)r=-f-.-1,»=O.arcsin.v+arccosx为常数.令x=->l-l-.V1可和arcsinx+arccos,v=+=y.10 .若八%=0，0)>0啕下述表述正确的是(>A.X.是/(n)的极大值点B.X(I是/(X)的极小值点C.XII不是/(X)的极值点D.无法确定XlI是否为/(幻的极值点【答案】B【解析】由极值的判定条件可知,/是幻的极小值点.II.方程F=arcsin1所表示的曲线(>XA.仅有水平渐近线b仅有乖n渐近战C.既有水平渐近线,又有垂直渐近线D.既无水平渐近跳，又无垂直渐近或【答案】A(WVi函数的定义域为(Y,-ljU1.o)，而IimarCSinI=0,故y=arcsin,仅有水平渐近*,*XX线.12“：*<>A.0B.2C.-2D.以上都不对【答案】D【瘠析】'l2dr-+I7il,积分值不存在，故选D.13 .方程SinX+x-l=O在区间(0.l)内根的个数是()A.0B.IC.2D.3【答案】B【解析】令W=sin*+x-l,八X)=CoSX+1,所以/(x)在区间(0,1)上单调递增,又/(0)=-l<0,/(l)=sinl>O,故SinK+-l=O在区间(0.1)内只有一个根.14 .设/(X)是COSX的一个原函数,则即X)=(>A.sinx+CB.-sn.v÷CC.-cosx+CD.cos.v+C【答案】A【Wf析】由于/(x)是CoSA的一个原函数，故/(.)=sinx+C,df()=sinx+C.15 .设仪幻="产sinH,则尸(X)(>A.为正常数B.为负常数C.恒为零D.不为常数【答案】C【解析】F(X)=J"产，SinM=YeMl:必=Yg+0叩=o【答案】A【解析】V=er.dxil17.由曲线.vsinx(OWX*)与*轴所围成的区域的面枳为()【答案】B【解析】Jsin.vrfr=-cosxJ=2.IX.关于二阶常微分方程的通解,下列说法正确的是(.一定含有两个任遗常数B.通斛包含所有解C.一个方程只有一个通解D.以上说法都不对【答案】A【阴析】微分方程的解中所含任意常数相互独立，几个数与方程的阶数相同，这样的斛除为微分方程的通解,由通解的定义可得A正确.19,微分方程_>，'+3)=X的通解是()A.y=2r+Ceix+iB.y=xe'+Cx-IC.V3.V+Ce,+-D.y-x+Ce,'-939【答案】D【解析】通解为)，=e伙jjxJ'Zx+c)=$+Ce-”q,C为任意常数.20 .已却向IiIQ=/+/+«.则垂直于"11垂直于)，轴的向量是()A.i-j+kB.i-j-kC.f+AD.i-k【答案】iJ*【解析】设y轴方向向fit/=(OJO),而ax/=I1I=Y-A),与“，J都垂直的向量0I0是c=(-A),故选D.21 .对任意两向双0,h,下列等式不恒成立的是()A.«+ft三A+B.ab>haC.a×bb×aD.()'÷(×)'ab:【答案】COr住响量积运算法则可知QXb=-b”,故选C22 .直筏±=;与平面x+y=2的位置关系是()1 -1OA.平行B.fl线在平面内C.flD.相交但不垂出【答案】A【解析】(I1-I1O)-(I1I1-I)=O,1直线的方向向圻与平面的法向母垂直,在直线上取一点(0.0.0),该点不在平面x+j，-z2上，故内线与平面平行.23 .Iim-J的依为()个SinDA.OB.IC.-D.不存在【答案】C【解析】Iim-=Iim-=Iim-=i.j-sin.v>Jjx>,'x224 .函数/(x.y)在(x,.)处两个儡仔数，(.Ml)，,'5,小)都存在是/(x.y)在该点处连续的()A,充要条件B.必要非充分条件C.充分非必黄条件D.既非充分亦非必要条件【答案】D【解机】两个偏导致存在与连续没有关系，故选D25 .函数2=In1+在点(1,1)处的全微分u,=B.-(dx-dyr)A.0C.dx-dy【答案】B小IM=IdX-!心',故选Br4.7；,汉III&IrXIxKmvCJ=rI=;6+y+p0,+lIy/P+孙yy26 .设=M731dr,则交换枳分次序后()A.I-x3x2v2rfvB./=/，*3x2y2d)fC./=JU3x2y2dyD,/=£rfv"3x2y2dy【答案】C【解析】f'-1.=k,0d交换积分次序后为=)xi3x'Jy0x<7Ojl-J。J。27 .设A为三个顶点分别为f(T.O),0(0.0)和坑0.1)的三角形区域的边界，A的方向为醺时针方向，Wl(3x-r)rfr+(x-2y)dy()A.OB.IC.2D.-1【答案】【解析】28 .设£>'工.1，)0x.-lj1*),则JFTOs(2.v)(£vrfv-<)A.-1B.OC,1D.-242【答案】B【冰析,fcos(2>Wv='1<)>,cos(2xy)dx=I1.Sin2Af=-Uos-,=0.29.若级数与力”都发散,则下列农述必正倘的是（）*-1A,力（q+"）发散B.£。也发散4-1C.SMII+照）发牧n吊）发散rl【答案】C【解析】发散.则£同发放+同斗.由正项级数的比较判别法可知.ZhD发取.30 .若级数工.(X-2)"在x=-2处收敛，则此级数在x=4处()A.发放B.条件收敛C.绝对收敛D.敛附性不能确定【售案】C【解析】级数S>,(x-2)”在x=-2处收敛，由阿贝尔定理知,对于所育满足x-2<4的点-IX,即-2<x<6,率段数f<x-2)"绝对收敛，故此级数在x4处绝对收敛.二、填空(每小题2分，共20分)231 .Iim(I-X)*=.【答案】e'【解析】lim(l-x),-*ml+(-x)*'°-e,32 .设/3为奇函数，则/'(%)=3时，,(-J-.【答案】3【解析】由于，(动为奇函救,故/'U)为偶函数，故-)=/6)=3.33 .曲税)，=Inx上点(1,0)处的切规方程为.【答案】/=X-I【解析】y,=.故切成方程为F-O-x-l,Wy-V-I.34 .dx=.JET)【捽案】TH+。【辨析】jjrfvJln,v-l-ln+C-ln-t-C.35 .以Q-2'+Cixei,为通解的二阶常系数齐次线性方程为./+4y,+4y-0【解析】由题意可知,r=-2为二阶常系数齐次线性微分方程所时应的特征方程的二班帆，满足特征方程/+4,+4=0,故所求方程为V+4/+4>=0.36 .点(1,2,3)关于F轴的对称点是.【答案】(T,2,3)【解析】点(1,2,3)关于N轴的对称点，即)，不变.X,:取此相反数.故对称点为(-1.2,-3).37 .H¾z"e"'在点(0.0)处的全微分止=.【猝臬】dx+dy【部析】ik=-<ix+-dv=e,''di+e''dy»故出0n=<Ar+出.CXCT38 .Ix+,P+W=l所确定的隐函数y=F(X)在X=I处导数为.【帘臬】T【.豺析】方程两边同时关于X求导得，l+y'+y+y'=O.当x=1时,F=0，代入得>''(D=-.39 .函数Z=F+/在点(1.2)处沿从点41.2)到8(2.2+77)的方向的方向导数等于【答案】l+23【斛析】新，却S=*与而=d洞方向的单位向眠为、由，故方向导致为刍U”=2二+4g=1+26.CV12240 .事级数S二的收敛区间为.-In【答案】【斛析】P=IimM=IimI-=I,R=-=l.故收敛区间为(-1.1).1.IQR"-*+1P三、计算题（每小Jl5分，共SO分）41 .用夹遍准则求极限IimjY-+Y-+Y-"<Vrt+1n+2n+nki,2,-,n,所以【答案】IJ囚为-4Y-M-i2-”+n+1又Iimd=l，IimTJ=I,由夹通准则可知，limf-+-»-*n+nI+1+1n'+242 .W½8x)='sin7,A°在x=0处的可导性.0.x=0【粹案】/sin.(W析/'(0)=Iim丝匕幽=Iim二=limSinw=0，故函数/(x)在x0处可导.OX-OxUXxUXd43 .求不定枳分J7。心.【杵案】arctane'+C【(析-Tdx=f-t=arctanel+CJc+1Y.I44 .求定积分Jxe'公.【答案】1解析】xe'dx=nxde,=XeUle=m.45 .求激分方程)，+“,，+2.y=e'的通解.【答案】y=Cle'+Ciez'+e',其中G，C：为任意常数【解析】特征方程为r2+3r+2=O,解得i=-l,r1=-2,%=1不是特征方程的根,可设)，=近'为方程的一个特解,代入得=J,故方程的通斛为广.C7GC2*+1、其中CrG为仟意常效.46.设二=V(x/y,)且3具有二阶连续偏导致.求Sxdy【答案】渥2x【解析】导加2响,急=%+.47 .求曲面E:e：-z+X)，=3在点%(210)处的切平面方程.恪案】x+2,v-4=0【解析】令F(XJ.z)=d-二+孙一3,则(血.尸1，静3尸2,i1j=0.从而所oxGyCZ求切平面的方程为(X-2)+2(y-1)=0.!jx+2y-4=0.48 .计切.R枳分Jk“Z/c,其中。是由直规x+y=l和两条坐标轴所困成的闭区域.0【答案】1【解机】D=(x.y)I0.V1,0y1-x.故Jj'db=de,',dy=j(e-e')<x=(ex-e')J,=1»'49 .计尊Jxdx+Mv+(x+),-l)(,其中4是从点掰1,1,1)到点8(覃,4)的五线段.恪案13【解析】的参数方程为x=】，>=l.三=l+3(0l),故£xdx+.nrfv+(x+j,-D<fe=*3<=3.50 .将，(K)=1.展开为(x+l)的球级数.X"咯案】/(.v)=£/i(.r+ir,.V(-2,0)【解析】!=-£(.r+iy,Xw(-2.0),故X1(V+1)1/a)m-<v+l)"-(-v+l'-w(+)",.(-2.0).四、应用黑(每小段6分，共12分)51 .求点P(OJ)到他物线y=/上点的距离的平方的最小(ft格案】-4【解析】d：='+(.y-Y=)?-y+I=尸；)+：,故所求最小位为52 .求几何体f+.+4:'4的体积.【答案】去J【豺析】令f>=(xM/+)7.则几何体/+)；+4/44的体枳为五、证明届(8分)52.设函数，(x),g(x)均在区间上连续，f(a>=g(b),f(b)=g（八）,H.证明：存在一点S,b),使/(G=g(G【解析】令尸=3-g(),则函数尸(X)也在区间“同上连续，且F(fl)=()-g(),F(b)=(b)-g彻.由于/w(6).所以/(公</(/»)或“)>.当/()v/S)时，tr（八）f（八）-g(a>=()-(6)<0，F(b=/（八）-g()=f(b)-/(«)>0.于是由连续函数的零点定理如存在Jw(a.3),使/信)0,即Gg信).类似地可证/(“)>/仍)时结论也成立.