Mathematic入门教程整理版.docx

(1)简介数学系给本科生开设一门课："符号计算系统"，主要简洁讲授mathematical以卜简称math)软件的运用和其编程，赶爱好的同学可以找本math书以求更深化的了解.我们平日用到编程语言时，大家都知道编程中用到的辂型，实型，甚至双精度数，都只是一个近似的数，其精度有限，方效数字有限,在许多时候达不到实际须要的要求.符号计算与数值计算的区分就在于符号计算以精确值记录计弟的每一步的结果，假如须要时，可以将精确表示按须要计算成随意位数的小数表示出来(只要机器内存足够大).最常见的符号计算系统力maple,mathcmatica,rcdues等,这些软件各有侧重，比如,maple内存管理和速度比math好，但是图形方面不如math;rcdues没找到，没用过，未明；而用得较多的matlab编程环境特好，和C语言接口极其简洁，缺憾的是它不是符号计算，只是数值计算.所以，就好用而全面来说，math是一个很好用的软件.math软件不仅能够进行一般的+-*/和科学函数如Sin,1.og等计算，而且能进行因式分解，求导，积分，部级数绽开，求特征值等符号计算，并且，math有较强的图元作图，函数作图，三维作图和动画功能.(2)mathematica入门mathematica自发布以来，目前比较常见的有math1.2forDOS,math2.2forWindows,math3.0forwin95,math3.0forUNIX.DOS下的math的好处就是系统小，对机器要求低，在386机器4M内存下就能运行得很好（机器再低点也是可以用的，比如说286/2M）.在DoS下干脆键入math回车即可进入math系统，出现的提示符Inl:=,这时就可以进行计算了，健入math函数，回车即可进行运算.假如输入的QUit,则退出math.这里要留意的是，math区分大小写的，一般math的函数均以大写字母起先的.windows下的math对机器要求就要高一些了，math3.0更是浩大，安装完毕有100M之多（2.2大约十多兆）.同WindOWS卜的其他软件一样，math可以双击图标运行，在File菜单下方退出这一项.windows卜.的math有其优越性，就是可以在WindOWSF为所欲为地拷贝粘贴图形math3.0更是能输入和显示诸如希腊字母，积分符号,指数等数学符号.DOS的math与windows下的一个区分是DOS的以Pl车结束一句输入，而windows的以+PI车结束一句输入,DOS下的提示符显示为1川数字:=,而windows下在结束输入后才显示出1川数字:=和OuH数字:=字样（OUt为输出提示符）下面试试儿个例子:（In数字：=为提示符，不用键入）In|l:=2A100计算：2的100次定义矩阵SIn:=s=3,7,9,7,4,3,l,3,8In3:=Eigenvaluesfs计算s的特征值在OjPi间画SinCosIn4):=Plot(Sin(x,x,O,Pi)In5:-PlotCosxJx,0,PiIn6:=Plot3DSin（xSinyltx,0,l,y,0,2H三维作图以1川6为例说明：math的函数都以大写字母开头的单词为函数名，Plot3D,Plot,Eigenvalues,Sin等，常数也是如此,如Pi.函数名后的参数用U括起，逗号厢开.math的输出可以作为函数的输入对象，你可以再试一个:In7h=Show%,%这里一个代表上一个输出，两个代表上两个也可以干脆用OUtm）代表第n个输出.这里须要补充的是!command执行Dc）S吩咐?name关于name（函数等）的信息（可以运用通配符）?name关于name的额外信息（3）基本计算1.算术运算符+加-减*乘/除人指数（乘也可用空格）Nexpr或expr/N计算expr的数值（6位有效数字）Nexpr,n)n及示小数的位数1.ogb,x以b为底，X的对数2.数学函数X开方Sqrt(xExpxJ1.oglx)X的自然对数Sin(x),Cos(x),Tanx,ArcSinx,ArcCos(x)三角函数bsxIxlRoundx离X最近的整数Floor(x不超过X的最大整数Quotient(n,mn/m的整数部分Modn,mn/m的余数Random0,1间随机数Maxx,y,.Min(x,y,.最大数和最小数3.WRPiPi=3.1493.Ee=2.71828.DegreePi/180Ii=Sqrt-lInfinity无穷大CatalanCatalanM.=0.915966Complexinfinity复无穷DirectedInfinity有向的无穷EulcrGamma欧拉常数gamma=0.5772216GoldenRatio黄金分割（Sqrt5卜1）/2Indeterminate不定值4.逻幡访=,!=,>,>=,<,<=,!,&&,II异或XorImplies隐含川条件,式1,式2假如条件成立，值式1；否则得式25.虹a）变破名以字母（一般小写）开头；字母数字组成.（如x2为变量名；IftJ2x,2*x,2X,x*2,X2均是X乘以2）.b）赋值x=value;x=y=value;x=.（清除X值）C）代换expr/.x->value将式中X代换为valueexpr/.x->xval,y->yval下面就让我们以几个例子来结束本节：（大家还是留意，DOS下的Math,只要输入Innum:=后的指令后按回车，而WindoWS卜,则是按+回车J大家看看都有什么输出.Infl:=2.7+5.23In:=1/3+2/7In3:=1/3+2/7/NIn4）:=NPi,100）曾经有人问我，你是怎么算出Pi的100O位而没有错误的，其实很简洁，大家只要把上式的100改为1000即可.In5):=SinPi2+Exp2+Round(1.2In6b三10<7In7:=x=5;假如在输入之后加上一个“；"，则只运算不输出.IN:=y=0(所以In和8完全可以合成一条x=5;y=0,假如我不须要x=5的输出)In9三x>yIn10:=t=l+m2Inll:=t/.m->2In12:=t/.m->5aIn13:=t/.m->Pi/N代数变换上一节我们已经学习了Math里的基本运算和逻辑运算，常用数学函数，几个常见的常数，以和变砧的运用.这一节，我们来学学基本代数变换:Apart,Cancel,Coefficient,Collect,Denominator,Expand,ExpandAll,Exponent,Factor,Numerator,Short,Simplify,Together.Expandexpr)多项式expr按项绽开Factorfexpr因子形式SimplifyIexprl最简形式Inl):=Expand(1+x)2IrI:HFactor%我们以前说过的哦,是匕一个输出，%是E匕个，%是hE上个，%n是第n个输出（即Outnl）In3:=Simplify1%In4):=IntegratexA2/(xA4-l),x)这是积分运算，详情后叙求导全部项均绽开通分分别成具有最简分母的各项约去分子,分母的公因子合并In5z三D%,xIn6):=Simplify!%ExpandAllexprTogether(Cxpr)ApartexprCancclexpr)CollectexprInl):=e=(x-l)2(2+x)(l+x)(x-3)2)In:=ExpandfeIn:=EXPandA11©In4:=TogethereIn5):=Apart(%lIn:=Factor%表达式中fom项的系数form的最高骞次取分子取分母以简短形式输出Cocfficientlexpr,formExponentfexpr,formNumcratorexprDenominatorexprexpr/ShortInl:-=e=Expand(l+3x+4y2)2In2:=CoefficientJe,xIn3:=Exponente,yIn4):=q=(l+x)(2(2-y)In5:=Denominator%In6:=Expand(x+5y+10)4)In7:=%/Short把上式输出，中间项省去，以VV数字>>表示省去的项数.最终，我们以例了来看看用符号名做客体的标记的好处Inl:=12metersIn2):=%+5.3mctersIn3:=%(25seconds)In(41:=%.meters->3.78084feet一下子就把米制变为英尺了.微积分运算(2-1)学到上一节，大家会发觉怎么还停留在中学的计算中呢，这一节，大家就会看到微分D,Dt;积分Integrate,NIntegrage;和与积Sum,Product,NSum,NProduct.下一节我们介绍解方程SolVe,Eliminate,Reduce,NRoot,FindRoot,FindMinimum;骞级数Series,Normal;极限1.imit;特别函数FOUriCr,InverseFouricr,.微分D(f,xf对X求导Df,x_l,x_2,.f对x_l,x_2,求导Df,x,nf对X求n次导Dtfl全微分dfDtf,x全微商df/dxInl):=Dxn,xIn2:»Dfx,xlIn3):=D2xfx2,xIn4j:-Dxn,x,3In5):=Dx2y3,x,yIn6:»DtxnIn7):=Dtxy,x积分Intcgratef,xf对X积分Integratef"x,xmin,XmaX,y,ymin,ymax,.定积分NIntcgratef,x,xmin,XmaX,y,ymin,ymax,计算积分的数值解In1):=IntegrateSinSinx,x嘻嘻，无法计算，原样输出In:Hlntegrate1.ogx,x,0,6啊，广义积分也一样算In3):=IntegratexA2+yA2,x,0,l,y,0,lIn4b三In3N假如你的上一条输入不是In3),留意调整这一条的输入哦In5):=IntegrateSinSinx1.U,O,111怎么还没法计算啊In6:=N%或NIntegrateSin(Sin(x),x,O,l呵，最终可以计算了.和与积Sumf,i,imin,imax,j,jmin,jmax)t.f对i,j,分别从imin到imax,jmin到jmax,求和Sumf,i,imin,imax,di求和的步长为diProduct(f,i,imin,imax,j,jmin,jmax),.)求积NSum数值解NProduct数值解Inl:=Sumxii,i,l,4In(2):=Sumxii,i,1,5,2In3:-Sumai3,i,l,10lIn4:=N%或NSum(ai3,i,l,101)Inl5):=Sumli3,i,l,Infinity)可能原样输出，也可能输出Zcta3)(依math的版本不同而异)In6:=N%In7:=Sumxi*yj,i,l,3,j,l,i注：假如想要求带符号上下限的Sum,在math3.0中，干脆运用Sum函数即可:In8:=Sum1/Sini,i,1,n而假如在旧版本的math,则可能须要调入包（PaCkage）"gospersu.m",调入格式一般为Inl8:=«"盘符:math路径WpackagesWalgebraWgospersu.m"（不同安装书目可能出现不一样）然后运用函数GoscrSum(6)微积分运算(22)匕一节，我们一起学习了微分D,Dt;积分Integrate,NIntegrage;和与积SUn1,Product,NSum,NProduct.这一节我们将介绍解方程Solve,Eliminate,Reduce,NRoot,FindRoot,FindMinimum;转级数Series,Normal;极限1.imit;特别函数FOUrier,InverseFourier,最终，我们说明一下math的函数的定义，别名的运用，以和不同输出格式解方程SolveBlhsl=FhslfIhs2=rhs2,.,x,y,.解关于x,y,的方程组;IhSl=rhsl,lhs2=rhs2,.EliminateBlhsl=rhsl,Ihs2=rhs2,.hx,y,H在联立方程中消去,y.Reducelhs1=rhs1,Ihs2=rhs2,.,x,y,.给出一组化简后的方程，包括可能的解NRootlpoly=O,x给出多项式的根的数值靠近FindRootlhs=rhs,1x,xO；从x动身，求方程的数值解FindMinimumIf,x,x)在x旁边找f的微小值Inl):=Solvex2+2x-7=0,xIn:=Solve2-4x+x5=0,x呵呵输出结果你会发觉和没解一样Inj3):=N%啊，要数值解啊，不早说.这不是么.In(4:=Solvea*x+y=0,2x+(1-a)y=1),x,a)In5:=EIiminateH3x+2y+z=3,2x-2y-2z=5,x+y-7z=9,x,z11In6:=Reducea*x+b=O,x哇，好COO1.,a=0,怎么怎么；a!=0,.In7:=FindRoOUCOSx=x,x,lIn8："FindMinimumxSin(xrx,2Pi等级数Seriesexpr,ix,x,n11求expr在x的n阶密级数Normal(series按标准形式Inl-Series(l+x)n,x,0,3最终还有近似量级呢(大喔0闵人4)In2:=Normal%In3):=%2(I+%)然可以这么运算极限1.imitexpr,x->xInl:-t-SinxxIn2):=t.x->OIn3:=1.imitt,x->O特别函数FourierInVerSeFOUrierDInll:=<1,14,1,-1,-1,-IrUIn2:=Fouricr%lIrI:=InverseFourier%RungeKutta11,等函数定义函数如下Inl:=fx_:=xA2+l然后用：=In:=f|x_,y_:=x+y把大喝量级不要了，多项式当CXPr中X趋于x错了吧O不能当分母的求极限总可以了吧傅利叶变换反傅利叶变换math中定义函数:变量后跟一以上两个定义同时存在并不冲突,当f仅运用一个参数，自动用一式；为两个参数，则用二式In:=f(3In41:=f3,2定义别名Inl:=Parar=ParametricPlot用：=来定义别名In:=para(Cos(t,t,t,O,Pi)In3:=Alaspara查看para是什么的别名(7)矩阵/表的运算矩阵的定义TabIe,Array,IdcntityMatrix,DiagonalMatrix;输出输入TalbeForm,ColumnForm,MatriXFOrm,Hst(其他输出TeXForm,FortranForm5CForm);和运算：数乘，矩阵乘法，Inverse,Transpose,Det,MatrixPower,Eigenvalues,Eigenvectors,矩阵定义运用的一点说明.矩阵的定义TabIef,IimaxH包含imax个f的元素(f是规则)Tablef,i,imin,imax,istep,j,.,.istep=l可省，imin=l也等于1可再省Arraya,n建立向a(l,a2,.,anArraya,m,n建mxn矩阵aArraya,ml,m2,.,mnn维张成IdentityMatrixIn)生成n维单位矩阵DiagonalMatrixlistHSt元素为对角元Inl):=Tablex,4In2):=Tablei2,i,1,4In:=x%-l看看表在运算符作用后的结果In4):=D%,x求导也可以In5:=%/.x->3代入伍看看In6:=Arraya,3,2看个2维的（3x2）矩阵In71-DiagonalMatrixBl,2,3H生成对角元是1,2,3的方阵矩阵的轴出/输入TableFormlist以表列格式显示一个表ColumnFormIlist)写成一列MatrixFormlist按矩阵形式Hst11i第i个元素（一维）；第i行元素（二维）UstiJ11HSt的第i行，第j列元素.Ml):=a=Tablei+2*j,i,1,3,j,1,2In:TableForm%)看看表格式In3):=ColumnForm(%写成一列In41：»MatrixForm%再看看矩阵形式ln5):=%2J1把上面的矩阵的其次行（是一维的表了哦）去来In6h=%112,l取其次行笫一列元素（是一个数）注:InJn也可用注2和a2,l的典型写法.其他输出格式TeXForm,FortranForm1CFormTeX(数学排版)格式，Fortran语言，C语言格式输出Inl:=(Sqrtx3-1l+Expy)1.ogxIn:=TCXFOrm%留意TcX中T和X是大写，e是小写In:S=CForm%矩阵的数学运算cm数乘（C标盘,m是Table或Array定义的矩阵）a.b矩阵相乘（留意矩阵乘法的规则）Inversem逆矩阵（当然要对方阵来说了）Transpose(m转置Detm)m（方阵）的行列式MatrixPowerm,nm（方阵）的n次标Eigenvalueslmm（方阵）的特征值Eigenvectorsmm（方阵）的特征向后Eigenvalucs(Nm,Eigenvectors(N(m数值解InlJ:-a-Tablei+2*j,i,1,3,j,1,2In2):=5a看看乘积In31:-=b=Table3*i-2jfi,1,3,j,1,3In4):=b.a矩阵乘法（留意,此例a.b没有意义）In:=Transpose1%转置In5:=Inverseb求一下矩阵的逆（天哪，是方阵还不行,还要行列式不为0）In61:=Detb果真行列式为OIn71:=c=b+l,0,0,0,0,0,0,0,011In8):=Inversec最终可以求逆了In9:=MatrixPowerb,3b的3次方In10:=Eigcnvalucs(b特征值Inll:=Eigenvectorsb特征向盘一点说明：矩阵可以先运用，再定义；局部定义和整体定义的依次也自由.如：In(I):=d(l,l=w;d(l,2=e;d2,1=21;d2,2)=22;In2:=Arrayd,3,3你就会发觉，定义过的有值了，没定义的还没才值.(8)表的运算.2表的结构VertorQ,MatrixQ,MemberQ,FreeQ,1.ength,TensorRank,Dimensions,Count,Position;取表元First,1.ast,list11J1.Take,Rest,Drop,Select;插入元素Prepend,Append,Insert,Join;表的集合Union,Intersection,Complement;表的重排Sort,Union,Reverse,Rotate1.eft,RotateRight,Transpose,Flatten,Partition,Permutations,Apply计算表的有关结构VectorQllistI检验IiSt是否为向量结构MatrixQRist检验list是否为矩阵结构McmbcrQllist,form)检验form是否为IiSt的元素FreeQflist,form检验form是否不是list的元素1.engthlistIiSt中元素的数目TCnsorRank(Iist)IiSt的深度（看成张量的秩）DimensionslistlIiSt作为向豉或矩阵的维数Countflist,form)form在IiSt中出现的次数Position11ist,formform在IiSt中的位置Inm:=t=l,2,3t是一个表In:=VectorQt不是向减In3):=McmbcrQt,33是它的元素In4三MemberQt,22不是它的元素In5):=gthftt的长度是2In:=TensorRanktt的深度是1In7):=Dimcnsions(t作为向量,是2维:1,2和3In8:=Positiont,33在表t中的位置是42在表中取部分元索First(Iist)list的首元素1.astlist)Hst的最终一个元素IiStul1list的第n个元素list-nIiSt的倒数第n个元素（以后二者合写为n-n）list11nl,n2,.,nm相当list11nl11n211.11nm)list11nl,n2,.,nmJlist第nl,n2,.,nm元组成新表Iist11il,i2,.),jl,j2,.IiSt的il,i2行,jl,j2,列Takelist,n-n取IiSt的前/后n个元素Restllistl去掉首元的listDroplist,n-n去掉前/后n个元素的listSelectlist,crit从IiSt中选出满意Crit的元素In2:=VectorQt函数名最终字母为Q,其值为True/FalseIn3):=aa=a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l;In4:Maa11l)看看以卜.几个，体会一下取元素/子表In:=aal112lIn:=aa11l,211In(7:=aa11(l,2)In尸aa11l,2JIn9):=SeleCtHa,23,12,0,3.5,EVCnQ看看SCIeCt怎么用这里EVenQexpr推断expr是否偶数;OddQ.奇数?;NumberQf.数?；IntegerQU整数？；PrimeQJ素数？AtomQ口简洁表达式？表中插入元嘉Prepend11ist,elem表头加elem(PrependTo函数修改list)Appendlist,elem在表尾加elem(AppendTo修改list)Insertlist,elem,n-n在正/倒数第n个位置插入elemJoinlistl,list2,.连接IiStI,list2,Inl:=PrePCndHa,b,c,x在a,b,c前加X元素In21:=InsertBa,b,c,x,21在1a,b,c的第2个位置插入XIn3):=JOinl,2,3,xy,m,2,3,3看看JOin集合函数Unionllistl,list2,.去掉重复元并排序后的JoinIntersectionlistl,list2,.取各list的公共元Complementt,listl,list2,.在t中，不在各list中的元素In:=Unionn,2,3,xy"m,2,3,3看看UnionIn5:=COmPIementa,b,c,d,e,a,d,e,f看看Complement表的重排SortlistUnionlistReVerSelistRotate1.eftlist,n-11lRotateRightlist,n/-nTransposellistlTransposelist,n)Flatten(Iist)FIattenlist,n将Kst排序去掉重复元倒序将list向左/右转n个元素（n=l可省）将Hst向右/左转n个元素（n=1可省）交换表的最上面两层交换表的顶层与第n层将IiSt全部层变为一层将IiSt的最上面n层变为一层将list分成由n元组成的块（多余舍去）Partitionlist,nPartitionJlist,n,dPermutationsllistApply(Plus,listApplyTimes,list各块中有偏移d给出IiSt切可能的排列求和listi求积IistHillInl):=ROtate1.efUa,b,c,d,e,2得到c,d,e,a,bIn2:»Flattena,b,c,c,d得到a,b,c,c,dIn3h=Tablei2+j2+k2,i,24j,2,k,2In41-Flatte11l%,ll绽开一层Inl5):=ApplylPlus,%)求和得到24,36In:HPartitionHa,b,c,d,e,f,g:,3,1Partition(9)二雄图形二维函数作图Plot,选项；图的垂现ShOw,Options,SetOptions,InputForm,Head;参数绘图ParametricPlot;线宽Thickness,线型Dashing.二维图形函数作图PlotfxJx,xmin,xmax在xmin,xmax;间画出fx的图形Plotf1xl,f2x,.Jx,xmin,xmax画出fixPlotReleaself,x,xmin,xmax）有时f的表达式很困难，干脆用Plot计第量大,可能得不出结果,可以先求f的值,再画PIot选项设置（格式：选项-值）PlotRangexmin,xmax,ymin,ymaxAxes1.abel轴标NoneFrame框FalseAxcsOrigin原点AutomaticAxes轴AutomaticTicks刻度AutomaticGrid1.ines网格NoneAspectRatio1/GodenRatioAutomaticymin,ymax或“轴标”,“y轴标”True,yNone不画None或xticks(,),yticks(,.JAll或XXIineSHyHneS正实数(高/宽)PlotPoints15Plot的作图精度Inl:=Plot(Sin(x2,x,0,3In2:>=PlotSin(x2,x,0,3,PlotRange-HO,1.211In3):=Plot(Sin(x2,x,0,3,Axes1.abel->f,x","Sinx2)"In4:»PlotSinx2,x,0,3,Axes->NoneIn5):=Plot(Sin(x2,x,0,3),PlotPoints->40图形的现重画图PShowpShowJpl,p2,.J把pl,p2,重画在一起Showp,option->valueJ变更选项重画p（选项大多同上）(没方PlotPoits选项)Optionsp显示图P的选项InputFormIp髭示图P的有关存储信息SetOPtionS函数名,option->value变更函数选项默认值Headp)P的类型,假如P是图,则值为GraphicsInl):=tl=PlotBesselJl,x,x,l,20)In2:=t2=PlotSinxJx,0,151In3):=Showtl,%)In4:=Show%,Axes->NoneIn(5):=Show%,Frame->TrueIn6:=Options%In7):=InputForm(t2参数雉图ParametricPlotJjfx,fy,t,tmin,tmaxParametriCPk>tKfx,fy,x,gy,t,tmin,tmaxfx,fy1的几种特别情形rtCost,rtSintB极坐标Ref,Imf复函数的相角图11.og(f),1.x>gglog-log图留意：有时须要把ASPeCtRatio->】才能更好地显示y/x比例，如画题Inl:=ParametricPlot1Sint,Sin2tht,0,2PiIn2):=ParamCtriCPlOtHSint,Cost,t,0,2Pi)In3三Show%,AspectRatio->AutomaticAspectRatio是1或Automatic是y/x的比例才是1选项,变更线宽和线型(虚线)：在PIot的选项里运用PlotStyle->ThicknessO到1的值在math3.0下,运用0.005足矣PlotStyle->Dashing画,空在Show中,在GraPhiCSThickness。或GraphicsDashing.之后的线宽或线型依此变更.Inl:=PlotSin(x2j,x,0,3J,PlotStyle->Thickness0.01In2):=PlotSmxA2Jx,0,3hPlotStyle->Dashing0.01,0.0111In3:=tl=PlotSin(3x)2),x,-1,HJIn41:=t2=ParametricPlotSin(t,Sin2t),t,0,2PiIn5:=Showt1,GraphicsDashing110.01,0.011J,t2In6):=Showt1,GraphicslThickness(0.01,t2(10)三雉图形三维函数作图Plot3D,选项；参数作图ParametricPlotSD;等值线图ContourPlot;密度图DensityPlot;数据绘图1.istPlot,1.istPlot3D.三维作图函数作图Plot3Dfx,y,x,xmin,xmaxJy,ymin,ymaxSurface图形ShowplShowGaphics3Dp转三雉作图选项PlotRangexmin,xmax,y,zAxes轴Automatic/Xxes1.abelNoneTicksAutomaticPlot1.abel图标NoneBoxed盒子TrUe在xmin,xmax间画出fx的重画图P,用法同二维将图P（可能是SurfaceGraphics）为GraPhics3D,并重画Automaticzmin,zmax或NoneX轴标”,“y轴标”,2轴标”刻度图的标记FalseBoxRatiosU,1,0.4x,y,zHiddenSurfaceTrueFalSe是否隐去曲面被挡部分ShadingTrueFaISe是否涂阴影（颜色）MeshTrueFalSC是否在曲面上画网格1.ightSources三个光源设光源x,y,z,RGBCoIOrr,g,bFaceGridsNoneAll或坐标网格VieWPOint视点(1.3,-2.4,2.1x,y,z0,-2,0正前方;0,-2,2前上方;0,-2,-2前下方;2,-2,0正右角；0,0,2正上方；