用双线性变换法设计原型低通为巴特沃兹型的数字IIR高通滤波器.docx

电子信息工程专业课程设计任务书同学姓名XX专业班级电信0703学号XXXX题目用双线性变换法设计原型低通为巴特沃兹型的数字IIR高通滤波器课题性质其它课题来源自拟课题指导老师XXX同组姓名XXXX主要内容用双线性变换法设计原型低通为巴特沃兹型的数字IIR高通滤波器，要求通带边界频率为500Hz,阻带边界频率分别为400Hz,通带最大衰减IdB,阻带最小衰减40dB,抽样频率为2000Hz,用MATLAB画出幅频特性，画出并分析滤波器传输函数的零极点；信号x(r)=x1(Z)+x2(r)=sin(2f1r)+sin(2f)经过该滤波器，其中1=300Hz,f2=600Hz,滤波器的输出y«)是什么？用Matlab验证你的结论并给出X,电,MD,y(t)的图形。任务要求1、把握用双线性变换法设计原型低通为巴特沃兹型的数字IIR高通滤波器的原理和设计方法。2、求出所设计滤波器的Z变换。3、用MATLAB画出幅频特性图。4、验证所设计的滤波器。参考文献1、程佩青著，数字信号处理教程，清华高校出版社，20012、SanjilK.Mitra著，孙洪，余翔宇译,数字信号处理试验指导书(MATLAB版)，电子工业出版社，2005年1月3、郭仕剑等，MATLAB7.x数字信号处理，人民邮电出版社，2006年4、胡广书，数字信号处理理论算法与实现，清华高校出版社，2003年审查意见指导老师签字：教研室主任签字：年月日说明：本表由指导老师填写，由教研室主任审核后下达给选题同学，装订在设计(论文)首页1需求分析当今，数字信号处理（DSP：DigtaISignalPrOCeSSing）技术正飞速进展，它不但自成一门学科，更是以不同形式影响和渗透到其他学科：它与国民经济息息相关，与国防建设紧密相连；它影响或转变着我们的生产、生活方式，因此受到人们普遍的关注。数字化、智能化和网络化是当代信息技术进展的大趋势，而数字化是智能化和网络化的基础，实际生活中遇到的信号多种多样，例如广播信号、电视信号、雷达信号、通信信号、导航信号、射电天文信号、生物医学信号、掌握信号、气象信号、地震勘探信号、机械振动信号、遥感遥测信号，等等。上述这些信号大部分是模拟信号，也有小部分是数字信号。模拟信号是自变量的连续函数，自变量可以是一维的，也可以是二维或多维的。大多数状况下一维模拟信号的自变量是时间，经过时间上的离散化（采样）和幅度上的离散化（量化），这类模拟信号便成为一维数字信号。因此，数字信号实际上是用数字序列表示的信号，语音信号经采样和量化后，得到的数字信号是一个一维离散时间序列；而图像信号经采样和量化后，得到的数字信号是一个二维离散空间序列。数字信号处理，就是用数值计算的方法对数字序列进行各种处理，把信号变换成符合需要的某种形式。例如，对数字信号经行滤波以限制他的频带或滤除噪音和干扰，或将他们与其他信号进行分别；对信号进行频谱分析或功率谱分析以了解信号的频谱组成，进而对信号进行识别；对信号进行某种变换，使之更适合于传输，存储和应用；对信号进行编码以达到数据压缩的目的，等等。数字滤波技术是数字信号分析、处理技术的重要分支31。无论是信号的猎取、传输，还是信号的处理和交换都离不开滤波技术，它对信号平安牢靠和有效敏捷地传输是至关重要的。在全部的电子系统中，使用最多技术最简单的要算数字滤波器了。数字滤波器的优劣直接打算产品的优劣。本次课程设计的内容为用双线性变换法设计原型低通为巴特沃兹型的数字HR高通滤波器，要求通带边界频率为500Hz,阻带边界频率分别为400Hz,通带最大衰减IdB,阻带最小衰减40dB,抽样频率为2000Hz,用MATLAB画出幅频特性，画出并分析滤波器传输函数的零极点；信号x(r)=x1(r)+x2(Z)=sin(2,1f)+sin(2)经过该滤波器，其中1=300Hz,f2=600Hz,滤波器的输出)，是什么？用Matlab验证你的结论并给出再(r),x2(tx(ty(t)的图形。2概要设计：2. 1数字滤波器介绍数字滤波器是具有肯定传输选择特性的数字信号处理装置,其输入、输出均为数字信号,实质上是一个由有限精度算法实现的线性时不变离散系统。它的基本工作原理是采用离散系统特性对系统输入信号进行加工和变换,转变输入序列的频谱或信号波形,让有用频率的信号重量通过,抑制无用的信号重量输出。数字滤波器和模拟滤波器有着相同的滤波概念,依据其频率响应特性可分为低通、高通、带通、带阻等类型,与模拟滤波器相比,数字滤波器除了具有数字信号处理的固有优点外,还有滤波精度高(与系统字长有关)、稳定性好(仅运行在0与1两个电平状态)、敏捷性强等优点。.时域离散系统的频域特性：ye”)=WW0),其中丫(/0)、(>0)分别是数字滤波器的输出序列和输入序列的频域特性(或称为频谱特性)是数字滤波器的单位取样响应的频谱，又称为数字滤波器的频域响应。输入序列的频谱XeW)经过滤波后(°)HMW),因此,只要依据输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择H(°),使得滤波后的X(,0)H(%满意设计的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。3. 2IlR数字滤波器的设计方法IIR数字滤波器的基本结构一个数字滤波器可以用系统函数表示为:二Y(Z)(2-1)MNbltZTH(Z)=TA二I由这样的系统函数可以得到表示系统输入与输出关系的常系数线形差分程为：NMy(n)=Z%y(-Z)+Zbkx(n-k)(2-2)Jt=OA=O可见数字滤波器的功能就是把输入序列通过肯定的运算变换成输出序列y()。不同的运算处理方法打算了滤波器实现结构的不同。无限冲激响应滤波器的单位抽样响应以)是无限长的，其差分方程如(22)式所示，是递归式的，即结构上存在着输出信号到输入信号的反馈，其系统函数具有(2.1)式的形式，因此在Z平面的有限区间(0<IZI<8)有极点存在。前面已经说明，对于一个给定的线形时不变系统的系统函数，有着各种不同的等效差分方程或网络结构。由于乘法是一种耗时运算，而每个延迟单元都要有一个存储寄存器，因此采纳最少常熟乘法器和最少延迟支路的网络结构是通常的选择，以便提高运算速度和削减存储器。然而，当需要考虑有限寄存器长度的影响时，往往也采纳并非最少乘法器和延迟单元的结构。IlR滤波器实现的基本结构有：(I)HR滤波器的直接型结构；优点：延迟线削减一半，变为N个，可节约寄存器或存储单元；缺点：其它缺点同直接/型。通常在实际中很少采纳上述两种结构实现高阶系统，而是把高阶变成一系列不同组合的低阶系统(一、二阶)来实现。(2)R滤波器的级联型结构；特点：系统实现简洁，只需一个二阶节系统通过转变输入系数即可完成； 极点位置可单独调整； 运算速度快(可并行进行)； 各二阶网络的误差互不影响，总的误差小，对字长要求低。缺点：不能直接调整零点，因多个二阶节的零点并不是整个系统函数的零点，当需要精确的传输零点时，级联型最合适。(3)HR滤波器的并联型结构。优点： 简化实现，用一个二阶节，通过变换系数就可实现整个系统； 极、零点可单独掌握、调整，调整Mi只单独调整了第i对零点，调整夕、仇i则单独调整了第i对极点； 各二阶节零、极点的搭配可互换位置，优化组合以减小运算误差； 可流水线操作。缺点： 二阶阶电平难掌握，电平大易导致溢出，电平小则使信噪比减小。x(n)Ab、并联型y(n)bnZTanb214X»ZT a21、a、直接型yXb?M，>，Z I 32m »ZTaimc、串联型2.3巴特沃兹漉波器（Butterworth漉波器）特点：具有通带内最大平坦的振幅特性，且随“，幅频特性单调其幅度平方函数：A(2)= 7h(7)2 =1jQ用/V为滤波器阶数，如图1通带：使信号通过的频带阻带：抑制噪声通过的频带过渡带：通带到阻带间过渡的频率范围c：截止频率。厂过渡带为零Y抱负滤波器阻带H(0)=OL通带内幅度H(0)=cons.HO。)的相位是线性的图3T中，N增加，通带和阻带的近似性越好，过渡带越陡。通带内，分母。/Qc<l,(c)2N<,A(2)1o过渡带和阻带，c>,(00c)2N>l,Q增加，A(2)快速减小。=c,Ag?)="芈纪=:，幅度衰减，相当于3db衰减点。2A(O)2振幅平方函数的极点乩(-S)乩(S)=Z1+()2f伙可见，ButterWOrth滤波器的振幅平方函数有2N个极点，它们匀称对称地分布在ISI=OC的圆周上。考虑到系统的稳定性，知DF的系统函数是由S平面左半部分的极点(SP3,SP4,SP5)组成的，它们分别为：.2.2Sp3=c=S=q,Sp5=Qe号系统函数为“(S-Sp3)(S-Sp4)(S-Sp5)令Q=1,得归一化的三阶BF：")=S3÷2S2+25+l假如要还原的话，则有H(s)=：“(SlQC)3+2(5/t.)2+2(5r)+l2.4双线性变法法目的：将模拟带通滤波器转换成数字高通滤波器为了克服冲激响应法可能产生的频率响应的混叠失真，这是由于从S平面到Z平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，可以采纳非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到fT"7之间，再用宏转换到Z平面上。也就是说，第一步先将整个S平面压缩映射到Sl平面的r77一条横带里；其次步再通过标准变换关系天将此横带变换到整个Z平面上去。这样就使S平面与Z平面建立了一一对应的单值关系，消退了多值变换性，也就消退了S平面S平面Z3Fffi图2双线性变换的映射关系为了将s平面的整个虚轴jQ压缩到Sl平面ji轴上的-7到“，段上，可以通过以下的正切变换实现式中，r仍是采样间隔。当。由-T经过O变化到T时，。由-8经过O变化到+8,也即映射了整个”2轴。将式写成2eW2-lT2jQ='ejTH+e-ji;!2将此关系解析延拓到整个S平面和Sl平面，令j?s,jl=sly则得2产2_产2 八吟S = T产2+产/2=7叫2厂再将Si平面通过以下标准变换关系映射到Z平面 z=esl从而得到S平面和Z平面的单值映射关系为：2 I-ZTS =.Tl +1 T 21 + s + sL-I-T-z1 T - 21 ss2 T首先,把作e” 可得2 -ei ,2(S =- = / tan =T + ej T 2)即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆。其次，将代入式，得2-t-< + JQz=2C-j.27T 1 +产4因此由此看出，当*0时，z<l;当苏0时，z>l°也就是说，S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内，S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外，S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上。因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也肯定是稳定的。双线性变换法优缺点：双线性变换法与脉冲响应不变法相比，其主要的优点是避开了频率响应的混叠现象。这是由于S平面与Z平面是单值的一一对应关系。S平面整个jc轴单值地对应于Z平面单位圆一周，即频率轴是单值变换关系。这个关系如式所示，重写如下：oZ、。吟唱上式表明，S平面上。与Z平面的3成非线性的正切关系由图3看出，在零频率四周，模拟角频率Q与数字频率3之间的变换关系接近于线性关系；但当口进一步增加时，3增长得越来越慢，最终当八8时，S终止在折叠频率奸冗处，因而双线性变换就不会消失由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象，从而消退了频率混叠现象。图3双线性变换法的频率变换关系但是双线性变换的这个特点是靠频率的严峻非线性关系而得到的，如式（及图4所示。由于这种频率之间的非线性变换关系，就产生了新的问题。首先，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位了；其次，这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必需是分段常数型的，即某一频率段的幅频响应近似等于某一常数(这正是一般典型的低通、高通、带通、带阻型滤波器的响应特性)，不然变换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变，如图5所示。图5双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射对于分段常数的灌波器，双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的滤波器，但是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变，这种频率的畸变，可以通过频率的预畸来加以校正。也就是将临界模拟频率事先加以畸变，然后经变换后正好映射到所需要的数字频率上。2.5设计步既依据以上FIR数字滤波器设计方法，下面运用双线性变换法基于MATLAB设计一个FlR高通滤波器，其中通带边界频率为500Hz,阻带边界频率分别为400Hz,通带最大衰减IdB,阻带最小衰减40dB,抽样频率为2000HZ(1)确定性能指标在设计高通滤波器之前,首先依据工程实际的需要确定滤波器的技术指标：(2)频率预畸变用。=2T*tan(w2)对高通数字滤波器H(z)的数字边界频率预畸变,得到高通模拟滤波器H(S)的边界频率主要是通带截止频率Wp1;阻带截止频率Ws1,的转换。模拟高通性能指标转换成模拟低通性能指标WP=I;%归一化处理WS=WP*Wpl/Wsl;模拟低通滤波器的构造借助巴特沃兹滤波器得到模拟低通滤波器的传输函数。(5)模拟低通滤波器转换成模拟高通滤波器调用lp2bp函数将模拟低通滤波器转化为模拟高通滤波器。(6)模拟高通滤波器转换成数字高通滤波器采用双线性变换法将模拟高通滤波器Ha(S)转换成数字高通滤波器H(z)o输入信号检验滤波器性能输入不同频率的正弦波，观看输出波形，检验滤波器性能。2.6程序流程图0读入数字滤波器技术指标将指标转换成归一化模拟低通滤波器的指标模拟域频率变换,将G(P)变换成模拟高通滤波器H(S)用双线性变换法将H(s)转换成数字高通滤波器H(z)输入信号后显示相关结果2. 7问题分析(1)在设计高通滤波器时，首先要将数据进行归一化这样可以提高设计的精确性。(2)在设计信号的输入时，课程中的数据f2假如是60OHZ时，则复合信号通过滤波器时无法输出正常的信号X2,这说明频率太低，而被全被滤除，在将频率改至3000HZ之后则能输出符合设计要求的信号。(3)信号通过滤波器后输出的信号与x2的信号开头部分有点失真，这时由于信号并不是特别抱负的通过滤波器的，在通过滤波器时受到滤波器的影响是从不稳定渐渐趋向稳定的。3运行环境Windowsxp4开发工具和编程语言Matlab6.55具体设计clc;clearallRp=1;%通带衰减dBRs=40;%阻带衰减dBOmegaPl_l=500;%通带边界频率OmegaS1.1=400;%阻带边界频率Fp=2000;%抽样频率Wp1=2*pi*0megaP1_1/Fp;%通带频率模数转换Wsl=2*pi*OmegaSl_l/Fp;%阻带频率模数转换OmegaP1=tan(Wp1/2);%通带频率非线性变换OmegaS1=tan(Ws1/2);%阻带频率非线性变换Eta_P=OmegaP1/OmegaP1;%归一化Eta_S=OmegaS1/OmegaP1;%归一化Lemta-P-EquivalentLowPass=1/Eta_P;Lemta_S_EquivalentLowPass=1/Eta_S;%估量滤波器阶数N,Wn=buttord(Lemta_P_EquivalentLowPass,Lemta_S_EquivalentLowPass,Rp,Rs,'s,);%设计滤波器num1,deni=butter(N,Wn,'s,);Inum2,den2=lp2hp(numl,den1,OmegaP1);num,den=bilinear(num2,den2,0.5);z,p,k=tf2zp(num,de)%显示传输函数dispC分子系数是disp(num);disp(吩母系数是以disp(den);%计算增益响应W=0:pi/255:pi;h=freqz(num,den,w);g=20*logl0(abs(h);%绘制增益响应figure;plot(w/pi,g);grid%绘制巴特沃兹高通滤波器幅频特性axis(O1-605);xlabel('omegapi');ylabel(增益/dB,);titleC巴特沃兹高通滤波器);figure;ZPlane(Z,p);%绘制传输函数零极点title(传输函数的零极点上fl=300,f2=3000;n=0:600;t=n/10000;X1=sin(2*pi*f1*t);x2=sin(2*pi*f2*t);x=xl+x2;figure;SUbPIot(2,2,1)%绘制xl的波形plot(xl);gridon;axis(0,50*pir3,3);xlabel(,t,)jylabel(,xl(t)');title(,xl的波形')；SUbPlot(2,2,2)%绘制xl的波形plot(x2);gridon;axis(0,50*pi,-3,3);Xlabel(t);ylabel('x2')；title('x2的波形')；SUbPIOt(2,2,3)%绘制输入X的波形plot(x);gridon;axis(0,50*pi,-3,3);XlabeI(t);ylabel('x(t)');titleC输入信号X的波形')y=filter(num,den,x);%数字滤波器输出SUbPlOt(2,2,4);%绘制输出y的波形plot(y);gridon;axis(O,5O*pi,-3,3);xlabel(,t,)jylabel(,y,);tit®，滤波器输出y的波形)6调试分析Z=1.3186+0.0728i1.3186-0.0728i1.2471+0.1915i1.2471-0.1915i1.1460+0.2529i1.1460-0.2529i1.0478+0.2773i1.0478-0.2773i0.9460+0.2698i0.9460-0.2698i0.8580+0.2250i0.8580-0.2250i0.7968+0.1570i0.7968-0.1570i0.7632+0.0792i0.7632-0.0792i0.75310.0444+0.9106i0.0444-0.9106iO.0381+O.7545iO.0381-O.7545iO.0336+O.6187iO.0336-O.6187iO.0303+O.4976iO.0303-O.4976iO.0279+O.3871iO.0279-O.3871iO.0262+O.2843iO.0262-O.2843iO.0251+O.1868iO.0251-O.1868iO.0245+O.0926iO.0245-O.0926iO.02437.3789e-005分子系数是CoIumns1through6-0.4566-0.91320.0001-0.00130.0100-0.05020.1756CoIumns7through120.9132-1.43501.7938-1.79381.4350CoIumns13through180.4566-0. 17560.0502-0.01000.0013-0. 0001分母系数是CoIumns1through61.0000-0.52472.4322-1.05562.2461-0. 7954CoIumns 7 through 121.0097-0.28580.2357-0.05170.0283-0.0046CoIumns 13 through180.0016-0. 00020.0000-0.00000.0000-0.0000f1=3007测试结果8试验总结通过此次课程设计我对数字信号处理有了进一步的熟悉，但是由于自己数字信号处理的理论课程没有达到很深的了解，对数字滤波器的设计缺少熟悉，因此在此次课程设计中我还是遇到了很多问题。在加上自己在matlab软件应用方面存在一些问题，所以比较吃力。因此在设计过程中，我是看了遍数字信号处理的教科书并且特殊注意看了关于数字滤波器的设计的内容，再通过采用参考文献与网络，完成了用Matlab进行数字信号处理课程设计。通过课程设计，不仅深入了对理论学问的了解,巩固了课堂上所学的理论学问,而且还增加了自己的动手力量，并且理解与把握数字信号处理中的基本概念、基本原理、基本分析方法。与其他高级语言的程序设计相比，MATLAB环境下可以更便利、快捷地设计出具有严格线性相位的FlR滤波器，节约大量的编程时间，提高编程效率，且参数的修改也特别便利，还可以进一步进行优化设计。信任随着版本的不断提高，MATLAB在数字滤波器技术中必将发挥更大的作用。同时，用MATLAB计算有关数字滤波器的设计参数，如H(z)、h(n)等，对于数字滤波器的硬件实现也供应了一条简洁而精确的途径和依据。总之，这次课程设计设计不仅增加了自己的理论学问，加强了自己的动手力量，而且还培育了自己遇到问题之后如何去发觉问题、解决问题的力量。此次课程设计对自己在很多方面都有了很大的关心。最终还要感谢指导老师的辛勤知道和教育！参考文献Uh程佩青著，数字信号处理教程，清华高校出版社，2001、SanjitK.Mitm著，孙洪，余翔宇译，数字信号处理试验指导书(MATLAB版)，电子工业出版社，2005年1月3、郭仕剑等，matlab7.x数字信号处理，人民邮电出版社，2006年4、胡广书，数字信号处理理论算法与实现，清华高校出版社，200315.SanjitKMitra著，数字信号处理一基于计算机的方法(第3版)，清华高校出版社，2006年10月