二阶微分方程解法.docx

第六节二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次钱性微分方程的解法教学点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学过程I一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程：方程y,+p+gv=O称为二阶常系数齐次践性微分方程.其中p、g均为常数.如果巾、”是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解，那么"C中+C就是它的通解.我们看看，能否适当选取r,使产产满足二阶常系数齐次线性微分方程，为此将产/代入方程1+/KM)得(r2+>r+7kz,=O.由此可见，只要满足代数方程J+"+g),函数)=/就是微分方程的解.特征方程：方程/+pf=O叫做微分方程Y'+W+q尸0的特征方程.特征方程的两个根小kUr用公式-p+±p2-4174.2=2求出.特征方程的根与通解的关系：(1)特征方程有两个不相等的实根、C时，函数M=e*、=。'”是方程的两个线性无关的解.这是因为.函数=efiJE=e是方程的解，又资=吴=d*iF)*不是常数.因此方程的通解为y=Cler'x+C2er>x.(2)特征方程有两个相等的实根”=仁时，函数,H=e*、A=Xe仆是：阶常.系数齐次优性激分方程的两个找性无关的解.这是因为，y=es是方程的解.又(Xo+Mx/*)'+矶.W)=(2i+工/匹+凶+”/'+q.m”=er'x(2t+p)+XMx(Ti2+Pr+4)=0，所以)b=X"'也是方程的崛旦必=挈=X不是常数.V方X因此方程的通解为y=Cier>x+C2xerx.(3)特征方程有一对共轨双根九2=t时，函数y“网、尸JSa是微分方程的两个线性无关的复数形式的解.函数y=*os向、户尸sine是微分方程的两个城性无关的实数形式的解.函数橄和肾=-加都是方程的解，而由欧拉公式，得y尸Ja枷=_(COS命+斓n).y2=z加=e'(cos命-isin。，>+V2=2*icos),尸cos3v=J(F+及).4fa>，-»=2Ysin向.jsin/t=()1.H).故t,cos-4"sink也是方程解.可以5金证,y=e*MCOS/Jr、1.NWSiMr是方程的线性无关解.因此方程的通解为JFe叫GCOsySsJsinWr).求二阶常系数齐次成性微分方程y"+m1+g产O的通解的步噱为：第一步写出微分方程的特征方程r+>r÷<=O第二步求出特征方程的两个根八、4第三步根据特征方程的两个根的不同情况,写出澈分方程的通解.例1求微分方程-2y-3>-=0的通解.解所给他分方程的特征方程为r-2r-3=O,即(Hlxr-3k).其根11=-l./3是两个不相等的实根,因此所求通解为y=Ce*+C1*.例2求方程/t2y+"0满足初始条件yN'Ni=-2的特解.解所给方程的特征方程为r+2r*l=0.即(rH)J.Kftin=-I是两个相等的实根，因此所给微分方程的通解为产(G+C2x)e".将条件NJl=4代入通解，得G=4,从而y=(4+C2k.将上式对X求导，得y'=td-C)1.'再把条件产-2代人上式，得J=2于是所求特裤为x三(4+2)r*.例3求做分方程.v"-2y+5产。的通解.解所给方程的特征方程为r2-2r÷-5=O.特征方程的根为n=+2i.ri=-2i.是一对共短复根.因此所求通解为,v=,(Ccos2v+C2sin2).”阶常系数齐次线性微分方程：方程yn)+pD*->+p2y"-2>+,.+pflHy+QUO.称为n阶常系数齐次性微分方程,其中m.6.,PnT,用都是常数.二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式,可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去.引入微分算子D,及微分算子的“次多项式：i(D)=D"+pDvl+p'D'=+pfl-1D+p11.则”阶常系数齐次城性微分方程Ur记作(D"+Pirl+P2iy-2+pD+p*)y=O或1.(D).v=O.注：D叫做微分霓子I/1",D,D2V=./,D6”,D"y=y?分析：令k,则UV)y=UV>en=+p,''-i-py2+pa-r+pn)en=Ur)e'1.因此如果r是多项式力的根.则严一是微分方程1.(D)V=O的解.”阶常系数齐次线性微分方程的特征方程：Ur)=+P'+P2t2+pn-r+prt=O称为母分方程1.(D)V-=O的特征方程.特征方程的根与通解中项的对应：单实根，对应于一项:S;,对"单页根r.2=ct±i对'应于两J¾:IYGC0$曲：+JSinar)：k取实根r对应于k隔eo(C1+C2x+C*,);一对k重复根11,2=a±ii对应于2k项：<*'(C+Cn+-+Ct.l>cosr+(D+Du+Dtl)sin)9r.例4求方程严,-2.f+5)"=0的通解.解这里的特征方程为/-2r,+5r=O.UPr(ri-2r+5)=O.它的根是=n=<)和4=112j.因此所给微分方程的通好为y=Ci+C2.v+e*(CicosZr+(74sin2r).例S求方程/'+。肘=O的通解其中加O解这里的特征方程为/+犷=0.它的根为j2=¼(±i),z,4=-C(>i0.22因此所给微分方程的通好为y=ecicos-V+C2sin-)+e6(GCoJ+Clsin与x).二、二阶常系数非齐次线性常分方程他介二阶常系数非齐次雄性微分方程：方程y,+>y+<7>rtx)称为二阶常系数非齐次线性微分方程，其中p、q是常数.:阶常系数非齐次跳性微分方程的通价是对应的齐次方程的通斛产Y(X)与昨齐次方程本身的一个特辑门Wa)之和：y=11x)+y*(x).当Kr)为两种特殊形式时，方程的特解的求法：一、/UWUrH组当火炉=心(外/、时.可以猜想.方程的特解也应具有这种形式.因此,设特解形式为卢将其代入方程.得等式O',(.v>H2+p)C,(.t)+(Z2+pA+K)(>PA).(I)如果4不是特征方程/+8+g)的根，则心少衣俨。要使上式成立，刈应设为，"次多项式：0)=¼rn,+hxm,+hw-.r+>ro.通过比较等式两边同次项系数，可确定心也,，心,并得所求特解>*=0nX-v)ra.(2)如果久是特征方程r+pr+=O的单根.则不+p2+片0.但24p0.要使等式Q”(xH22+p)Q,(.5M+g()=P*x).成立,0»应设为阳+1次多项式：QX)=X®(x).QMK)=cu曲H+bix+bm,通过比较等式两边同次项系数,可确定凤E.,瓜,并将所求特斛.产=XQm(Kw.(3)如果2是特征方程/+pf=O的二重根，Wlp+tpl),2+p=(),要使等式Q''(W22+p>0(xH(42+p2+gK?（八）=PMx).成立.Q(.r)应设为，n+2次多项式：O)=Qm(.r),QjX)=IWm+btxm"+g+bv.通过比较等式两边同次项系数,可确定岳J>,.".并得所求将解)=x"综上所述，我们有如下结论：如果贝X)MPg(X与优则二阶常系数作齐次线性微分方程y,'+py'+gy4U)有形如的特解,其中QMa)是与RlU)同次的多项式,而&按/1不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的垂根依次取为0.1或2.例1求微分方程-2y-3y=3x+l的一个特解.解这是二阶常系数非齐次线性微分方程，且函数人0是PK(X把加型(其中P>3+I,=i).与所给方程对应的齐次方程为尸-2y-3y=O,它的特征方程为r2-23=O.由于这里义T)不是特征方程的根，所以应设特解为vi*=Zt+.把它代入所给方程.得-3<t-2-3=3.v+1,比较两端X同次用的系数，得¥1».-3t=3.-2cr-3Z>=l.-2-3i=l由此求得加=-1.4=g于是求得所给方程的一个特解为M2求微分方程y-5.v'+6产K产的通解.W所给方程是：阶常系数非齐次战性微分方程,旦儿丫）是PM（X）e小型（其中PmX）=X.三2）.与所给方程时应的齐次方程为y*-5+6v=0.它的特征方程为r-5r÷6=0.特征方程有两个实根n»2.n=3.于是所给方程对应的齐次方程的通解为Y=Ge%C绰工由于=2是特征方程的单极，所以应设方程的特解为y*=rfcnv+6i）e2,.把它代入所给方程.得一物必2加-加比较两端X同次知的系数，得-2=1A-A=O,-2庆1=1,2Z-fr=0.由此求得于是求得所给方程的一个特解为)*=Xx-lk2*.从而所给方程的通湃为y=Cyel+C2e(+2a,.提示：'*=.v(ftv+fe)2f=(>r+h.v)e2t,(加雇+也+为'=(2h(W+ZH<加M+x)2k”,(如/+阮S>“r=2¼+2(2'叶")2X6&加刈了卜吗*-5y*,+6y=(u+i.r)r2fJ,*-5(Zrz+.v)e2r),÷6(r+fr.v>ezfJ=(222(2r+fr)2+(A+r)22je2'-5(2¼r+)+(r+x)2)tfil+6(i0r2+r11二2¼÷4n+8>-5(2%计6)/'=(-认户2>-"1炭.方程）"+川+办"，仍（.000“以+/式幻$皿5的特解形式应用欧拉公式可得e'Pj(x)cos(aPn(x)iiincfv»，心)/MMRP=素次X)叱(X)Ph有()+MCv)E有皿=P(XW1.M*+P(x-i.其中PU)=(厅一月，),P(x)=Pl+Pni).而",=max,".设方程+W+所"x)e"uu的特解为>"dQ"x)"心则K"=2vW石必是方程y+>y,+<y=75(K)WT3的特艇其中k按拉。不足特征方程的根或是特征方程的根依次取O或1.于是方程)，'+py+g尸小丹(X)cosv+EI(X)Sinftnl的特解为)*=yn(*)eu"M*+/G(XW"-加"=x*/lw(x)(cosMx+ininr)+,(Acosftir-sinr)Wa1.(N)COS视+内>MX>sin综上所述,我们有如下站出：如1果HX)=产P*osr+P4x)sin同.则二阶常系数非齐次然性微分方程y,+py,+<fix)的特解可设为y*xte'R"1xKosr+fl(X)Sinir).其中内“)、庐IM(X)是m次多项式,"max”,而"按ai<(或2-i汕不是特征方.程的根或足特征方程的单根依次取0或1.例3求微分方程y+)=eos2x的一个特解.解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，且Kr)磔klPdcosow+PM+inftwl型(其中=Q.t=2.P(x)=x,1(.r)=O>.与所给方程时应的齐次方程为它的特征方程为r+l=O.由于这里久+i"2i不是特征方程的根.所以应设特解为,V*=<t+>)cos2r+<('+<)sin2x.把它代入所给方程，得(-3t-fr*4c)cos2.r-(3cvf3J÷4<hin2vxros2.比较两端同类项的系数，也a=-l,>=<),<三0,I=。JX于是求知一个特解为.v*=-lcos2v+in2.提示：*=4rt>)cos2+(c+rf)sinZr.y*,=<cos2A-2(r+ft)sin2x+<iin2+2(er+()cosZr.(2t*+2J>cos2xH-2av-2Z>+c)sin2.>*,=2<ros2r-2(2cv+2J>sin2v-20sin2v+2(-2av-2fr+<)cos2r=(-4ar-4h44r)cos2.v+(-4c.r-1«-l<sin2r.>*"+)*=(-30r-3fr+4c)cos2x+(-3cx-4<1.3d)sin2.-3=1由总吸二°,得=Y,XZ,d=4-3C=O39-4<-3rf=0