模型03 全等三角形中的常见五种基本模型（解析版）.docx

全等三角形的常见五种模型模型介绍全年三处形的撰型种臭多，其中有关中点的模型与季立梯型在料面的专题已拄很洋统的讲解，这里就不在支复.模型一、横长：在较长的战段上极取另外两条.核处的畿段。如图所示，在BF上极赧BM=OF.%tiBMCSDFC(SAS)1»；MC=FC=FG,ZBCM=ZDCF,可得AMCF为号膜近角三角彩.义可证NCFE=45'.ZCFG=90o,ZCFG=ZMCF.FGCM.可得旧边形CGFM为平行E边形.«'JCG=MF.于是BF=BMMF=DF*CG.科短：选取两条枝短域段中的一条进行延长，使用较短的两含蝶我共伐并寻求解麴突破。如图所示.廷长GC至N.«CN=DF.为证4CDFgZBCN(SAS).可祥CF=FG=BN.ZDFC=ZBNC=I351.又知NFGC=45",可证BNFG,于是四边形BFGN为平行四边形，"BF=NG,所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.模熨五、手拉乎全等模嵬例题精讲【例1.如图.AD工BCAB+BD=DC.ZB=54.则NC=27'.BZZDCbd2C解：在DC上被取DE=6连接A£,VD1BC.DE=BD,及HE的垂直平分处，：.AB=AE.Z=Zf=54'.<AB+BD=DC,DE+EC=DC,AB=EC9JAf=EC,ZC=ZE4G.C+NEAC=NA£8=540ZC=ZEAC=-IZE=27".故答案为：2T.2A变式训练【变武I-IJ如图点是ZXABC三个内角的角平分线的交点连接AHB=BC,则NCm的度数为<)A60°B.70'C-80'D.解：如图，在6C上截取C=4C,连接/E,VZ4C=60，P.CP.ZACB=CA)',且CA+AP)0.二NCA8+/A8CJ120”.点Pzuc三个内用的用平分线的文点.ZCP-ZBP-ZC4,ZBP-ZCBI,=-ZABC.NACP=NBCP、22：.A8P+N8AP=60'：CA=CE.ZACP=NBS.CP-CPACP,ECP(SS).,.AP=PE.NCAP=NCEP'：C+AP=BC,且CB=CE+BE,J.AP=BE.JBE=PE.：.NEPB=ZEHP.：.NPEC=NEBP+NEPB=2/PBE=NCAP.¾8=2PZM,RZAflP+ZfiAP=60'.N¾8=40",ZCAB=SOo故选：C.【变式1-2.如图,在四边形A8C7)中，BC>B.AO=CO.8。平分/4BC,求证：NA+NC=1M)°.证明:在缱段BC上"取BE=«4,连接DM如图所示.丁8。平分/4BC.,.Zahd-Zebd.AB=EB6.ahi)f4tw.Zabd=ZEBD.BD=BD.ABDEBD(S5>,；.AD=ED,ZA=ZBED.'JAD=CD.：.ED=CD.：.ZDEC=ZC.VZtfEZX-ZDEC=IHO.二NA+/C=I80”.【变武1-3】.ll.AA8C为等腰直角二角形,AB=ACNSAC=90".点/)在线段48J1.,连接CdZADC=60,.AD=2.过C作Cfi1.C).HC1.=CD.连接/)£交,BC干F.<1)求(?£)£的面枳：.,.ZACD=,：.CD=CE=2AD=4,VEC1.CD.ZEC=9(.,S,.K7>="CDCE=-×4×4S.22(2)证明：在EF上取一点M.使得EM-ZJR'：EC=CD.ZE=ZCDF=AS,:ZCM9ADCF,：.CM=CF,VADC=W,ZFDtf=180°-60°-45°=75'.ZUbB=ZCFM-180°-75t-45'=60'.二ACFM是等边三角形，：.CF=MF.二EF=EW+AfF=DF+CF.模型二、平&金等模型【例2】.如图,在四边形ABa）中,E是AB的中点,AD/EC.ZAED=ZB.1求证：AAED坦AEBC.2当A8=6时，-Cz）的长.(I)证明：,.,ADEC.，Z=ZBEC.；£是A8中点，.,.AE=EB.：ZED=NB.EDEBC.<2)解：.,Af-DEBC.：.AD=EC.：AD/EC.四边形A£C7)是乎行四边形,：.CD=AE.；八8=6.CO=4八8=3.2A变式训练【变式2-11如图l.B,C.D在同一B1.我上,A8=CZ）,DE/AF,DE=AF.求证：AFCDEB.如果将8£沿着A。边的方.向平行移动，如图2,3时，其余条件不变，结论是否成立？如果成立，请予以证明：如果不成立，诂说明理由.耨：'：AB=CD.AH+BC=ClHC.JCBD.'：DE/AF,AF=DEH4FC和中.(ZA=ZD-AC=DB：.AAFC迫ADEB(SAS).在<2).(3)中结论依然成立.如在<3)中，"AB=CD.'.AB-BC=CD-RC,WAC=BD.7AFl)E.A=NO.AF=DE在八b和/)£»中，Za=Zd.AC=DB4CF52DE<SAS).(¢A2-2.如图,AD,"相交于点O.AR/DF.AR=DF.点E与点C在M上，且M=CE< I)求证：AABC沿ADFE：<2)求证t点。为BF的中点.二NB=ZF.,:BE=Cf-.BCEF,在八8C和AOFE中,AB=DFZb=Zf.BC=EF.ABCDFECSASh：.AC-DE.ZACB=NDEF.iACO和aDEO中.Zacb=ZDEFZaoc=Zdoe.AC=DE二八COg。卬（AAS）,：.EO=CO.点。为M的中点.【变式2-3.如图，XA08和ACOO均为等腰直角三角形，NA。=NCO。=90”，。在A8上.< 1）求证：dAOCSB0D;< 2>TiAD=1.ADC=60",求CD的长.< 1>证明：FAO8和ACOD均为等腰直角三角形,.ZAOB=ZCOD=90',OA=OB.OC=OD.：./BOD+/AOD=N,/AOC+/AO/）=90'.：.ZBOD=ZAOC.4tX?和ABC/）中.rCO=DOZbod=Zadc.OA=OB.OC2flOD（SSh< 2>解：.,OOOD.：.ZCAO=DRO=45t.又8A"=45'.CAQ=90",VAD=I.ZADC-60."D=2AD=2.【例3】.如图，AO8C.ZD=90o.CPB=W.NDAB的角平分线与NCgA的角平分级相交于点P.且。,P.C在同一条宜线上.<1）求N½0的度数：解：,.,DBC.ZC=180-ZD=180,-90"=90*，:NaI8=川：.ZPBC=90-/8=60".,：PB平分/ABC.：.NABC=2ZPBC=120'.7ADBC.ZDB+ZC=I8O,.：.ZDAB=SOa-120=60",.YQ平分/)AB.ZPAD-ZDA30,:2<2)证明：过P点作PElABTE点，如图,0平分/MB.PD1.AD.PEIAR.：.PE=PD.平分/八8CPClBC.PE1B.：.PE=PC,.,.PD=PC,是找段。的中点.A变式训练【变式3-1.如图,AB=AC.£>,E分别是Af1.AC的中点.AMA.CD=M.AAC1.BE干M求证：八M=AM解：.Y8=AC,D.E分别是八8、AC的中点,：.ADBD=AE=EC,NB=NC,在/)BC和/?/»C中BD=ECZB=ZCBC=CBDCEBC.NBDC1.ZBDE.：N8DC=NAfW,ZfifC=NAEN,：.ZADM=NAEN,在ZXawo和Zsane中Zamd=Zane=OOoVZadm=ZaenAD=AE.".MD'NEAM=AN.【变式3-2.如图.已知点£F分别是正方形ABC7>中边AB、8C上的点，HA8=12.AE=6,将正方形分别沿DE./”向内折会.此时DA与DC理合为DC.求CF的长度.解：设(T=X,则FG=x.FB=I2-X,'：AH=n.A£=6.：.BE=6.EG=6.工EF=Xx在RlBfF,BEB户=E产.62+(12->2=(.r+6)2,x=4.即CF的长为4.【变式3-3.如图，ZOB=9Q,OM平分NAo8,将直向三用板的顶点P花射线OM上移动，两宜角边分别与。A、。8相交于点C、。，何PC与/，。相簪吗？试说明理由.解：/C与PO相等.理由如下：过点P作PE1.OA于点E.PF1.OB千点F.=CM平分/AC8.点P在"M上.PE1.()A.PF1.OH.IPE=PF(用平分线上的点到角两边的距离相等)XVZAO=90j.NPEO=NPFO=%",：.四边形OEfT为矩形,；./EPF=9()：./EPC+NCPF=W,又.CP)-90".：.ZCPF+ZFPD=W*.NEPC=NFPD=X)'-ZCPF.在尸CT与以)尸中，ZPEC=ZPFd；PE=PF，ZEPC=ZfpdPCZiPD<ASA).：.PC=PD.【例4.如图，已知：A)=48.AE=AC.AD1.AH.AE1.AC.猜想线段。与之间的数让关系与位置关系,并证明你的猜想.解：Jftffi=CD=BE,CD1.BE.理由如下："：AD1.AB,AElAC.M=ZE4C=90.,.,DAR+ZRAC=E4C+ZRAC.RPZCAD=ZE4.住ZiACO和ZkAtW中.AD=ABZcad=Zeab.AC=AECD!E(AS).1.CD=BE,NADC=NASe,；NAGD=WFGB.：.NBFf)=NaAD=9()：即CO_1.8£A变式训练【变式4/1己知AA8C和AAOE均为等膻三角形，且8AC=NZME,AB=AC.AD=AE.(1如图1,点E在8C上，求证；BC=BD+BE;(2如图2,点E在CB的延长蜿上，求证：RC=HD-BE.<I)证明：VZfiAC=/DAE,：.NBAC-ZBAE=ZDAE-NBAE.ZDAB=ZEC.>1.'：AB=AC.AD=E,DABEAC(SS).：.RD=CE,：.BC=BE+CE=BD+BE：<2)证明："：ZBACZDAE.8AC+NEA8=NDAE+ZEB,即/。八8=E4C.×'.'B=AC,AD=E.DABEAC(SAS).：.RD=CE.,.BC-CE-BE=BD-BE.【变式小2.如图所示，已知。是正方形ABC外一点.且¾=3,PB=4.则PC的最大位是_2±_.耨:如图,过点8作8£_1.8P,RBE=Pli.连接八£.PE、PC.则PE-y2f,H42'：ZABE=/ARP./CHP=/AHP+90°，"ABE=NCRP.在2AZ½和ZXCSP中.AB=BC<Zabe=Zcbp.BE=PB：.AE-PC.由两点之间线段缢题可知，点A、P、E三点共战时Af最大,此时=4P÷PE=3+42所以.PC的值大值是3+42故答案为：3÷42.模型五、子扯拳会等模型【例5】,如图.ZXA8C与ZiAOE是以点A为公共蹊点的两个三角形,且AQ=4£.AB=ACNDAE=NCA=90'.Il线段皿入CE交于立<I>求证：AAEC9AADB.<2）猜想CE与DB之间的关系，并说明理由.(I证明：VZBAC=Z1DE.：./8AC+/CAO=DAE+NCAD.：.ZBAD=ZCAE,住ABAD,jCAfc'P.AB=ACZbad=Zcae.AD=AE.,.BADiCE(.SASh<2)解：CE=DR.CE1DR.理由：由(I)知.BDSCE.ABD=ZACE.BD-CE.'：ZBAC=W,：.ZCBF+ZBCF=ZBC+ZACB=W.ZBFC=W.J.CE1BD.A变式训练【变式5-1.如图.C为线段AE匕一动点（不与点A,>.在AE同侧分别作正三角形A8C和正三角形CDE.AD与BE交干点O.AD与BC文于点P.BE与CD交干点Q,连接PQ.以下五个结论：（三）AD=BE-.AP=8Q:®DE=DP:NAo8=60”.忸成立的结论有几个（）魁:.1EZXABC和正<?£>£,AC=BC.CD=CE.NAaJ=NDCE=60',：ZACD=NACB+NBCD,NBCE=NDCE+NBCD,：.ZACD=ZBCE.4DC5tfEC(SAS).：.AD=BE.ZDAC=NEBC.(故正确)：又；AC=8。ZCP=ZBCQ=60.ZDC=ZEBC.1.acdpmceq(ASA).：,AP=BQ.(故正确)：(g)VACP5c.".AP=QB.DCBEC.,.AD=BE.,.AD-AP=RE-QR.:.DP=EQ."JDE>QE.HDP=QE.OQ1.)H(故忸误):(g),A()B=ZDAF>ZAEO=/DAE+ZADC=ZX=6<)1.(故正确.,正确的有：(IXg.故选：C.B【变式5-2.如图，NBA/)=NeA«=90'.AB-AD.AE=AC.AF1.CB.垂足为E< I>求证：ACADE;< 2)求N¾E的度数；< 3)求证：CZ)=28F+CE.证明：(D.3AO=CE=90",二/8AC+/00=90,ZCD+ZDA=90t.：.ZBAC=ZDAE.6-.hac和中,AB=ADZbac=Zdae.AC=AEMCSJDES)：(2)："：.(=AE.ZE=45°,III(I)知bACgZXOAE.二/80-45'.'：AFlBC.ZCM=9()t,二/CA尸=45°.ZFAE=ZMC+ZCAE=45*+90'=135°：(3二长到G,使得FG=FB.AF1BG,：.ZAFG=ZFB=90=.在AAFT?和AAFG中，BF=GFZafb=Zafg.AF=AFB4FG(SS).：.AB=AG.ZABFZG.VCSDE.：.AR=AD./CBA=ZEDA.CB=ED.：.AG=AD.ZABf=ZCDA.'.ZG=ZCDA.VZGCA=ZDCA=45*.fl!CG和(;"中，ZGCa=ZDCA<Zcga=Zcda-AG=ADCGACDA(AAS).：.CG=CD.'：CG=CB+BF+FGlCB+2BF=DE+2BF.1.CD=2BF+DE.【变式531<1如图1.等腰ZUBC与纤腰AOEC有公共点CB.7BCA=ZECD,连接火：、AD,若BC=AC.EC=DC.求证：BE-AD.证明：(1),:乙BCA=NECD,：./RCA-ZECA=ZECd-EC,NBCE=ZACl).住8CE和>«?/)中.BC=ACZbce=Zacd.EC=CD.CEsACD(SAS),IBE=AD.耨：(2)图2、图3、图4中,和A。还相等.Flilh½:如图图2、图3、图4.'：ZBC=ECD.ZCD+ZCA=180'.Z£CZ>ZflCE=180.ZBCE=ZCD,在48CE11AA0?中，BC=ACZbce=Zacd.CE=CDCC5ACD(SAS).：BEAD.实战演练数为（）A.120°B.I35oC.I15oD.125°1 .如图，已知AH=A。，BC=DE,且NCAD=I0°,ZB=ZD=25a,ZEAB=120p则NEGF的度AB=AD/i>Cfill>IADf>t*Zfi=ZDMPW8B11W0ESS）W6AC=DAEBC=DE（12伊-100）=55。l2M=三AC+HDAf+CAD=12O三AC=WAE=l!ERAF=0AC+3C4D=65,K3AFS中.EFB=180KHeAF=90,B2）GFD=90Az-ZfGD.HfGF=HD*0GFD=115*%：C2 .如图，在2MO8和ACOO中，OA=OB,OC=OD,OA<OC./八08=NCoC=36'.连接AGBD交于点M,连接Q".下列结论：AM8=36",AC=BD,Q“平分/4OC,AfO平分NAWC.其中正确的结论个数有（）个.C.2D.I耨：；ZAOB=NcOD=36°.NAOB+乙BOC=ZCOD+ZBOC.即/八OC1./8。，在八OC和ABOC中，OA=OBZaoc=ZbodOC=OD：.AAOCgA8OD(SAS).：.Z.OCANODB.AC-HD.故正确:VZOAC=ZOfiD.由：角形的外角性质得:Z4>WB*/ORD=ZOAC/AOB-：.AMHA()li-ib.故正确：法一：作OGJ八MfG»OH1.DMF/,如图所示.'：AAOCg2B0D.OG=OH,.MO平分NA").故正确：法二：VAOC三BOD./.ZOC=OBD,；.A、B、M、。四点共IfU,：.ZAMO=Z.ARO=Ila,同理可得：EC、M、O四点共阅,ZWOD(O=72°=ZAMO.：.Mo平分AO,故正确：假设Mo平分/人00,则乙DoM=ZAOM.在MO与ZSDWO中，NAOM=NDOM-OH=OM，Zamo=ZdkoAjWO5DO(A1).：.AO=()D.OC=OD.OA=OC,而(MVOc故错误：正确的个数有3个：故选：B.3 .如图，在八8C中，/BAC=30°,J1.B=AC,P是AABC内一点,若AP+BP+CP的最小伯为啦,解：如图将4AW,绕点八顺时计旋转60WJJ.WG.连接PG,CM.则AB=AC=A".MG=08.AG-AP.C4P=60".,GM是等边：角形，：.PA-PG.n+PB+PC=CP+PG+GM.当M.G.P,。共战时，网+P8+PC的值加小,以小俏为线段CM的长,dp+cp的鼠小帆为42C-42.VZ=60c,/8AC=30°,.'.ZMAC=90,.".AJ-AC-4.作8N_1.ACfMWlBM-=AB=2,4,V=23CN=4-23.,.fC2=W.V2+C>V2=2<4-23>2=32-k3故答案为：32-I63.4 .正方形八8C7）中,A8=6,点£在边（?。匕CE=2DE.符2X4。E沿AK折段至,/£.运长EF受BC于点G,连接AG,CF.下列结论：fiGs4FG;S"GC=6;EG=DE+BG;BG=GC其中正确的有（埴序号）.解；正方形ASCC的边长为6,CE=2DE,J.DE=2.EC=4,；将aAOE沿AE折兴至CAFE.AA=AD=6.EF=ED=2.ZAl-E=ZD=<×.Z.FAE=ZDAE.在RtAABG和RtZUFG中,AB=AF.AG-AG.RtAGRtAFG(II1.),二正确：.GB=GF,ZBAG=ZEag,设AG=x,则:GF-x.CG=HC-H(ib-x.在RlACGE中，GE=x+2,EC=4,CG=6-.vcc2+ce2ce2.,.<6-x)+42=<+2)2.解得：x=3,B(1=GF=3.CG=6-3=3.：.BG=CG.二正确:YEF=ED,GB=GF.；.GE=GF+EF=BG+DE,，正确：；SGCECCAAx3X46.22VGF=3.EF=ED=2.GFCfFCE：.SaGFOSifCe=3：2.S(,h-2×6=-.不正确.故答案为：©.5 .如图，在矩形A8C。中，AB=8,flC=4,将矩形沿对角SMC折扑，点。落在。'处.<2>求A广的长度.D'<1）证明：依题意可知,<1>求证：AF=CF矩形沿对角线AC对折后有,ZD'=/8=90".ZAFD'=ZCFB.BCD',.D'FSCW<4S),：.CF-AFt(2)解：设八F=(T=M.".BF=3-.在RtCFBC2+BF2=FC2.即4?+(8->2xt.解得x=5.AF的长度为5.6 .如图，在八8C中，ZACfl=90i.AC=BC,延长AB至点。，IiiDB=AB.连接CC,以CC为直角边作等腰:角形CQE,其中/06=90°,连接BE.< I)求证：AACDgABCE:< 2>Aff=3cm,则BE=6cm.< 3>与八。有何位置关系？请说明理由.< 1>证明；:AACS和ACCE都是等腋直用三角形，"D=CE,C=CB.VZ4C=90,NDCE=X)'.ECD+/DCB=/OCB+/ACB.即ZECfl=/ACD.在AACO和ABC支中，rCD=CE<Zacd=Zbce.CA=CB.CD5CE(SS)s<2>解：VCD(7IAD=BE,"：DH-AB-3an.J.RK=2×3cm=fxm:<3>解：BEAD理由如FlV4CDCt.ZI=Z2.而/3=/4,NE8D=NECD=9fT.,.BE1.D.1.如图，在AA8C中，/8AC=90',AB=AC,点。是A8的中点，连接8,过8作8EJ_CZ)交C。的延长线于点E,连接AR过A作A凡1.AK交C/)于点£< I>求证：AE=AFi< 2>求证：CD=IHE+DE.：.ZE4+ZlF=ZR4F+ZMC=W.,.ZE4-ZMC.'JBl-±CD.AZfiEC=90,/.NEBNEDB=NADC+NACf)=90",'；NEDB=NADC，：.ZEBA-ZACF.rZEAB=ZFAC.,.fsAA7?,iFC1I'.AB=AC.Zeba=Zacf.,.AEBFC(S).AE=AF,< 2)如图，过点A作4G1.EC,不足为G.VAGlEC.BE1.CE.二/8Q=NAGO=90°,:点“是A8的中点.IBD=AD.ZBED=ZaGD.一bedjGz),.Zbde=Zadg-BD=AD.,.BED空AAGD(AAS).AfD=GD.BE=G,"AE=AFZEF=Z4FC=45,ZMG=45二ZGAF=ZGFA.,.GA=GF.ICF=BE=AG=GF'YCD=DG+GF+FC,CD=DE+8E+BE,.CD=2BE+DE.工8.如图：在等覆II角三角形中，A8=AC,点。是斜边8C上的中点DE1.DF.(1)若设8£=a,CF=b,足a-12+1-5=ii忿+z,<2>求证；BE1CF2=EF2.<3>在(D的条件卜.，求aDE尸的面枳./5、(1)解：由题怠句卜*"2?0,l2-m>0解得，H=2.ftla-12+>-5=o.,点£1、F分别为43,AC上的点，旦求及Cr的长.所以-12=0.-5=O,=12.h-5.BI)BE=2.CF=5(2)证明：铤长ED到上使。P=DE,连接FHCP.在&Ez)和Zscpc中，ED=PDZedb=Zpdc-BD=CDtfED5CPD<.SAS),：.BE=CP.NB=NDCP,在AEDF和APQ"中.DE=DPNEDF=NPDE=90°，DF=DFWF5P->(SAS).：.EF=hP.YNB=NDCP,ZA=90'.ZB+ZC=90".；.NAC8+NDCP=90"，即NFb=90°,d:.RtFCP.根据勾股定理得：CF2+CP2=PF2.'：BE=CP.PF=EF.BE2+CF2=EF2i<3>解：连接八。.48C为等腋口角三角形，。为8C的中点，1.nbad=NFcds.ad=bd=cd,adi.bc.VEDlFD./EOA+NAOQ=90".ZAD+ZFX,=90e.NEDA=NFDC.(izEDfi1CFD中,ZEAD=ZfcdAD=DC，Zade=ZcdfEDCFD<4M).,.AE=CF=5,DE=DF.即£/)为等腰口角三角形.=E+Efi=5+l2=l7,：.AF=AC-FC=AB-CF=17-5=12,在Rt&!/,中根；：'：/：/AE2+AF21-'设DE=DF=X,根据勾股定理行：/+=132.解行：1,即DE=OF=22则Sa>Ef=DE*DF=y×222249.如图I,点C为规段八8上任遐,点（不与点小8虫合），分别以AC、8C为一腋在AB的同恻作等腋ACDfiBCE.C=CDCB=CE,ZACD=ZBCK=301.连接AE交（7）于点M连接8。交CE于点MAE与8。交于点P.连接CR<I>线&AEDB的数价关系为AE=BD:谪自接写出NAOQ=30:2将48CE绕点。旋转到如图2所示的位置，其他条件不变，探究线段AE与。8的数吊关系，并说明理由：求出此时NAPQ的度数：3在（2）的条件下求证；NAPC=NBPCD：ZACU-ZBCE.：.NACANDCE-NBCE+/DCE.：.ZACE=ZDCB,又YCA=CD,CE=CB.ACEDCB.AE=RD.：.ZCAE=ZCDB.Y/AMC=/DMP.二/AP/)=/ACo=30°.故答案为AE=皿).YT<2>解：如图2中,结论：EBI),ZAPD=30,./图2b理由：VZACD=ZBCE,：.ZCDZDCE=NBCE+NDCE,：.ZACE=NDC8,XVCA=CD.CE=CR.IAACaADCB.IAE=BD.：.ZCAE=ZCDB.,:ZAMP=ZDMC.：.ZAPU=ZACD=3（.（3）证明I如图27中,分别过C作C/1.4E垂足为",过点C作CG_1.ZM>,垂足为G.'ACEDCR.：.AE=RD.<Ssce=Sadcb（全等三角形的面枳相等），CH=CG.ZDPC-NEPC（向平分线的性质定理的逆定卉）,VZAPD=ZBPE.ZAPC=DPCZ.APD,NBPC=NEPe+N8PE,：./W=/RPC.10.阅读与理解：折纸,常常能为证明一个命遨提供思路和方法.例如,在4A8C中,Aff>AC(W),怎样证明NoH：,分析：把八C沿/八的角平分线AD蝴折，因为B>AC.所以点C落在AB上的点C处，即AC=AC,据以上操作，易证明AACO空AkACC,所以N八CD=NC,又因为NACO>NB,所以NO/8.感悟与应用：<1>如图(<>>在4A8C中，Z4Cff=90./8=30°,CO平分/AC8.试判断八C和A/人8C之间<2>如图(b),在四边形ABCC中，AC平分N84),AC=I6,AD=S,DC=ZJC=12.求证：8+O=l80°：求A8的长.解：BC-AC-AD.理由如卜：如图(«).在CB上截取CE=CA,连接。£HCD=CD,tCDfCD(SS).J.DE=DA,A=CEZ>=60",INCEr)=2/CBA,：ZCED=NCBA+/BDE.ZCHAZHDE.：.DE-HE.：.AD-BE.VHE=RC-CE=RC-AC,BC-AC=AD.(2如图（三）.在A8上限IKAM-AO.连接CMVAC平分/)A8/DAC=/MAC,VAC=AC.ADCAMC(SAS).ND=ZC.CD=CM=12.VCD=ZJC=12.CM=CB,：.NB=NCM8,.ZC+ZCM=l80,Z+ZD=I8ts设BN=a,过点C作CN1.AH于点M'：CR=CM=M.：.BN=MN=a、在Rt"CN中.CN1=BC1-UN2=121-a2.在Rl人CN中，GV2=AC2-N2=I62-<8+«)2则122J=16,(8+)2.据得:4=3,即8N-MN=3.则AB14.11 .如图甲，在等边三用形48C内有一点P.FInt=2,=3.PC=1.求N8PC的度数和等边三角形1李明同学作了如图乙的辅助线.将呼。统点8逆时针旋转60°,如图乙所示连接“1，可说明是点角三角形从而向Sfi得到解决.请你说明其中理由并完成问题解答.<2>如图内，在正方形ABcD内有一点凡且AP=芍，P=2.PC=1：类比第一小题的方法求/BPC的度数，井内接写出JE方形ABCD的面枳.解：(1)YZXABC是等边三角形.Z4BC=60",将PC绕点8逆时计量转60°,如图乙所示,连接W,：.AP'=CP=1.BP,=BP=炳,ZAP'B=NBPC由旋转得：ZPBP=ZABC=H1.r.：ZPP是等边三角形.J.PP'=PB=3BP'P=Mo,JAP'=1.AP=2,：.AP'2+PP,2=APi.'.ZAP'P=W.：.ZBpC=NAP'8W+60"=150过点8作8M,AP'.交AP'的延长线干点.,.ZMZ,'J=30.BM=-PB=-,22由勾股定理得：P'M=(3)2-(4)2425W-A+P,/1÷三.22由么J股定理符：4=A三2+BI2=2÷(2y-)2=7：(2将ZibPC绕点6逆时竹旋转90'两到AAEB,如图内，U<1>类似；Ur汨：AE=PC=,BE=BP=瓜4BPC=AEB.：.NBEP=4S，.由勾股定Fi;得：EP=2.VA1.AP5EP2.二八E2+PE2=八E.4EP=90',.8PC=N4E8=90°+45"=135".过点H作RhE.交,AE的延长线于点F：."./Rtt8F,l.il：句股支F:,AB=af2+BF222+l2=V5,.E方形八8。的面枳为5.答：N8QC的度数是135。，正方形A8。的面枳为5.12 .在?!/?C中，A8=AC.ZflAC=IlOc,以C4为边在/ACB的另IW作/ACM=/AC8,点。为射线8C上任意一点,在射线CM上被取CE=8。,连接A。、DE、AE.<I）如图1.当点。落在线段BC的延长线上时.NAI）E的废数为30'.<2>如图2,当点。落在级段8C（不含边界）上时，AC与。E交干点R请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立,请给出证明；如果不成立,请说明理由：<3>在（2）的条件下，若A8=12,求CF的最大伯.解：（1）如图I中.设A”交千点O.w图1.AB=AC,NbAC=I20”.Z=ZC=304.'：BA=CA,ZACE=ZACB=ZB.BD=CE,.ARDACE(S45).：.AD=AE.RD=ZCAE.二/ZME=NZMC=120'.Z4DE=ZAED=-(180“720")=30".故答案为3(厂.<2)(1)中的结论还成立.二/8=NACB=30',又YNACM=4C8,二/8=/4CM=30°,又YCE=BA4DACt(JMS)."O=AE,ZI=Z2.Z2+Z3=Zl+Z3=ZAC=l20o.UPDE=l2Ov，y.'：AD=AE.ZADE=ZAED=3O'.<3),.'B=C.B=2.C=l2.VZADE=NAC8=30"HZDF=ZCAD,二八DFSAAS.ADAF,而F.,.AD2=AF-AC,.AD2=2AF,.