模型29 圆内最大张角之米勒角问题（解析版）.docx

网内最大张角之米勒角问题模型介绍故事背景；米勒问题和米勒定理1471年,德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现圾长？即在什么部位，视角最大？最大视角问巡是数学史上100个著名的极值问物中第一个极值间网而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角问甥又称之为“米勒问巡”.米勒向A1.已知点A,B是/MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时,ZACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题米勒定理：已知点AB是/MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切F点C时，/ACB最大.证明：如图1,设C是边OM上不同于点C的任意一点，连结A,B,因为NACB是网外角，ZACB是圆周角，易证AC'B小于/ACB,故/ACB最大。M在DAO8=Z4C。+/。AC所以NAD8>Z4CO又因为/ACB=乙”用所以ACB>Z4CZ)米勒定理在解题中的应用常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破.思维瓶颈、大大减少运莫量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的道难题甚至筹英展，即使解出也费时化力。00三)例题精讲【例1】.平面直痢坐标系内，已知点A<1,O),B<5,0),C(0.r).当/>0时，若/4C8最大，则tC.5D.耨：如图作过A、8两点的OM1.jy轻川切于点C.'：ZCB<ZAPB,ZACB<ZACH.OM与釉和切广点C时，ZACfl.如图,作M/1.11连接OfA伍MZt；0M与）轴相切于点CZOCM=QO5,VA（1.0）.B（5.0）,1.=4.'：MH1.AB.AH=AB2,2O=l+2=3.fC=M=tf=3,KH=32-22=5'.0C=5t=5故选：C.圉”变式训练【变式1-1.如图，在正方形48CD中.边长为4.是CO的中点,点。是8C上一个动点，当NDPM的度数最大时，则BP=4-/.解：（VP.fD的外接BI,则圆心O在DM的中乖线上移动,；NDoM=2NDPM,：.当/DoM圾大时，ZDPMhi,当QO与BC相切时.ZZXJAfft大.,二”是CO的中点.CD=4.：.CM=DM=2.连接OR则OR1.SeVZC=90t.ON1.CD,二四边形OPCN是矩形,：.OP=NC=2+1=3=OM-在RtAJfON中，由勾IR定理得.av0JI2-MN2V32-l2'22即尸C=2,IBP=BC-PC=A-22-故答案为：4-3反.【变式1-2.如图，408=60：M,N是08上的点，0M=4,MN=H.<1）设。过点M、MC,D分别是MN同例的附上点和阀外点.求证：NMCN>NA1DN；2若尸是0人上的动点，求/MW的最大值.（1证明：当C在AfD上或在MCI时.如图.显然NMeN>NMDN（;角形的外向大F不相然的内角）,当C不在上或在MC上时，如图.设M。与上交于E点，连接NE,WJ/MEV=/MC（V（同弧上的Bil周角相等），而MEN>M）MMCN>Z.WJ,:<2).解：设过W,N作IMI尸与QI相切于点。,由<1)知：/AfQN即为所求角，作MV的乖直平分线分别交Q1.OBTG、H,则囤1心户在GH上，设FQ=FM=八'：A0B=t'.O"G=90°.：.ZOGH=W,FG=2r,wf=kf2-hh2=2-(3)2则G=2-3+2=3+43,解汨=23MlZf=-ZfW=30.MW的最火值为30°.【例2】.在直角坐标系中,给定两点M(1.4,N(-l.2).在K轴的正半轴匕求前P,使NMPN解：过点MMp：点的制的圆心在线段MV的中垂线：y=-x+3上./M/W为弦MN所对应的网周角.：.当矶的半径J小时有N.MPN呆大.；。在X轴上运动，二当Bfl与X轴相切时,IH的半径最小,即此时NA/W最大.设此时P点坐标为：(/，,0),则圆心Q的坐标为<p.-p+3),'：MQ-PQ.：.<I-p>2+</»1)2=(3-P)2.解得:P=I或P=-6<).点坐标为（I,o）.故答案为：（I.0）.A变式训练【变式2-1.如图，某雕塑MN位于河段“八上.游客P在步道上由点。出发沿”8方向行走.已知/AC8=30s.MN=IOM=Wm.当观般视角/MPN/大时，游客产行走的矩离。尸是，0_米.解：如图，取MN的中点F,过点尸作F£1.08于E,以口径MY作。E,：MN-IOM-AHm.F是MN的中点.：.MF=FN=X加.O-4()m.VZzIOB=30*.EFlOB,：.EF=20»,OK=43EF=2(3*nXEF=MF,又,；EF：.OR,：.OB是OU的切线.切点为£.当点P与点£ft台时.观景视角ZMPN段大.此时OP=2()3mk故答案为：2(3【变式2-2.如图，在矩形八8C。中，八8=6,八。=8,点£F分别是边CD,8C上的动点，RN八五E=90"<l）证明：>ABFs色FCE：<2）当取何值时.N/U7）最大.<1>证明；四边形ABCC是矩形.二8=C=90°，."E=9（）',.AF8+N2C=90'.7ZEFC+ZFEC-W.NFBrNFEGF<CE.<2取AE的中点O,连接OD.OF.：ZAFE=ZADE=90（对角互补），A,D、E、尸四点共B1.ZAED=ZAbD.二当0。与BC相切时,NAH）的值坡大,易知BF=CF=%ABFFCE,.AB=BF"FCEC,.6_4'4EC.EC哈3:.1）1.DC-Cl.6-4r，当OE=¥时,ZAED3330l实战演练I.在平面五角坐标系中，点A(0.2)、R<.rt+2>,C(>.0)(>0.&>0),若A8=4EAC8最大时，b的值为A.2+26B.-2+26C.2+42D.-2+42解：VB(.e+2)二点8在F=A2这条直线匕又AB=4&.A(0.2).：.B(,4.6).如图,',ABC的外接四与X轴相切时，ZACB有大值.取点G为A8中点.AG(2,4).过点G且垂II于八B的且畿为：=-a6.设KI心F(历，w+6).VFC=FB.<-w÷6>2=Im-4>2÷<-吁6-6)2解得加=2-2故选：B.2.如图，A，8衣示足球门边框（不考虑球门的高度的两个端点，点C衣示射门点，连接八C,RC，则NAC8就是射门角.在不考虑其它因案的情况下,一般射门角越大,射门进球的可能性就越大.球员甲带球线路1.D与球门A8垂直.。为垂足.点C在ED上,当NAC8最大时就是带球线路刈）I.的最佳射门角.若八8=4,8。=1.则当球员甲在此次带球中获得外佳的门角时。的长度为（）D.15A.2B.3C.5蝌：当408CS时,ZACfiAt.BDCD.二一,CDAD/.CD2=BZJMD=I×(1*4)=5.CD=5.故球员甲在此次带球中获得破佳射门角时DC的长度为而故选：C.3.已知点A、B的坐标分别是（0.1）、0,3）.点C为X轴正半轴上一动点,当NAa最大时点C的坐标是（V§,0）.解：过点儿。作OR点0P与X轴相切于点C时，ZACO¼k.连接内、PB、PC,作/W1.v轴于从如图，.点48的坐标分别是（0，I）、（0,3X.OA=1.AB=3-1=2,：PH工ABIAH=BH=M工。=2,1尸C1.r轴，二四边形Pa)H为矩形.：.PC=()H=2.¾=2.(RlPAH,t,.PH=PA2-AH2=22-I2如,，C点坐标为(6.0).故答案为3O).4.如图，在矩形A8C/）中,AB=4.A）=8.M是（7）的中点.点P是?C上一个动点,若/OPM的度数解：作APMD的外接同，则同心O在OM的中垂线I移动.；ZDOM-2Z.DPM.，当/。W最大时，ZDAWAi,当OoBC相切时，ZDOAf最大，YM是C。的中点，CD=4.二CW=/W=2.连接OP.WlOPlHC.VZC=W.ON1.CD.四边形OpCN是如形，OP=rC=2÷l=3=(W.任RIAHON中，由勾股定理得.ON=Voh2-MN2-32-i2,乐即尸C=/,.,.HP=BC-PC=Vi-22故答案为：8-22.5.某儿收游乐场的平面图如图所示，场所工作人员想在OO边上的点P处安装雅控装置，用来监控OC边上的八8段，为了让监控效果更佳，必须要求乙AP8最大，己知：NDoC=60：QA=400米，AB=200«米,问在。边上是否存在一点A使得NAP8最大？若存在，请求出此时"。的长和,NA08的度数：若不存在,请说明理由.耨：如图,当经过A,8的。丁与（儿）相切于P时./AP8的值坡大.作7"J,OC于，交OD于。,连接7,TB,OT.设W=7=7B=r.YT=TB,TI±B.：.AHHlil(X3(m)."：ZOHQ=W./0-60”.OH=O+AH=(400+1(X3)(zn>.工QH=Moh='4003+3>("，)，NOQH=30，：.TQ=2PT=2r.,"7w=AT2+AH2=2-(1OO3)22+2-(1003)24(X3÷5.整理汨：3r-(IMX3*2(X>>r>WXXXX)+24()()fX>3=O：.<-2<X3)(3r-(XX3-2>=().=2<X3<1O()O3-2(X>>(舍弁)，4T-2(X3>h.AT=2AH,：.Z47W=30s.AB=2An/=60",Z,-Z4B-30,.2AOPOQ-PQ8(X)+2(M3-MX)-(2(XH-2(X)3)(/«).6.某商场引进消毒机器人每天进行全场消毒工作,该机涔人采取精准直线喷射技术,实现准确、快速和节约的目标,在设置参数的时候,工作人员通过对商场门口身形高大的“大黄蜂”进行多次消毒试脸发现：如图，若对八点进行消毒，适当调整机器人C。到八8的距离，使得Sin()的值尽可能的大,能提裔消毒的效率.已知“大黄蜂”AB身高25米，机涔入CD高0.4米.则当sin(-)最大时，机渊人CD和“大黄i'Ali之间即为8C等于号米.如图，过点C作CF1.AE于点F.设8C=x米，根据现始得：CDlBE.B1BE，A8=2.5米，CO=0.4米,J.CDAR.SEsABAE,.CDCE,l,0.4CE"AB"BE'TTxCE+x'解得:CE=割米,.4=+ZC½F.ZCAF=<?-当Sin(-)圾大时.SinNCv.最大2.<sinZOF)2Ai,K-¾-Ai.AC22f1.RtA('l,.ACc.4Zr+(c-.r+-/X二25.44R(CDEtlbDE2=CD2+CE2="»'44125.4-CDCC=-D5C,22.'.C11rCEi=DE2CF2,4162.M-Cd2ce2怎HX-"DE2券K?展441+100X244125162.#441+KlOX2642AC22您400x4+4264x2+11025V0.tCF264AC2400x2+11°25÷4264X.%”AC2.40024+42M公小，即400.F-!啜G小,X，X,400x2、小唔;%()，即4(x3喈5J400211021.llYXXYX4(X)l-÷ll->.z400x2J，XYXJ','400x2r炜、等或Yl1.个工，H4o启喈县最小,即当sin(-Q最大时.机器人CD和“大黄蜂”AB之间距离RC哼米.故答案为：I1.米.27,已知八（2.O）.B（6.0）.C8，x轴干点Z1.连接八C画图操作：（I）在）轴正半轴上求作点R使得NAP8=/ACB（尺规作图，保用作图痕迹理解应用：（2在（D的条件下，若Uin/4P8=*求点。的坐标：当点P的坐标为（0.23）_时,NAPB最大拓展延伸：（3）若在直线y=x“上存在点R使得/4P/?坡大，求点尸的坐标.3解：（I）/APB如图所示:.ianAC8IanNA08=&2BCVA（2.O）.B（6.0）.Aff=4.C=8.：.C（6.8）.AC的中点K（4.4>,以K为圆心八K为半径iBfi圆.交）轴于P和P',易知P（0.2）.P'（0.6）.当。K与>相相切时，乙APB的依域大，此时AK=PK=4.AC=8-AC2-AB2-<3.：.C（6.43）.：.K（4,23）故若案为（O,23>.3如图3中,当经过A8的IMl与直线相切时，且点尸在K轴的上方时，/八。8减大./.ZMZMBP.'：APMA8fP.,.PMA<,BMP.HPNA,BMMP.,.mp2=mamr.,.fP=35作PK1OTK.NnMP-5"ON/PK,.0N=0K"p-"i.4.-PK欣一砺；.史塔"咯：.QK=-3.5558.问题提出（1）如图，在矩形A8C7）中，A8=2W.F为C。的中点，则AE8>/ACB（域“问题探究<2）如图，在IE方形八8C。中，。为C。边上的一个动点，当点P位于何处时，NAPBgX?并说明FPlh:何典解决<3>如图，在一幢大楼A/）上装有一块矩形广告牌.其侧面上、下边沿和距6米（即八8=6米）,下边沿到地面的距离J=ll.6米.如果小刚的眼隔距离地面的高位EF为1.6米，他从远处正时广告牌走近时,在户处看广告效果最好视角最大）,请你在图中找到点P的位置并计算此时小刚与大楼AO之间的距禹.如图I,过点E作EF1.AB于点F,;在矩形ABCV中,AB=2AD.E为CD中点,二四边形AZ½是正方形.Z4EF=45,.同理，N8EF=4S,.,.ZAE=90,.而在直角ZiABC中，ZAC=90u,Z4C<90,：./AER>ZACB.故答案为：>:<2）当点P位于（7）的中点时，/AP8及大，理由如下：假设P为CD的中点.如图2,作的外接阅0（）.则此时C/）切0。F点尸.图2在C。上取任求异于P点的点总连接AE4。交于点尸,连接HRRF.4F8是AEFH的外角，.,.ZA>ZAEti.：NAFB=NAPB,：.NAPB>NAEB.故点P位于CD的中点时，/AP8最大：（3）如图3,过点£作CE。广交A。于点G作线段A8的垂直平分雄，乖足为点Q,并在乖在平分线上取点。，使OA=CQ.“P图3r以点。为园心，OA长为半径作即，则。切CE于点G,连接OG,并延长交。尸于点H此时点P即为小阳所站的位置，山.型急知DP=OQ=Voa2-AQ21'：OA=CQ=Rl>QB-CD=Hr>AB-CD.8。=11.6米,八8=3米，CO=EF=I.6米,JQ=11.6+3-1.6=13米，w=132-32=4T0*即小刚1.jX搂八。之W的小需为4l米壮件,N效果公好.9.如图，在平面直角坐标系'6中，点八与点8的坐标分别是(1,0).<7,0).<I对于坐标平面内的一点P,给出如下定义：如果/“8=45"，那么称点P为线段AB的“完美点”.设A、从户三点所在网的网心为C则点C的坐标是(4.31,OC的半径是_W2_:F轴正半轴上是否有线段A8的“完关点”？如果有，求出“完美点”的坐标：如果没有，请说明理由:解；(I).点八与点8的坐标分别是(I.0).(7.0),：.OA=.OB=I.，48=6.过点C作CDIAR点Q.如图.WlAD=BD=AB=3.2.".OD=O+D=4.ZCfl=2ZMP=9Oi.VCDAB.CA=CR,CO=当8=3.2C(4.3).cixAD2CD2=32.0C的半径及3&.放答案为：(4,3)：32;F轴正半轴上有线段八8的“完美点”.理由：设。C交相干点。.E.连接CO.CE.过点C作CGJ_C。于点G，CE1.ABF点A如图,则ZAEB=ZADB=Z,B=454.：.D.E为y轴iE半轴上税段AR的“完美点-2-3则EGDG-DE,CD-CE-2.'：CG±I)E.CF±AB./0=90：.四边形OfrG为知形.CG=OF=4,OG=CF=3.在RlZsCGE中，VEG2=CE2CG2,二"Vce2-Cg2一匹gc-dg-2.：.OE=OG-GE=3-®OD=OG>DG=3+2.：.E<0.3-2).D<0,3÷2)."由正半轴上右线段AB的“完美点”,“充关点”的型M为，0.3E，或0.3-&)：<2）设OC与y轴负半轴切于点P.在.V轴负半轴上任取一点Q（与点不曳合.连接BQ.AQ.HQ与OC交于点D.连接AD.如图.则/AP8=A）8.'：ZADB>ZQB.：.ZPB>ZAQB.当P运动到OC与y轴相切时，NAP8的度数泉大.连接尸C并延氏交OC于点E,连接AE如图,；OP是0C的切战.".CP1.()P.，/0例+/八8£=90”.；尸£为OC的内径.Z¾f=904,ZPE+ZE=90j,：.ZOP=ZE,二NE=ZOBP.ZOPA-NOPB.'：AOP=Z.POB=WSPs>oPB,.OAOP*"0P=OB".op2=oob.0>=OAOB=T×7=7.,.p（0,-7）.故答案为（0.-7）.10.问即提出（I如图，ZXABC内接于0。，过点A作。的切线/.在/上任取一点/）,连接8。、CD.VAxtiAC与/BDC的大小关系为/BAC"BDC:问题探究<2>如图，在矩形八8C。中，B=6,Se=8,点E为A。边上点，当N8EC加大时,求COs8EC的值:问题解决<3>如图，某商场在都向下运行的手扶电梯8C的终点C的正上方将出悬挂那高RCE=4m的广告画.已知广告画的最低点。到地面AC的距漓为6.5，».该电梯的高AB为4,它所占水平地面的长AC为8,”.小明从点8出发,站在该电梯上现看广告而i其现看视处为NOPE.已知小明的眼肪户到脚底的距离PQ为l$n,电梯在轻HB方向上的下降速度为20c,ns,求当小明站在电梯上多长时间时，NoPE取得最大值.ZfttC-ZBEG：N8ECiiBDE的外角.：,NBEo乙BDC,：.7HAONBDC.当点"与点八电合时.ZBAC=ZRIX'./8ACNZBtXi故答案为：Z4CZDC:2作8C的星直平分线00交8C千点0,交AO于点A连接8儿CP.作4P8（.的外接网网网O与直线PQ交于另一点M如图.WlPB=PC,即心。在尸N上，；四边形A8C/）是矩形，二人。BGOP±AD.H0与4）柑切于点九：.PQ=AB=6,SQ弓8C=4,:PQ>BQ.ZPC<90'.二网心。在茏8C的上方，设EC与阿。交于点Af,连接MB.则/RPC=WBMCW/BEC.当点E与点P4令时.NBEC最大.连接08、EN,则NBoNK2NBEN=NBPC：OB=OP=6-OQ,BQ>+OQi=Off2.42+0e2=（6-OQ）2,.o=A,W.p=43，cos/8EC=COl'><180¢=即当NBECAi大时，cos乙BEC的侑>唱;（3）过点P作AC的平行线,交C£于点M,作E的外接或恻O.连接PO井位长与圆O交于另点M连接DM如图.根据(2)的结论得,WIo与PM相切时，/OPE最人.此时O,±PM.即NMPN=90°二/MPD+/Z)PN=90",；尸N是网。的宜径.zmv=9(),：.DNP+NDPN=Wt.NDNP=NMPD,'：NDNP=ZDEP.：.NMPD=ZDNP,；NPMD=NEMP,Apmdsemp,二OM：PM-PMtEA/.WDjWE/.'：MC=PQ=ISm,ZW=CD-fC=5w.EM=ED+DM=9，",PMDMEM5×935/»),：.QC=PM=#小(I.RtAC.根据勾股定理得BC=/5(m),IBQ=BC-CQ=Jm.VBC：4B=45:4=5.二小明站在电悌上，从点8到点Q时，沿骅IlA8方向下降的距圉为I”，,二下降时间为100：20=5（s'）,即小明站在电悌1.55时./MK取得城大值.I1.问遨背景< 1>如图（1ZXA8C内接于。过A作。的切线/.在/上任取一个不同于点八的点P,连接PB、PC比较/8PC与NiMe的大小，并说明理由.问题解决< 2>如图<2>,A（0,2）,B（0,4）,在X轴正半轴上是否存在一点儿使汨8$NAP8G小？若存在,求出P点坐标,若不存在，请说明理由.拓展应用< 3>如图（3）,在四边形AB（V）中，AB/CD.A。1.（'。于/）,E是A8上一点,AE=AD.P是DE右若A8=8,CD=Il.tanZC=2,SaDtT=9,求SinNAPB的以大位.符合条件的点尸附该是以八8%米丽在BB恰好。过JV匚I，AV垂仃.的巨线和切时的见3.（D问起首状:如图I,设直线8夕交CX）干点A'.连接CT,图I则a'b>zp.而/CA'B=CB.：.BPC<NBAC:（2问题解决：如图2,过点从A作0C。X轴相切于点化连接AePCHC.：X轴的坐标粕上的点除了点P外都花圆外，：ZAPB酸大，即cosZP最小，由点B、A的坐标，根据中点公式用，点C的纵坐标吗（244）=3,设点PCr,0>.则点CX,3）,:点儿B都是圆上的点,1.CB=CP.2+（4-3）2=32,解得；x=+22（舍去父伯，故点。的坐标为：0）；<3）拓展应用；过*B作BHCDF.'!?.H.过点A作AMDE点Af.延KAAf到点N使MN=AM.过点N作DE的平行线I.过点F作FGJJT点G,FG交DE于点Q,以A8为口.径作。尸交H战/F点<在梯形ABC7)中,AB=H.CD=W,HlCM=11-8=3.VtanC,-z2.解得：BH6ADAE.在等腰直用f)E'<.Sl)C=×AD×AE=H.2；MN=-AM.2,.s.>.,W£=9,;出线/ED=SlQ=9=5SDr,从面积看,点/符合点。的条件，即点尸可以和点尸'束合，VFGii,而直线/OE.AGF-1.DE.而AUJ=45.故AEFQ为等嚏林的三角形.BE=B-AE=S-6=2,IEF=BF-BE=A-22.则FQ=-EF=g.，FG=EQ+QGMN'QGwAM心=y×32'2=-<'二。尸与H战/有两个交点，则点P'符合趣设中点P的条件.；用5是直径，.N4P8=90,故SinNAP8的最大值为1.12.已知：NMBN=W°，点A在射线8A1上，点C在射线8N上，。在线段比I上，。是AACO的外接硼：<D若OO与BN的另一个交点为E,如图1,当BC=BD=1.D=2时，求CE的长：2如图2.当N8CA=N8JC时.判断8N与。”的位置关系,并说明理由:<3>如图3,在/W上作出C点，使得NAe。最大,并求当AC=2,AC=25BD时，OO的半径.VZ4EC+ZDC=180*.80C+/ADC=180",“BDC=NAEC,'：ZCBD=/ABE,:必ABESCBD.BEAB"BD3BC1；BC=最,AD=2.BD=I.2Aff=D+D=2+l=3.BE3-TT2AflE=2.1.CE=BE-BC=!2(28N是OO的切线,理由如卜：连接CO并延长交。F点F,连接DF,VAZCDF=W,：.NCFD+/FCD=W.；/BCA=NBDC,ZB=ZB.二ZBAC=NBCD.'：ZCA=ZCFD.：.NCFD=WBCD,-.ZFCfi=ZFCfHZfiCD=NFCD+NCFD=90,：.BC1.OC.：OC是半径.：.Be比00的切段,即BN是Oo的切线：<3）过点A.C,D;点作0O,%6C是。的切战时，NACQM大,连接Co并廷长交。于点G,则CDG=90',CG=90",：,/CGg/DCG=W.：BC是0。的切线.：.HC1.OC.8CO-90".：.NBCD+NDCGh.,./BCD=NCGD.'：CGD=ZCAD.：.NBCD=NBAC,YNB=NB.：3CDs2bac,.BCBA，而记：.BCi=BDBA,VAD=2.；.BA=BIHAD=BD+2,：.RCi=BD<aZH2>=BD22BD,VBC2+42=AC2.AC=23P.RC=Cl-RA2=<2311>2-<WK2)2=lRD2-4RD-4.AIlfiD2-ABD-4=Bl)2+2BD.SflD2-3BD-2=0.：.BD-(舍去)或HI).3D=l.-D+D=+2=3.C-23D23.8-90°；.AB1.BeCGAB.fMC=/人CG,/(7M=CAG=9<r.R4CACG浅=f二嘉若"C=?.即。的半径为2.13.【发现何麴】<1）如图，点八，8在NMoN的边OM上，过八，8两点的掰交ON于C。两点，点£在线段C。上（不与点C.D重合），点尸在射线ON上（不与点。电合）.试探究4E8HAF8之间的大小关系，并说明理由:【探丸问题】<2>如图，NAfoN=90,点A.8在射坡ON上.点P是射线OM匕一动点，八8=308=3,当NAPB最大时，请求出此时OP的长；【解决何时】<3如图，一足球球门变AB约为4米，一球员从矩A点5米的。点（点。，A.8均在一条直线上），沿与OM成一定角度的ON方向带球.试问.该球员能杳在射线"N上找到一点八使得点P为最佳射门点（即NAP8最大?若能找到,求出此时该球员跑过的路程长:若找不到,请说明理由.VZAHB=ZADB.AER>AHR.：.NAEB>ZADB.同理可得A）8>AF3.：.NEB>NAFB；（2如图，作线段八。的垂H平分戏.垂足为K在战段/18的垂直.平分线上取一点。以点F为圈心.T8长为半径作。丁，当Q7与射线OWMI切于点。时，/"8最大，叩N”8公大，连接7FBT.TGW是07.的切线.TPlOM.1.TKIAB.工NTKO=4KOIy=4OPT=*T,，四边形OKT之是矩形，IOPr=KT,V4-3OS=3.oO-I.KHK.2:.0K=TP=TB=?,2.-.OF-XT-VbT2-BK2=(y)2-(y)2-2.二当/AP8城大时，。夕的长为2：(3)能找到.如图,作经过点A.3且与射线"N相切的OC切点为R此时NAP8最大,连接PC并成长交OC于点D,连接“X由解图可知No=N尸84,ZAD=90tZD+Z4PD=90.；PC是0C的半径，ON与OC相切，；/)PD=W.Z()PA+ZAPD=W.AZD=ZOM=ZOfiP.VZO=ZO.,.POBOP.p2=oaob.Y8=4,l-5.：.OB=9、.w-0A0B=35答，此时该球员建过的路林长为道米.14.问SS探究< 1）如图1.C.。是/AO8的边。A上两点,直莲。8与0/相切于点R点乃是且线08上异于点/,的任意一点，诏在图I中画出/CPi/）.试判HfiCP）与/CPi/）的大小关系,并证明：< 2）如图2,已知矩形ABCD中，点Af在边申C上，点E在边AB上,=8,AE=6,当NAME搬大时，请求出此时BM的长；问题解决< 3>如图3,四边的八8CC是某车间的平面示意图.八8=4«米，AQ=8米，NA=/0=60",ZBCD=W.工作人员想在线段4。上选一点M安装监柱装S1.用来赛视边改.现只要使得N8M。最大,就可以让监捽装置的效果达到最佳.何在线段AQ上是否存在点使N8MC最大？若存在,请求出。M的长：若不存在，请说明理由.CDCD.二NCPD=ZCED.而NCM>/SC.：.NCPD>NCPM<2>如图：由（1）知,作线段AD的垂目平分线,垂足为G.在线段AE的垂直平分线上取点O,以“为网心,OA为半径作OO当OO与线段8C相切于Br.若M与"半合.此时NAAfE蜃大,；BC是Oo的切段.工OW1.BeOGlAE.：.ZRGO=/B=/OWH=90,二四边形次；8”足矩形.：.BM'=OG.OAf=HG.VW=8.E=6.：.BE=2.'；EG=3.：.Of=OE=RG=EG+BE=5,.6>g-oe2-eg2=4AW=OG=4.故,ZAE时大时.RM的氏为4：<3）存在,理由如下：当过8、C的。与AO相切FM时，连接8W、CM.JftUfZBMCAt,连接()8、OC.分别延长A凤X交于F,则AADF是等透：角形.8FC=60",F=DF=AD=843:BF=AF-Afi=W二在RtZsACF中，CF=23BC=f>.过O作OG1RC于G.交AF于K,交DJ-J,则BG=BC=3,IKJ1.BC：.ZBGJ=90=ZBCD,J.KJ/DF.IBX-FK-a2>3.KGic3：.AKfB+BK=(fJ.'：KJ/DF.二口=坐，,.KJ-63,.DFAF83837=(3.设OB=r.'：KJ/DF.,./MJO=ND=60“，.OM_2rsin603OG=K7-K-G-O7=63-3-三-=53在RlAOGB中.OGt-OB1-BCr=r-9.r-9=(53-三->2.能理得-M)r÷252=().溜得r30-1J23(H-1X2<5r>.-s2.<3fV.RW=由等边：角形的对称性可行dj-kf->43>：.DMJM+DJ-1(366+232366.故在我段AD上右在“，使N8MC最大,其个条件的DW的长为l25-6历.15.如图，1物城y=?得x+c与X轴交于八，8两点（点8在点A左侧），与3轴交于点。ftiy=fcr+经过点A.C.且“A=2OC=4.<1）求他物线的解析式:<2）点E为八C上方抛物线上一动点，过点£作£轴交AC于点八求战段EF的最大值:<3）在（2）的结论下，着点G是N轴上一点，当NCGF的度数域大R九求点G的坐标.：.A<4.0).C(0.2),符A(4.0).C<0.2>代入y=r2+r+c.卜=2I16a+6+c=0<2)将点4(4.0).C(0.2)代入y=M+b.Jb=24k+b=0Ir=-解汨2.b=2设£5-+2).则尸<八-r+2).fe->+2h-2-+2,=-(-2)2+2.当f=2时,E/:的最大值为2:(3)Vz=2.：.E(2.3),F<2,1),设G(x.O).作ACFG的外接10M,设圆M的半径为八当KlM与X轴相切时,ZCGAJ.此时M(x,r>.MC=MF=r,.,.X1+(.r2)2P,(2-)2+(1-r)?=£f!-410.如图，原点为M的摘物段.=v2+辰+3与X轴交于A(-1.0).8两点,与.丫轴交于点C过点。作Coy轴交抛物线于先一点。，作。EX轴