模型20 加权费马点模型（原卷版）.docx

加权费马点模型模型介绍对于费马点问题，火案已经见得比较多了，相信都能熟练解决，如果所求最像中三条线及的系数有不为1的情况，我们把这类问题购为加权费马点问超，费马点问蹈属于权为1的特殊情况.加权费马点问题解决方法类似，也是通过旋转进行线段转化，只不过要根据系数的情况选择不同的放转或放缩方法.【矣型一单系数奏】当只有一条线段带有不为1的系数时，相对较为荷单，一般有两种处理手段，一种是旋转特殊角度，一种是旋转放缩.【矣型二多系数臭】其实当三条级段的三个系数满足勾股数的关系时，都是符合加权费马点的条件的.经过费试，我们会发现，以不同的点为旋转中心，旋转不同的三用形得到的系数是不同的，对于给定的系数，我们该如何选取旋转中心呢？我们总结了以下方法：E31.将最小系数提到括号外：02.中同大小的系数定放附比例：03.最大系数项定於转中心（例如最大系数在PA前面，就以A为载樽中心），於臂系致不为1的两条微段所在的三角舱.01例题精讲¢111己知，如图在448C中，NAC8=30°.BC=5,C=6,在AA8C内部有一点。，连接。A、DB、DC,'D+D+2DC的最小值是.A变式训练【变式17.如图.P是边长为2的等边4ABC内的一点,求亨川+。小PC的最小值.B【变式1-2.己知：AC=4,BC=6,AC8=60°,P为AA8C内一点，求林+2AP+>C的般小伯.【变式1-3.如图，正方形AbC。的边长为4,点P是正方形内部一点，求阴+2P8+PC的最小值.实成演练I.已知4A8C中，BC=a,AB=C/8=30°,尸是4A8C内一点，求/M+P8+PC的最小伯.2y=V2x+l+2x2-(3-1)x+1+2x2+(3+1)x+1的最小假3 .已知：等腰RtZ1A8C中,NAai=W.ACBC=.D是AABC的费9点.(NADC=NBDC=NADB=120°).求A0+8O+C。的低.4 .如图，在AWC中,ZACB=(,AC=6,8C=4“，点P是八8C内的一点,则RI+P8+&PC的最小值是P5 .法国数学家费I提出：在4A8C内存在一点，,使它到三角形顶点的距禹之和最小.人们称这个点为费马点.此时Rl+P8+。的值为费力即禹.经研究发现：在锐角ZA8C中.微R点P满足,APB=NBPC=ZCP=l20a,如图，点P为锐用/MBC的费马点，fl¾=3.PC=4./八8C=60',则由马距离为.6 .已知：到三角形3个顶点跳离之和以小的点称为该三角形的费马点.如果八8C星琥角（或H角）三角形，则其费马点P是一角形内一点,且满足AP8=BPC=/CM=I20°.（例如：等边一:角形的费马点是其三条高的交点.若八8=AC=7.BC=23.P为AABC的责当点,则li+PB+PC=；TiAB=昭,BC=2,AC=4,P为AASC的费马点，则以+PB+PC=.7 .数学上称“费q点”是位于三角形内且到三角形三个顶点距阳之和最短的点.现定义：菱形对角线上一点到该对角线同他两条边卜.的两点距禹最小的点称为类费力点,例如：芟形A*?）.。是对角线4。：一点，E、尸足边8C和CO上的两点,若点P满足产£与/平之和双小，则称点P为类费马点.<1如图I,在菱形A8C。中，AB=4,点P是8。上的类费马点后为3。的中点，尸为CC的中戊，则PE+PF=.E为SC上一动点，F为CD上一动点，S.ZABC=Wa,JWPE+PF=.2如图2.在菱形A8C/）中.A8=4.连接AG点P是的费马点,（BJPA.PB.",之和最小）.当NABC=WT时，HP=.当NI8C=3O'时，你能找到八8C的费马点P吗？画图做简要说明，并求此时/M+P8+PC的值.8 .【问题情境】如图I,在AABC中，NA=I20",AB=AC,fiC=53则4A8C的外接IflI的半径伯为.【问题解决】如图2,点P为正方形八BCO内一点，Fl.ZAPC=90',若八8=4,求八P的最小假.问题解决如图3,正方形A8C。是一个边长为WEcm的隔离区域设计图，CE为大门，点£在边BC上,CE=Mcm,点P是正方形A8C/）内设立的一个活动词哨，到8、E的张角为120°,ItPZflPE=IZOo,点A、。为另两个固定岗哨.现需在隔离区域内部设置一个补水供给点0.使得。到八、/人0三个岗哨的即岗和以小，试求0UZKQP的戢小值（保身根号或结果精确到5,参考数据5m7,10,2=110.25）.9 .已知4A8C为等边.角形,边长为4.点。、斤分别是8C、AC边上一点，连接A。、BE，且AE=Cn< 1）如图1.若AE=2,求BK,的长度：< 2）如图2,点尸为八。延长战上一点，连接8ACF.D,/法相交于点G,连接CG.已知NEBF=60'.CE=CG,求证：BF+GE=2CFi< 3）如图3,点。是的（:内部一动点,顺次连接阴、PH.PC.请直接写出近出+P8+2PC的H、值.10.如图I,/）、E、F是等边三角形ABe中不共线三点，连接A/）、BE、CF.三条线段两两分别相交于/）、E、F.已知AF=80,ZEDF=60,.（I）证明：EF=DF;2如图2.点M足ED上一点，连接CW,以CM为边向右作ACMG,连接EG.若EG=EC+EM,CM=GM,NGMC=NGEG证明；CG=CW.3如图3,在.2的条件下.当点M与点/）柬合时，若C7）1.4Q.GD=4.请问在AAC内部是否存在点P使得。到八C。三个1贪点距离之和最小，若存在请直接写出距盲之和的最小也：若不存在，试说明理由.如图1.已知点。为等边AABC外接阀的8C卜任意一点.求证：PB+PC=P.定义：在八BC所在平面上存在一点R使它到三角形三顶点的距离之和呆小，则称点P为AABC的的马点，此时¾+P8+PC的值为八SC的货马距离.<2>知识迁移我们有如下探寻AABC（其中NA,NB,/C均小于120'）的费马点和费乌矩离的方法：如图2,在C的外部以8C为边长作等边ZSHCQ及其外接回，根据（I）的结论,易知线段_的长度即为的费7密商.在图3中,用不同于图2的方法作出4A8C的费f点P（要求尺规作图）.<3）知识应用判断题（正确的打J,错误的打X）：i.任意三痢形的费马点有且只有一个:ii任意三角形的费马点一定在三角形的内部.已却正方形A8CD2是正方形内部点，11M+>+PCft1JJS÷frt>62求正方形A8C。的边长.12.如图（I）,。为AABC所在平面上一点,I1.AP8=/BPC=/CM=120°,则点。叫做AABC的费<1）如点P为锐角八BC的费马点.HZAC=601.AM=3.PC=4,求P8的长.2如图（2）,在锐如USC外侧作等边ZkACb'连接88'.求证：88'过AWC的费马点P,且88'=PA+PC.<3）已知饯角448CAC8=60°,分别以三边为边向形外作等边:.角形A8。RCE.ACF,请找出ABC的费马点，井探究S"C与S"M的和，SaME马S"CF的和是否相等.（I）阅读证明如图1,在ZXABC所在平面上存在一点R使它到三角形三顶点的距离之和最小.则称戴P为AABC的费外点.此时M+PB+PC的值为AA8C的费丹距离.如图2.已知点P为等边aASC外接Hl的R上任意点.求证：PBPCPA.<2>知识迁移根据（1）的结论，我们有如下探寻（其中NA,ZB.NC均小于120”的费马点和由马距离的方法：弟步：如图3,在AABC的外郃以8C为边长作等边48CC及其外接用；-*"第二步：在BC上取点P».连接M.PqB.PoC.PoD.易知W+¾8+R>C=AM+（。而+C）=M+：第三步：根据（1）中定义，在图3中找出ZSABC的费马点以线段的尺度即为AABC的费为矩黑.<3）知识应用已知三村庄A,B.C构成了如图4所示的八8C（其中NA,NB,NC均小于120"，现选取一点P打水井，使水井P到三村IEA，B.C所铺设的输水管总长度破小.求输水管总长度的朵小值.如图，在平面直角坐标系MV中，点8的坐标为（0.2>,点）iX轴的正半轴上，ZPDff=30j,OE为XBOD的中线，过仄E两戊的抛物&y=a率X+C与X轴相交于A、F两点（八在F的左侧）.<>求抛物线的解析式:<2>等边AOWN的顶点A八N在线段Af卜.求AE及AAf的长：3点P为八80内的一个动点,设"产¾+P8+PO,请直接可出所的及小佰，以及，“取得最小值时,城段八P的长.（备用图）问即探究符几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换.旋转变换是几何变换的一种基本模型,经过施依，往往能使图形的几何性质明白显现.题设和结论中的元率由分散变为集中，相互之间的关系济是明了，从而将求解问题灵活转化.何甥提出：如图1.ZSABC是边长为1的等边三角形,。为ZSABC内部一点,连接用、P8、PC,求朋+产8+PC的最小值.却图2图3因4图5方法分析：通过转化，把中三处形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折纹（化星为折）.再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）.何甥解决：如图2,将48¾绕点8逆时针旋利60.至4304,连接PP'、AC.ii!'C与AB交于点D.易知SI=ZM=BC=1./48<?=/八月八+/48。=120.由8。=8凡08P=6O",可知ZJlP8P为正三角形，玄PB=PP.故PA+PB+PC=P'AW'P-C>AzCi因此，当八'、RC共线时，例+P3+PC有最小值是学以致用：（1如图3.iC'l,./8Ac=30°,AR=4,CA=3,P为AABC内郃一点，连接用、PB、PGiW附+P8+PC的段小（ft是.<2>如图4,在4/18C中，Zft4C=45,AB=22.CA=3,P为Aabc内部一点.连接力、PB、PC.求&PA中B+PC的最小值.（3如图5,P是边长为2的正方形八8C。内一点，。为边8C上一点,连接PA.PD.PQ,求+PD+PQ的般小值.16.在平面H角坐标系中，：次函数>=<M+E-8的图然与X轴交于4、B两点，与，轴交于点C,Hy=匕f|(JlWO)经过点A,与拊物城交于另一点凡QlOC=2O,OB=WA.<1>求他物线与出城的艇析式：<2>如图I,若点P是X轴下方抛物线匕一点,过点P作PH1.AR于点H.过点P作。X轴交拊物线于点Q.过点P作尸H'IX轴于点H',K为出线PZT上一点，HPK=243PQ.点/为第四象限内一点，且在直畿PQ上方，连接/P、IQ.IK,记/=号PHT/Q，m="+Q+K,当/取得以大值时，求出点P的坐标，并求出此时m的最小值.3如图2,将点A沿直AR方向平移13个长度单位到点M.过点，“作MN1.x轴，交拊物跳于点N,动点。为A轴上一点，连接MZXDN,再将AWCN沿口戏MC掰折为(点M、N、。、N'在.同平面内)，连接AMAN'、NN',当AAMV'为等腰：胸形时，请直接写出点。的坐标.图I图2