模型32 三角形中的四心问题（重心、外心、内心、垂心）（原卷版）.docx

大招三角形中的四心问题（亚心、外心、内心、重心）Bl.三角彩的五心三角形的五心定义外心：三角形三边的垂直半分线的交点为三角形的外心,外心到三个顶点的距国相等：内心：三班形三个角的角平分成的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等：重心：三角形三条中戏的交点为三角形的重心，重心为中战的二等分点：垂心：三角形三边上的雨或其延长线的交点为三角形的垂心；旁心：与三角形的边及我他两边的廷长线都相切的胧叫做二.角形的旁切网,旁切圆的圆心叫做：角形旁心：三痢形有二个旁心.02.三角形的心（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点.（2）强心的性质：武心到顶点的距离与正心到对边中点的距离之比为2：I.的心和三角形3个顶点组成的3个一:用形面枳相等.柬心到三角形3个顶点距离的和最小.（等边三角形）03.三角彩的外接与外心（1）外接Iflh经过三角形的三个原点的Bh叫做三角形的外接照.（2）外心：三角形外接IRI的10心是三角形三条边垂直平分战的交点，叫做三角形的外心.<3）概念说明：“接”是说明三角形的顶点在圆上，或齐羟过三角形的:个顶点.说角三角形的外心在三角形的内部：直角三角形的外心为直光三知形斜边的中点：饨角三角形的外心在三角形的外部找一个三角形的外心,就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点,三角形的外接网只有一个,而一个圆的内接三角形却有无数个.04.三角彩的内切与内心(1)内切圆的有关概念:与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切国,三角形的内切圆的I场心叫/-：知形的内心，这个三角形叫做1 刚的外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点.(2)任何一个三角形有且仅有一个内切网,而任一个I如都有无数个外切三角形.(3)三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距岗相等：三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.垂心：.角形:边上的高或其延长线的交点为角形的垂心.例题精讲才点一：三角形直心问题【例1】.如图,ZkAW的中线80、CE相交于点F,若四边形A“的面枳为6,则ACBF的面积为BA变式训练【变式ITl如图.在等腰出角三角形A8C中,NAC8=90。.ACBC.Co1.A8干点。，中线AK与【变式1-2.如图，在平面H角联标系中,点8(-2,3),点C在X轴负半轴，OB=Be或M为AOBC的Hi心，若将ZXO8C绕蓿点。旋转90',则旋转后三角形的戒心的坐标为.才晨二：三角形外心问题【例2】.如图.点。是ZkABC的外心，连接Ozt若NOZM=17",则NC的度数为A变式训练【变式2-1.己知A8C的三边«.b,。满足Ic-4+Zh-l=4b+l-30,WIC的外接阀半径的长为.【变式2-2.如图，ZiASC的外接照的圆心坐标为.考点三：三角形内心问题【例3】.如图，RtAABC中,ZC=90,4C=6.BC=8.则ZiABC的内切以半径r=A变式训媒【变式3-1.。是AA8C的内切圈，且NC=9(r,切点为。，E，F,11AF.BE的长是方程13K-30=0的两个根，则StABC的值为(>A.30B.15C.60D.13CxE3【变式3-2.如图所示，在斑形AHa)中，RD=U).ZiABO的内切国半径为2.切三边于石、F、G，则才点四：三角形左心问慝【例4】.如图，是饯角ZA8C的垂心(3条高的交点,若A4=8C则N8AC的度数是A变式训练【变式4-1.如图，ti-.ABC4).已知八5=5.CA=7,BC=6.”为垂心.则八，二【变式4-2.如图.在AABC中”为歪心.”为外心.ZZiAC=60,.且AABC外接网直径为10,则A”实战演练,ZABC=450,点。是Z½8C的外接现的圆心.则/AOB等于)C.130°D.140°D.632 .如图.八8C中.A8=8C=AC=3.。是它的内心,以。为中心,将448C旋转180°得到A'8'C3 .小颖同学在手工制作中,把一个边长为&7”的等边三角形般片贴到一个Ia形的纸片上,若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为()A.2y3cmB.43<v11C.frs/Sc/nD.S3cm4.如图所示，AA8C的内切圈。0与八8、8C、八C分别相切于点。、E、F,若NC"=52”,则NA的度数是()5.如图，四边形A8CC中，AB=AD.BC=DC,A=90°,C=60"?；AB=研.则A48C外心与A.57 .如图，已如RlAA8C的口角边AC=24,斜边A8=25,一个以点尸为圆心、半径为I的阴在八8C内部沿顿时针方向滚动.旦运动过程中02一直保持与AABC的边相切，当点?第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度是（）r112cvD.568 .如图，点G是AtBC的重心，且GC的面积为4,则AABC的面枳为9 .如图所示，ZiABC是。的内接三角形.A）,8CFQ点.且AC=5.DC=3.W=42则。”的虫径等于.10 .如图，点。是等腿RtZU8C的戒心，其中NAC8=90",将线段CC绕点C逆符针旋转90°得到践段CE.连结。£若八BC的周长为6及，则&?£的周长为11 .如图，。与AABC的边8C、AC、A8分别切于RF、三点，若0。的半径是1.ZC=60°,AB=5,则ABC的局长为.12 .如图，点P是AABC的呕心，过P作AH的平行线DE,分别交AC于点D、交BC于点Ez作。尸BC.交AB于点F,若448C'的面积为36,则四边形称：。尸的面枳为.13 .如图所示，。是448C的内心，/8。C=IO0',则/8AC=度.14 .一个直的三角形的两条边长是方程-7+I2=0的两个H3则此且用三角形外接圆的半径等于15 .如图，AA8C中，已如A8=8,BC=5,C=7.则它的内切圆的华径为.16 .如图.G为2XA8C的重心,点。在C8延长线上.且8O=8C过。、G的宜线交AC于点心17 .在半径为I的。中内接有锐角AWC是八8C的垂心,角平分线A1.垂克于。,则BC=1«.如图.。的半径为6ZA8C是。的内接等边三角形,符2XA8C折心，使点A落在。上.折服EF平行RC，则EF长为19.如图，在地形八中.八8=S,8C=12,G)Ol和002分别½ABC和八OC的内切13,则Olo2=20.如图，在AABC中，AC=3.80=4.若AC.8。边上的中线BE.八。垂直相交于0点.则.48=21.若aABC的外接圆半径为2,/是AABC垂心,则-HAB的外接网半径长毡.22 .如图.则一个边长为2的等边一：角形,让它沿直线/在桌面上向右滚动,当等边：.角形第9次落在点线/上时,等边三角形的内心运动过的路程长为第一次第二次23 .如图.O,，分别为4A8C的外心和垂心，。到8C边的矩离为2,H到BC边的跄尚为HE=3,则BC边上的鸟为.24 .如图，正ZiABC的面积是8，取正CABC的内心a，以。出为边长作正O8P再取正。出Pl的内心Q,以Q8为边长作正4O2BP"，依次规律作第2009个正2009BPN（用则AQowH巴OW的面积是.25 .加图.点一为&4。8的重心.点8在X轴的iE半轴上,函数y=区（QO）图较经过点A.P.且交A8X于点C，则点4P的纵坐标之比是.ACzBC的成为.26 .如图，已知说知ZA8C的外接圆半径等于2.8AC=60',()、，分别为AAHC的外心和垂心,连接OH与BC的延长的交于点P,则OHOP=27 .如图，AB=2.BC=I,CABC与/?/)为全等的Rl(NABC=NEBd=W),尸为直线A/?和百线CD的交点.求线段BF的取值范用为D28 .如图.在ZA8C中,AB=AC=IO.BC=I6,点。是AABC的鱼心,将线段Ao绕点A逆时钟旋转至。1,点。为线段CYP的中点,连接80,则8/)的最大值为.O'29 .如图，等边AABC的边长为47点O为八8C的三条中城的交点，点。，£分别为边/VhSC上的点，若NDC£=】20°,则/)«的最小值为3().如图，悦第三角形A8C内接于半径为RtflOO.H是三角形ABC的承心,AO的延长线与HC交干点M.若O_1.AO,flC=IO.O=6.则OAf的长=31.如图.半径为3的C)O分别与X轴,F轴交于A,。两点,QO卜两个动点从C.使NBAC=45'恒成立，设八8C的取心为G,则OG的最小值是>B32.加图,线段AC=7,半回/）的直径A8=4.点8在射线C8上运动.<1>当半81。恰好经过AC边的中点时，CB=:<2>当八8C的内心，外心与某一个顶点在同一条直线上时，UinC=33如图，在半径为6,圆心用为90的网形OAB的ABl:,有一个动点儿PHOA.垂足为H.OPH的空心为G.<1>当点尸在碰上运动时，线段G。、GP、GWl'.有无长健保持不变的线段？如枭有.请指出这样的线段，并求出相应的长度：<2）如果ZiPG”是出角三角形,试求“G：PG：HG的做:（3）如果"；，是等腰三角形,试求出线段。，的长.534.如图.A8为半圆的宜径,C是半圆弧上一点，正方形OEFG的一边DG在直径AB上，另一边)E过A8C的内切册网心0,且点K在半周弧上.若正方形的顶点尸也在半朋弧上，则半Rl的半径与正方形边长的比是:若正方形。EFG的面枳为100,且AWC的内切即半径r=4,则半即的内径加3=.35在平面HftJ坐标系中，：次函数y=F+fer+c的图象过点C(0,-4)和点。(2,-6)，与X轴交于点4、8(点A在点8的左边),且点。与点G关于坐标原点对称.(1)求该二次函数解析式，并判断点G展否在此函数的图象上，并说明理由；<2>若点尸为此抛物找上一点，它关于X轴，,v轴的对熟点分别为M，M问是否存在这样的P点使得M,N恰好都在宜畿。G上？如存在，求出点尸的坐标，如不存在，请说明理由：<3>若第四象取有一动点E满足BE=OB.过E作EFlX轴于点E设F坐标为(I,0>.0<f<4,的内心为/，连接CZ直接写出。的及小依.