模型43 几何中等分面积问题（解析版）.docx

线段分三角形面枳问起.El当三角形具有公共TM点，并且底边共线时，三角册面积比等于底边边长比.则BD_mCD='ii-例题精讲【例1】.如图，八8C三边的中城八。，BE.(T的公共点为G,fl,AG:GD=2tI.若SAAeC=12,则图解：；八BC的三条中线4。、BE.CF交于点G.AGtGD2:1.：.AE=CE,-SCGE=SAGf="5ACfS/KiI=SBGD=StiCfSmv,-S.ca+S.BGr=4.故答案为：4A变式训练【变式1-1.如图，在八BC中，点。、E、F分别是8C、AD.Cf1的中点，且Sabc=8c"J,则SeBW的面积是（）'SAKDSCD-SAHC-石是AO的中点，:.SABE=S.BDE-S.Bl>S.ECS(I)E-SAlX".F是EC的中点,1 SB"SHCT-SHCt:-VS4C=8<v112.'.SBCE=4<nr.:S'MF=2<W,故选：C.【变式1-2.如图,在宜角坐标系中,平行四边形"A8C的顶点坐标/H17.6),C(5.6).出线y=x+4恰好将平行四边形OARC的面枳分成相等的两部分，那么>=；平行四边形。C8A.：.BC/OA.DB-OD.IX：DA.ZMCD=ZDN./CA")=乙DNR.GWDtVD.何理48Mf)9AONZ),2 .过D的任意H我都能把平行四边形的面枳分成面积相笄的两部分.过。作DFlxttTF,过8作BElX轴于E.平行四边形OCBA.B(17,6),C(5.6).：.DO-IiD.Db/BK.1.OF=EF,：.DF=3,0F=-×17=8.5.2AD<8.5.3).代入>=!+钳：3=A×8.5-22【例2.如图，在平面直角坐标系AQY中，氏方形0A8C的顶点B的坐标为（6,4）,直或F=-X+Z恰好符长方形OAHC分成面积相等的两部分,那么b=5.解：找y=+b恰好将长方形0A8C分成面积相等的两部分QtS.y=-.（+£要经过矩形的中心；矩形的中心为（3.2，把点（3,2代入.y=-Mb,解得：b=5.“变式训练【变式27.如图，在菱形A8C。中，八8=6,N8=60,点在边八。上，HE=2.若百.线/经过点E,利该箜形的面积平分，并与菱形的另一边交于点立则线段FF的长为77_.解：如图，过点A和点E作AG1.6C£_1.BC干点G和，,对矩形AGHE,：.GH-AE-2.；在菱形八8C。中,B=6.Zfl=60,./.«（；-3.53-H.,.HC=BC-BG-GH=6-3-2=1.,：EF平分菱形面积，FF经过菱形对角线交点,：.FC=AE=2.：.I-H=FC-HC-2-1=1.在Rl中.根据勾JS定理.得“EH2+FH2=27+127故答案为：27.【变式2-2.如图.AC的面积为1E分别为A8、AC的中点,广、G是8C边上的三等分点.那么ADEF的面枳是多少？/*足的面枳是多少？V。是A8的中点，DM/AQ.，Af是BQ的中点，.Vf=yt.二三角形ABC的面枳是=yflC×AQ=l,：.BCXAQ=2.VD,E分别为A8、AC的中点，：.DE=-RC.2：.角形OF/的血枳为=%XM-××/JC×-×AQ=金:22224.CE=苧FG=孚.DE_3-,FG2工用形DOl.向m枳X=备【变式2-3.如图，在平面直角坐标系XQV中，多边形QA8(7»：的及点坐标分别是O<0.0),A<0,6),H(4.6).C(4.4).D(6.4).E(6.0).若宜城/经过点M(2,3),且将多边形。UJa)E分割成面枳相等的两部分，求史线/的函数表达式.解：如图，Ji长8C交X轴干点R连接08.AF.DF.CE.。1和CE相交于点MVO<0,0).<0,6>.B(4,6).C(4.4).D(6.4),E(6.0).二四边形OABF为矩形，四边形CoEF为矩形，；.点、M(2.3)是矩形OABF对用我的交点.即点M为矩形AH尸。的中心,二出线/把矩形AHFO分成面积相等的两部分又；点U5.2)是矩形C£M"的中心,二过点N(S,2)的自.战把理形CDEF分成面枳相等的两部分.二ftMN即为所求的百.找1.,设直线/的解析式为y=k+4WJ2+ft=3.5kO=2,瀚得女二一.b-容.33因此所求直线，的函数表达式是：=-*y.实战演练1.如图.长方形八8C/)的面积为36eJ.£,3G分别为A8.BC.CO的中点.，为AD上任一点.则图中阳影部分的面积为()SII=SABCl>-S小EH-SaHFC-S匕HgD.24cm2=36-4E4M-FC->CG.222=36-)ME-FCtft.22=i11r.故选；A.2 .已知梯形A8C。的四个顶点的坐标分别为A(-1.0),B<5,0),C(2,2),D<0,2).11践y=k+2将梯形分成面枳相等的两部分，则的值为()a4b4c4d4解：；梯形ABC7)的四个顶点的坐标分别为4(-1.0).B(5.0).C<2,2),D<0,2，二梯形的面枳为；(号)2,=g；直线y=tt+2将梯形分成面积相笠的两部分.二直线F=Jtr+2与AD、43围成的二:角形的面积为4.设IIi线与X轴交于点（X,（）.-l<x+!)X2-4.2.x=3,二出线.=(t+2与X轴的交点为(3.0).0=3+2解得人=-3 .如图，在八BC中，ZflC=90,.D½iC5.跖是中线，（T是角平分线，“交八。于点G,交BE于点.八8E的面积=ZiBCE的面积：AF=FB；NTG=2NAb以上说法正确的是（）解：；£是4C的中点,C.D.寥.,.AE=EC,zM8E的面枳一Cffji枳.故符合即选：若AF=FB，则产是AB的中点，；CF是/AC8的平分线.：.BC-AC与BOACf.¼.故不符合题意；"：ZBAC=W,ZG+ZCD=90a,'：AD1BC.ZCAD+ZACB=90,二ZAAG=ZACD.VCF平分NAC8.NAcD=2NADF,：.ZFAG=2ZACF.故符合题意;故选：A.4 .如图.6.ABC.已知点。、从尸分别为SC、A。、CE的中点,若阴影部分的面积为4.W1ZA8C的面积为16.:SAKk-SH<>.S(f-.SAIX.22S.AKE+SCE-5.AW.5-w=-5ABc.点F是CE的中点，."S'f.fSIKt:-.S.'l-151,1,4×416.故答案为：16.5 .如图.已知在平面直向坐标系中,平行四边形A8C/)顶点A(0.0>.C(10.4),直线y=r-2-l将平行四边形ABCD分成面积相等的两部分，求。的值.解：连接AeBD.AC与80相交于点M,过点M作MR1.X轴于点£过点C作“1.r轴于点M二AF=10,CF=4,（2分：四边形八8。为平行四边形，：.AM=CM,即典=,AC2.,WE±xJ,C=1.轴，Z.WE4=ZCM=90o,Af,C.：.ZAME=ZACF,ZAEM=ZAFC.二八M£凡二整=黑=5，即E为八F的中点，ACAF2；.ME为AAFC的中位线，（4分.,A=-=5,ME=4-CF=2.22：.M（5.2）,（6分）,/直践=泌-27将平行四边形ABCD分成面枳相等的两部分,：总统y=«A-2«-I经过点A%（8分将M5,2）代入,v=-Zj-I很hn=1.9分）6.如图.在平面直角坐标系中四边形八8CO是正方形点8的坐标为（4.4）直线y="“2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分，则/»=2.解：；直线y=三-2恰好把正方形AHCO的面枳分成相等的两部分二出城必经过正方形的中心；点8的坐标为(4.4>二中心为(2,2>.代入直融中得:2=2m-2.m=27.已知平面上四点A(O,O),B(10,0).C<14.6),D<4,6),若总钱产皿-31.l将四边形A8CC分成面积相等的两部分，则/»的值为1.解：；点A(0.0).B(1().0).C(14.6).I)(4.6).,四边形ABCD为平行四边形.Vfty=mx-3m-四边形ABCD分成面积相等的两部分.工出战y=mx-3m-I过矩形的对角线的交点.而平行四边形的对角线的交点坐标为<7,3),/.7n-3m-1=3,.*.w=I.故答案为：1.8.在4A8C中.BC=5.AC=12,Afl=13.在AB、AC上分别取点。、E.使线段。E符ZkABC分成而积相等的两部分,则这样线段的最小值是-23-解：'：BCz+ACl=AB1.,A8C为瓦用三角形.过。作AC干匕设/»二4则W二瑞.12.Ar=V,OVSWE=-tA=ASC=15.22.»£=段.*毁-W.XX5.,.DE2=Dl->KF2=X2+(-yr)2=-144=(-y->2+l2l2.X故可得Of2又小值是12.)E果小值为的.故答案为：23k9 .如图，在宜角坐标系中，矩形CMBC的顶点8的坐标为(15,6),口戏y=3i+b恰好将矩形CM8C分成面枳相等的两部分，那么b=_/_.解，小8的坐标(15.6),得到矩形中心的坐标为(7.5.3).ITA恰打仔中杉OABC分成向枳出1:分,将<7.5.3)代入直然y=%+:得:W3-X7.5+/».3耨得：b=.故答案为：y10 .如图,ZkAfiC.AD是中践,廷长4D到E,fi!DE=AD,。/是ADCE的中畿.已知AASC的面积为2,求：Z(7)户的面积.解：苑2XA8C的中线.S4C"=±S-W=W"X2=1.22.CO是AACE的中线.：.S&CDE=SSCD=I.,：DFSCDfi的中线，.SC*=sC"E=4XI=4.222.C。/=的面供吗.11 .正方形A8C。的边长为4.将此正方形置于平面比用坐标系中,使A8边落在X轴的正半轴上,且A点的坐标是（1,0）.<1>直线Y=务3经过点C,且与X轴交千点E,求四边形AEC。的面枳；（2>若直我/经过点£,且将正方形八8C。分成面枳相等的两部分，求曲线/的斛折式：<3>若直规A经过点F<-,0）,且与IW=3*平行，将（2八|咱馆沿帘,釉向上平吗个单位交轴X于点M.交直规A于点N,交AW尸的面积.耨得：X5.则8的坐标是（5.（»：令y=0.畤导。，解得:x=2,则石的坐标是(2.0).则()B-5.OE=2.BE-OH-OA-S-2-3.：.AE=AB-BE=4-3=1,、u<>=-(AE÷CD)MD=-i(4+1)X4=10；<2）处过点EH将正方形ABCD分成面积相等的两部分,则Il线与CD的交点F,必有CF=AE=则尸的坐标是<4,4>.设出线的解析式是y=*+b则4k+b=4l2k+b='m：（k=2.lb=-4则立战/的解析式是：.v=2l4:<3）Y直线人经过点八-.0）且与直线）行.设也战八的解析式是W=心+8MJ：*5.代入得：0=3×(->+b,2淞得：己却将S）中攸/沿<ir轴向IT畤个中小3则所得的,的裤析大足v=2-3y=-19野丫=()时,X=,3.M<-.0).y=3x+耨方程组,句:y=2x-3WJ：.V(-,-19),5,vm1x1.（-2）×.19=./J/J1.N答：F的面积是瑞.12.如图，直线y=2x+4与X轴、轴分别交于A、8两点，把AOA8绕点。顺时针旋转90'得到AOCC.<1>求经过4、B、D三点的她物税的解析式：2在所求的她物线上是否存在一点R使直线CP把（>（力分成面积相等的两部分？如果存在，求出点"的坐标:如果不存在.请说明理由.解：（1）在>=2+4中,分别令>=0和A=O来税到：A（-2.0）,B（0.4）.。点是因为旋转.OD=OB.所以.。点（4.0）：C点也是因为版转.OA=OC.HrW.C点<0,2>；设经过48、。的地物线解析式为y=0v2+hr÷c.则有：4<-2>+c=0.<=4，16«+奶+<=0®<3分）解融a=-b=.¢=4.附物线的解析式为：y=-2+4（4分）<2若存在点满足条件，则直线CP必经过。的中点E（2.0）：（5分）易知经过C、E的直级为>=-+2.（6分）干是可设点。的坐标为P<»/.-wt+2>1将P（tn,m+2）代入y=-+4徨：-11+n+4=-jn+2(7分)将理.得：nf-4m-4=0.解得：m1=2+22-m2=2-22=fW;.：e,j<.(j'1':2-22.-22).p2(2-22.22)y-'13.已知菱形。A8C在坐标系中的位置如图所示，。是坐标原点，点C（1,2）,点八在X轴上.点M（0,<2>将出线F=-X-1向上平移.得到直线y=Jlr+.当宜城y=区+h与线段OC有公共点时,结合图象，自接后出6的取信范困.当出线y=kx+b将四边形。川5C分成面枳相等的两部分时，求k.b.I?：（I）由己知，O=OC=22+12=5,连接AC、A"*图I所示.四边形CM8C是菱形.，POPM=PM*P,即0c+w:oh2oa2722+(5)2:3.<2).>=k+/，为=-x-I平移得来的,：.k=-1.结合函数图象可知，当点O在直线)=-+b上时，b用小，此时6=0；当点C在直线y=-x+Z>上时,b(ft被大，Y点C(l2).2=-l+>.解得：b=3.故0W6W3.连接C.OB.设AC与OB的交点为D,当口找y=x+h过点D时,宜然y=-x+b将四边形OABC分成面积相等的两部分，如图3所示.voa-oc-5；.点A(50).；四边形OAbC为菱形，C<l,2)，a<50),.点CJ坐,i).2VfifJ<y=-X+过点0.=-±V,.解得；b=-.22."l线>=2/，仔网“杉Ql"1的两部分时，k=-I,力=驾£<1）求他物般的解析式：<2）过点C作C0X轴，交拊物设于。，是否存在口设y=H+l将四边形AC08分成面积相等的两部分，若存在，请求人的也：若不存在，请说明理由：<3>若互线A=M<-3<n<0>与线段AC、BC分别交于。、E两点,则在X轴上是否存在点八使得DPE为等腰直用:JfI形.若存在,请求。点的坐标：若不存在.请说明理田.解：(1).)=<u2+版-3过(2.-3).A(-1.0).(4a+2b-3=-3'la-b-3=0斜得=l.b=-2.所以怩物线的解析式为：F=F-2x-3:<2)设点线y=fcr+l与X轴交于点品于CO交于点F,A<.-I.O).B(3.0).E<,0)»F<1-3)：kkS11-,*W-(CF+E)OC-(I-);.Sh.£H)H-(DF>BEXX!-(5+):即<1-)=(5T),k=.（3）存在点0.直线y=m与y轴交点为Y0.当。£为腰时.分别过4E作。尸X轴于P1.作即2一小轴于P2:如图.则力店和。上e均为等腰门仰三角形.又DP=DE=EI=OF=-m.乂A8=mm二3+1=4.又於EcnsdBCA.y=¾三,43即In=-:Pi(-2.,0),PI(?，0)；777当QE为底时.过分作g_1.Q£于G如图.小碍，0）.3SiJm=三:Py(1,0)乂DG=GE=GP'=OF=-m,由AECDsZiBCA.15.如图.在RtAABC中，C=90',A=5OAC=30.矩形/XTG的顶点G与AABC的丁更点C羽合.边G。、GF分别与AC,BC更合.Gr）=I2.GF=I6,矩形。KFG沿射线C8的方向以每秒4个项位长的速度匀速运动,点Q从点B出发沿BA方向以每杪5个单位长的速度匀速运动,过点Q作射线QKlAB.交折战8C-CA于点,矩形。EFG、点。同时出发,当点。到达点八时停止运动，淬影DEFG也随之停止运动.设地形DEFG、恿Q运动的时间是t秒3>0）.<1>求找段。尸的长：<2>求运动过程中，矩形DEFGR«AfiC垂羽部分的面积S与，的函数关系式（写出自变员的取侑范邮：<3>射线QK能否把矩形。EFG分成面积相等的两部分?若能,求出，的：若不能,说明埋由：4连接。从当。八8时，请直接写出r值.解：（1）如图I：连接。匕在Rt»中.CQ=I2.CA=16.根据知股定理：d-i22+16220:(2)；在RlZkABC中.ZC=90'.AB=5Q.AC=30.8C=<ab2-ac2=40.根据题t得：当，毁IO时，停止运动:5如图2：当点E在AH上时.VZC=OOe.NEFG=1X)'.".EFC.".BEFBC.：.EF：AC=BF:BC,.,.l2s30=BFt40.,.BF=I6,二CG=BC-BF-G尸=40-16-16=8.此时,r=8÷4=2:如图3：当F与8市合时，CG=BC-BG=AO-16=24,此时，f=24÷4=6,.7anA8C=莫=g.IanZG8。=黑=g.BC4BG4,此时，点。在宜践AB上：当0V/W2时，s=Sv,MG=12×16=192.如图4：当2<运6时.设矩形DEFG的边“,交BC子点边DE交ABF点NVfiF=24-4/Uinfl-=-404.,WF-(24-4f)=18-3z.4：.EM=EF-EW=12-<l8-3f)=3z-6.4：.NEWEM4Z-8.3.,.s=St,>nEfG-5.EW,v192-导MEN=192-6(2>2.如图5：当6<,O时.设CG与A8交于点f.HG=4()-4，o则MG工8(；二3()-3/.4则S=SKWGJAC”"；一X(40-4/)(3()-3。=6(IOT)2：22<3>能，如图6：当QK经过矩形O&G的对称中心O时,就可以把矩形DEFG分成面积相等的两部分:；GRtG91)Rt(li'.IanZ（三）I=4tan/8组.GF164BC4NGFD=NB,：.DF/AB.OFHF"QB"BH'V)=20,O-10.VW-244/./"=0F一拳QB5t.：.BU=BF+FI1.2425102F募及髀褥：，=峥41<4>如图7：过点/)作MN1AB于M交.BC干W.VZGW÷Z=90o,NGMfH/GDM=W,NGDM=/8.<MG7)ianZGD.W=4×129.4dm=dG2KM2i5V«；=40-4r.-8G+G=4O-4-9-49-4/.O'-BcosZ=-(494”,D.J,V-DMY'494/)-15.Q/1.岂qb=3X5r-/.444a：DH/AB.QH-DN.解得，喏.41故r仙熄亭.4116.已知孙足方程？6r+5=0的两个实数根，Hm<n.如图，若抛物线/：y=-/+W+<的图象经过点A(m.O),R(0.).<1>求他物线的解析式:<2>tt（I）中的抛物线与轴的另一个交点为C岫物线的顶点为。，求C,”的坐标和48CQ的面积:<3）已知户是城段8上一点，过点P作HUX轴，交抛物城于点,若直线SC把（?分成面枳相等的两部分,求尸点的坐标.Vw<rnm=l,#=5,-l+b+c=0c=5.A(1.O),B(0.5).K1.A(1.0).B(0.5)代入>,=6"得:Mb=-4,I¢=5拊物戌的解析式y=-A2-4x+5;过DftDElxfE.；.SBCO=Sa>S，.OBDi:-Sosc=-×3×9+×2-×5×5=15=（3>设0）,则（G-4+5）,由于身线8C把/»（?分成面枳相等的两部分.2须Il只须BC等分线段PH,亦即PH的中点（a,尚÷5）,：门依wc上4；易群J线BC的解析式为y=x+5.-a2-4a+5c2-=a+5.解得“=-I,G=-5（不合题竟，含去）.二P点坐标为（-I.0）.17.【数学经验】三用形的中线能将V角形分成面积相等的两部分.【经验发展】面积比和线段比的岷系：如果两个三角形的高相同，期它们的面积比等于对应底边的比.如图1.2XA8C的边八8上有一点M,道证明：7-=.bBCMBM【结论应用】加图2,<?以,的面积为I.=1.票=,求"（?的面机AC4CB3【拓展延伸】如图3.ZA8C的边A8卜仃点M.。为C，上任意一点,请利用上述结论.证明：苦乂匕bBDC=幽B卜【迁移应用】如图%ZA8C中,M是A8的三等分点（AM=A8）.N是8（?的中点，若AABC的面积是I,请宜接写出四边形Bl）N的面枳一喉图】图2图3图4解：【脸发展】如图1.过C作C_1.A8于,图1.ch=-AM×CH.S'm/CH.22.SaacbsBCI菖*=迎.BM×CHBM【结论应用】如图2,连接AE.A8C的血积12.【拓屣延伸】如图3,.M是A8上任就一点,.sAACHAM.1;*一一'=.SZkBCJIBMVD½GW上任意-点，.eCD.,t.t.CDVC.S1(7)×.S.ACfS.BCI)KrX、HC'hCM>1CDvc.ACDCM八ACrS"Ci)axsbcm3bcm图3B【迂移应用】如图4.连镂84图4VM足AB的：.等分点（AM=A8）.sACDAM_J_SabcdBJl2；NJiBC的中点,.sO）_CN.IIsABDBN&S,M=<b则SiaoM=，.u>=30,S-CoS=S：.BnN=看S；.BCD=3«，：S»11»MV=5w.SyABC=2<t>-SH-ZMMAV=-Sc-×I=-.121212故答案为：2118.已知她物线N=-X2+bx+c的图象般过点A<H.O）,B<0.n>.其中，”、”是方程W-6+5=0的两个实效根，am<n.<1>求描物戏的解析式：<2>设（D中的拗物戊与X粕的另一个交点为C,槌物规的顶点为C,求C、。点的坐标和48CC的面积：3是线段OCI.一点,过点。作P”,X轴,交抛物线于点从若直线8C把改H分成面积相等的解：<)解方程/-6t+5=0,褥Xl=5,X2=l.Ihm<n.如，n=I.n=5.A(I.O).B(0.5).(-l-H>+c=0"lc=5l(b三4:lc=5所求能物级的解析式为y=-r-4x+5.(2)-4a+5=0.yXI=-5.A2=l,故。的坐标为(-5.0).山顶点坐标公式.得。(-2.9：过D作DE1.r轴FE.得E(2,0>.：.sHCD=Sa>iisEKoBD£SOBC=3X9÷-X2蒋X5X5=15.注：延长。8交X箱于F,由S.>=S.m>-SSae也可求得)<3)设P(4,0).则S,-2-4«+5)：直线RC把尸CH分成而枳相等的两部分,须“只需BC等分线段PH.亦即PH的中点.<a,易得直投BC方程为：,y=x:.-a2-4a+5=a+5解之得SG=-5(含去),故所求点坐标为-1.0).19【背景知识】研究平面H角坐标系，我们可以发现一条我要的规律：若平面直角坐标系上有两个不同的点A(XV")、B(XB.简单应用】如图1.H段八8与y釉交于点八<0,3>.与X轴交于点8(4,0),过原点。的自找Z.将A8O分成面枳相等的两部分，请求出口观1.的解析式;探究升级】小明发现“若四边形一条对角线平分四边形的面积，则这系对角线必经过外条对知规的中点”如图2,在四边形A8CC中，对角战AC8Q相交于点。，Saam=SM、".试说明Ao=CO；【综合运用】如图3,在平面直角坐标系中A(!.4),8(3,-2),C(2m.-wr÷5),若。C恰好平分四边形OAC8的面积，求点C的坐标.解：【简单应用】：.Uis1.将4ASO分成面枳相等的两部分,门戏1.必过戏段A8的中点.设线段AB的中点为£VA(0.3).U(4.0).j2期22：.E(2.).2；直线/.过原点，二设直线1.的解析式为=".,.32A.2：.k=.4二宜我/.的解析人为,v=x:【探究升级】:如图2,过点A作AFlfiDT-F,过点C作CGlBD于G，：.Sf>>A.SED=%。，。；.22YS；ABD=S/.BCfhAh4BDC(i.22：.AF=CG,Zaof=ZCOGfH6>'fiCOG'l'.NAFo=NeGo=90°.AF=CGOfCOG(AS),.OA=OC,【综合运用品如图3,Ih【探冗升级】知.若四边彩条对角线平分四边形的面机则这条对角线必坦过另一条对角线的中点.,：OC恰好平分四边形OACB的面积.OC过四边形OACB的对角线人8的中点.连接A&设线段A8的中点为”,VA(I.4).B(3.-2),：.H<2,1>,设直线OC的解析式为y=Jfx,2jf=l.1.2二六线。的解析式为F-WX.；点C<2m-m+5在直线OC1.