北航09-10高数第2学期期末试卷及参考答案.docx
北京航空航天大学2009-2010学年第二学期期末考试统一用答题册考试课程高等数学2院菜学号姓名.20/0年6月29日一.填空题(每小题4分，共20分)1.设的数Z=ZfXJ)由方程2+Z2-4×+2Z-5=0所确定则该函数在点(5,2,2)处的梯IT4T度事"2,2)=-,*yJ(巧103)092,设一平面薄片所占的区域D由抛物线为与直线兀=2所圉成，其面密度为=y则72该薄片的质fim=y.(1$103)7Y4.3.微分方程2yy-=A-e*满足初始条件yv-o=I的特解为y=(+10设ZX为由点0(0,0)到点A(l,1)的圆弧(X1)2+),=1则J(2+2xy)(ix+(x2+y4)dy=-1.155.设函数/(x)=x2(0<x<I),j(x)=bnsinmix,fen=2j'/(x)sinnnxJj/;=!5.设稳定流动的不可压缩的流体的速度场V=(兀,yZ),球面E:才+才+z2二4,则单位口寸间内流体从E内流向为外的流虽为32兀.二.单项选择题(每小题4分，共20分)1 .设函数/他M连续，且在点P(oy2处存在二阶偏导数，则/氏m在点P(Xa”)处一人（八）几人不一定连续：(B)f；-定连续：(C)沿任何方向的方向导数都存在：(D)小2 .设的数.f(兀(I)连续，!Jjjdsn67(rcos,rsin)dr=D（八）J;&广，C(x,yHy;(B)J：dxj：*(x.y)dy；(C)J;/(X.)dx：(D)J:dyif(x,y)dx.3 .已知级数)知条件收敛，记v”=I+知.WM=IWlW5=1,2,),则B.n=（八）工匕和工叫都收敛：(B)工乙和工叫都发散：/?=1/?=!?z=ln=l688(C)D和工W”必有一个收敛；(D)D和工叫的收敛性不能礴定.n=o=lO=IO=I4 .设y：,y：是线性非齐次微分方程y"+(x)y'-qy=/G)的两个不同的解，y：,y；是对应齐次方程的两个线性无关的解，则+年人¥+刀)，=/"，的通解为_15_(q心为任意常数).（八）y=+C2(y：y：)+(y：+y：);(B)y=+02(力一必)+*0:+歹：)：(C)y=cj+C2(y：y：)y：;(D)y=c+q(y2y)yi5.下列融数中发散的是_C-（八）£(B)tin(cos±)：(c)£#)-2;(D)£(-1)"nArn幺/幺偏+(_1)”幺H2三.(10分)"=/(JyY),其中/具有二阶连续侑导数，求艮氏冀.dxdy(Ixdy解釜=2兀斤+)泸乃，¥=.2卅十心dyW-I并+2(兀-y2r的+Xye心理2+(I+cbufy四(10分)求平面-+T-=i和柱面F+y2=i的交线上与必八标面距离展短的点.解设所求点为*O,y,z),该点至吹0),面的距离d=t于是设拉格朗日函数(X.y.z)=z?+久(字+彳+；-1)+/(x2+1-1.x=2=O如=彳+2/=0423s解方程组C得x=：，.y=5,Z=SA_=2z=05512+2+=l345x2+>2=1根据问题的实际意义，枭短距禺一定存在，故人上2匕)为所求的点.5512五.设E:A-+）2+z2=-（a>0）,x,y,z）=<=x+-v'+z2izVv÷,求曲面枳分jj（x2+y2+z2）S.0,若7斓+、解记锥面z=J+y2上面的球面部分为乙下面的球面部分工2.由躯设Uf(,y,9z)dS=0.I=/（x,z）<S=（x2+/+z2=（27支）弋其小口：F”y2s幺1.1,JJ/:二/二、dr六.（¾'场汆赞级薮£处2”的收敛区间与襁f,z求级数££的和.=lml3A.-n-÷44-f（4i1,解IimI-=Iimt=-,介*血（兀）当Fvl时,级数绝对收敛，0j=IIrJ乙九一及M乂,'欣Z%X何伙MUAIuJ力1.1,1J.三lH=I£苏=死2TT=处（一）制（£a）智（Ry"nIZII-IZ"=|NlI=I211.X_X2x_xz=（1-X2）-（匚Ey,所以和函数5(X)=.XG(-M)1占3”-计-译3七.UO分)求微分方程-y=祗?在原点与y二兀相切的特解.解由题设，初始条件为歹(0)二0.r(0)二1对应齐次方程的通解Y=CQ+，2。由于久=I是单根故设特解形式为产x3”心代入原方程解得Q=1.b=1.所以)产-y二4康呵通解y二Ce+C2e'i+(x2-x)et.代人初始条件'C=,C2=-b故所求特解为y=d-eJ4-(2-XW八.(10分)计算jj,rzy<fc+xydlx+cdxdy,M27为上半椭球而二+«=1二xC仅如c>O,z>O)的FffliJ.解补平Z=0.4+ZY,取上侧，设Q为和乙所围的立体，«kr则由高斯公式JJxzdydz+xydzdx+c2dxdy=JJxzdydz+xydzdx+crdxdy-jjxzdydz+xydzdx+cdxdy=-JJJd+-jjxzdydz+xydzdx+c2dxdy而Jjxzdydz+xydzdx+c2dxdy=兀abc2.jjj(z+.vjJV=jjjzJV+O<2<22=£zj,jdxdy=兀abz(三)d二=naljjjxzdydz+xydzdx+c2clxdy=-*rabc2tabc2=彳nabc2.
