2025优化设计一轮课时规范练30 破解“双变量问题”的基本策略.docx
课时规范练30破解“双变量问题”的基本策略1.(2O24四川广安商三模拟)已知函数员X)=%2-r+lnx(1)若函数/U)单调递增.求实数n的取值范困.(2)若函数/U)存在两个极值点.VUV2(<2),求实数”的取值范围；当2典求加M>)的最小值.2.(2023四川宜宾高三模拟)已知函数/(x)=r+l-xln.v的图象在X=I处的切线与直线X-Y=O平行.(I)求函数Kr)的单调区间：若VMJ2=0.+8),且内>4时/0次。)>，”(*-X求实数»1的取值范围.3.(2024山东力马模拟)设函数.*)=q+Zu2nx(aR).若且函数/)在定义域上是施函数,求a的取值范围;(2)若Z)=Ijl«r)有两个极值点irn(.v证明：«q)<i2-1.4.(2024江苏无锡第三期中)设函数/(.v)=A-0A+(-l)lnx.a>I.曲线产比目在点(2加2)处的切线与工轴平行,求实数”的值;(2)时论函数凡。的单调性：证明:若<5,则对任意XitA2e(.+8)n,有">'>-l.5.(2024沏曲师大酹中模拟)已知函数八x)=e"r+1.若“=2,求函数/W的极值；若=lgx)=x-2呜,且满足KM=g("XnMO),求证:”2e".6.(2024江西南吕高三期末)已知函数/U)=x-ln.r-2.求KV)的最小值；若方程/U)=有两个不相等的实数根X3(.曰<4),证明:M+2n>3课时规范练30破解“双变量问题”的基本策略1.解(I)函数的定义域为(0.+8),/(x)=.r-+;=T*1,依题意知八a)=.。+：0恒成立,即Wx+/X),又x+?2,当且仅当X=I时取得最小值2,故实数的取值一围为(g,2.(2)由逆意2-v+1=O在(0,+CC)内有两个不相等的实数根，=(-)2-4>0,需满足4+*2=a>0,解得。>2,.：实数a的取值范围为(2,+oo).x1x2=1>0,：v+.v2=ux2=l,.:+X2=aHXl)U2)=g(-X分-(x-.c)+ln-lnAH(靖-,nx2令后=栏4可(r)=#/-；).Inr.g'(r)=g当=4q=2时或XlMm取得最小值向2山2.2 .解(Iy(X)=lnx,所以KX)的图象在4191)处的切缓斜率为】由切线与直线xy=0平行,可得-1=1,即。=2,因此J(x)=2x+1-Aln.f(.v)=I-Inx,由/(x)>0,可得0<x<e,八幻<0,可得x>e,则Kr)在(0,e)内单调递增,在(e,+s)内单调施减.因为XI>2,若VXlRe(O,+8),由凡M,即有y?XI)-，"*习3)-诏恒成立.设,g(x)MX)切IR所以触)=风力，加在(0.+8)内为增函数.即有sU)=l-n-2m0对X)恒成立，可得2,m斗竺在(0,+8)内恒成立.令加A)=手,则力。)=臂,令状X)=O,可得.t=e2,所以力(X)在血内单调递减,在¢2,+9)内单细递漕,即饵$在X=/处比得极小值,且为取小值春可得2"W9,解得mW-a.则实数，”的取值范围是(-8,-击1.3 .解当a=b时/三+好=丝等.因为危)在定义域上是漕函数,所以-2t+20恒成立.故系.因为言=1<七=1.当且仅当.r=I时,等号成立,所以(言)l三=l.因为“N系,所以故”的取值范围是I,+8).(2)证明当b=时氏r)=*+x2Inx(x)=e岁.因为fix)两个极值点XIu2.所以方程.r-Zv+=0在(0.+8)内有两个实根,由于g(.v)=rf>0但=a>0.2t+a图象的对称轴是x=l.故只需;、n解得O<a<l,此时g=a-1<0,所以3-4-4a>&(矶2)=a>0.(0.1)q(1.2),且嘘-2t2+a=().故n=20域,从而fl,X2)-X2+1=-+z-21n2-.v2+l=&-2In*2心】令(.v)=.r-2ln.v-1(I<<2),M'J力'(."=y<0.所以(x)在(1.2)内单调递或从而(x)<(l)=O.故4口)<0,所以fiiX2)<X2-.Z.+Qi)_i)Nxl)4 .解八X)=X/+?.所以了可在点(2/2)处的切线斜率为k=f(2)=2y+券=0,解得«=3.解危)的定义域(O.+)tf()=V-U+-=若=l.即=2.则/V)=哼-.故/Cr)在(O.+oc)内单调递消；若-l<1,而a>故l<<2,R'J当E(,1)时If(X)<0.当XW(O,-1)及)时/(x)>0.故Ar)在(al1)内单语递减,在(0.。1)和(I.+8)内单通递增：若>l,即>2,同理可得Ar)在(l,-l)内单调递减,在(M)和(-l,+8)内单调递增.(3)证明欲证小止及里>/成立,即证明止止如口幺=四但1.g当l),设函数×l'×2*1*2(.v)J.v)+.r=r-v+(-1)lnx+x,则gVr)=A+?+122JX.?-a+1=1-(-l-1尸.由于IVaV5,故g'(x)>O,即g()在(0,+R)内单调递增,从而当x>x2>0时,有g(x)-g(2)>0,即人加)贡工)+XIR>0,故"M"g>-I成立.x'x25 .解当a=2时U)=-2+1,则八x)=e、2,当<ln2时/(x)<0,当>ln2时/(.r)>0,所以Al)在(mln2)内单调递减,在(In2,+与内单调递增,所以危)在X=In2处取得极小值为川n2)=3-21n2,无极大值.(2)证明当=l时(x)=c*-x+l.依题意可将CM-m+1=-21畛显然>0.先证明l-ln0.令"x)=l-x+ln>0),则/")="+=尊所以当O<c<l时/(X)X)"目单调递增,所以3<"l)=0,当*2】时,P)W(M(X)单调递减,所以33f(l)=0,所以+呜W°又依题意m-cm=I-j+21n=-ln1彳+此)+ln=Ineln三.÷r(*)=xe,则Zf(X)=IC,所以当x>()时"()v4x)在0.+8)内单调速成所以memn2-e,nt.也即G)W%(h,当“22时,利用版公在0.+8)内单调递减可知m曰吟当0<w<2时.也有znO>lnp所以加21吟则e"'去炼上可得112e'".6 .解由题意/(K)=1+=学所以F()X)=x>lr)v=()v<l,从而危)在(0,1)内单调递减,在a,+©内单调,噌Jcmy)=-证明由可将0<M<I<4因为Xl和2是方程HK)="的实根,所以您。!v,In一:两式作差得X14InXl+In.3=0.故.t-.n-ln-=0.(1)设r专,则0<f<l,fix=tt2,代入可得r.n-.n-ln/=0,所以.n=署,故Xl=m=詈,所以要证r+2；>3.只需证型+驷>3.即证”胆>3.也印让In，<华.tltl¢-1C+2设夕=Inr蟹.0<r<l,则叭沱-+卷*=黑¥>°，所以6/)在(0,1>内单调递增，又因为a=0,所以做。<0恒成立,从而In，笔<0.故In，<斐?所以m+2i>3成立.
