《基本不等式》教案.docx

基本不等式教学设计教材：人教版中学数学必修5第三章一、教学目标1 .通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想：2 .进步提炼、完善其本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基木不等式的相识，提高逻辑推理论证实力：3 .结合课本的探究图形，引导学生进步探究基本不等式的几何说明，强化数形结合的思想：4 .借助例1尝试用其本不等式解决简洁的增值问题，通过例2与其变式引导学生领悟运用基本不等式向“空的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的实力，体会方法与策略.以上教学目标结合了教学实际，将学问与实力、过程与方法、情感看法价值观的三维目标融入各个教学环节.二、教学重点和难点内<a+bK点,应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探究不等式"T的证明过程；难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式.三、教学过程：1 .动手操作，几何引入如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是依据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现/以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不行分的.探究一：在这张“弦图”中能找出些相等关系和不等关系吗？在正方形48CD中有4个全等的直角三处形.设直角三角形两条直角边长为40，则正方形的边长为"于是，4个直角三角形的面积之和Sl.，正方形的面积S?=/+从.由图可知乡$,即3产加探究二；先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形(两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折春).假设两个正方形的面积分别为。和b(Nb),考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发觉一个不等式吗？加4a+b通过学生动手操作，探究发觉：22 .代数证明，得出结论依据上述两个几何背景，初步形成不等式结论：若aMJ,则/+从2曲.若如尤，则匹吟学生探讨等号取到状况，老师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论:KVa+b(1)若aMR.,则/.乂工9；(2)若aMR.,则“请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明.证法一（作差法>:炉户之2而，“初”时取等号.（在该过程中，可发觉久的取值可以是全体实数）证法二（分析法）：由FaMR.,是要证明毕而只要证明a+b.汨，即证Ja+-2afc>0f。力>而即（而我汽0,该式明显成立，所以亍一,当4=时取等号.得出结论，展示课题内容基本不等式:nrWal11若久”*,则s°'F（当且仅当时，等号成立）若.MR,则空油（当且仅当。“时，等号成立）深化相识:ab称而为db的几何平均数：称丁为4。的算术平均数基本不等式展吟乂可叙述为:两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数3 .几何证明，相见益彰探究三：如图，是圆O的食径，点C是上一点，AC-a,BCb.过点C作垂直于8的弦。£,连接皿BD.依据射影定理可得：CD三r3c=sGb由于RtAeD中直角边CD斜边。D,于是有疑竽当且仅当点。与圆心。重合时，即力时等号成立.故而再次证明:Kvab当40,b0时，、'-T"（当且仅当ab时，等号成立）（进一步加强数形结合的意识，提升思维的敏捷性）4 .应用举例，巩固提高例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2） 一段长为36米的籥笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）对于XJ六，（1）若P=P（定值），则当且仅当时，X+J有最小值2万;若hS（定值），则当且仅当时，P有最大值4.（激励学生白己探究推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还熬炼了他们的思维，培育了勇于探究的精神.）例2.求yT.°）的值域.变式1.若x>2,求X-2的最小值.在运用基木不等式解题的基础上，利用几何画板展示J'“3"°）的函数图象，使学生再次感受数形结合的数学思想.KVa+b并通过例2与其变式引导学生领悟运用基本不等式S的三个限制条件（-正二定三相等）在解决最值问题中的作用，提升解决问题的实力，体会方法与策略.练一练（自主练习）：2811 .已知>0j>0,且；一,求g的最小值.2 .设X-R,且求3、3,的最小值.5 .归纳小结，反思提高基本不等式：若aMR,则空池（当且仅当时，等号成立）若"V,则展£竽（当且仅当b时，等号成立）（1）基本不等式的几何说明（数形结合思想）；（2）运用基本不等式解决简洁最值问题的基本方法.媒体展示，渗透思想，X若将算术平均数记为I=T，几何平均数记为Z2后利用电脑3D技术，在空间坐标系中向学生展示基本不等式的几何背景：平面Z1.平在曲面S历的上方6 .布置作业，课后延拓（1）基本作业：课本P100习题1组1、2题（2）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何说明,整理并相互沟通.（3）探究作业:现有台天平，两臂长不相等，其余均精确，有人说要用它称物体的弱量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次所称重量的和的一半就是物体的真实重量.这种说法对吗？并说明你的结论.基本不等式教学设计说明一、内容和内容解析木节课是人教版中学数学必修5中第三章第4节的内容。主要是二元均值不等式。它是在系统地学习了不等关系和不等式性质，驾驭了不等式性质的基础上绽开的，作为重要的基木不等式之一，为后续的学习更定基础。要进一步解不等式的性质与运用，探讨最值问题，此时基本不等式是必不行缺的。基本不等式在学问体系中起了承上启下的作用，同时在生活与生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教化的优良素材，所以基本不等式应重点探讨。教学中留意用新课程理念处理教材,学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、仿照和练习，而且要自主探究、动手实践、合作沟通、阅读自学，师生互动，老师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参加、揭示木质、经验过程。就学问的应用价值上来看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等在各种不等式的探讨中均有着广泛的应用；另外，在解决函数最值问题中，基本不等式也起着重要的作用。就内容的人文价值上来看，基本不等式的探究与推导须要学生视察、分析、归纳,有助于培育学生创新思维和探究精神，是培育学生数形结合意识和提高数学实力的良好载体。二、教学目标和目标解析教学目标：了解基本不等式的几何背景，能在老师的引导下探究基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何说明，并能解决简洁的最值问题：借助于信息技术强化数形结合的思想方法。在老师的逐步引导下，能从较为熟识的几何图形中抽象出基木不等式，实现对基本不等式几何背景的初步了解。学生已经学习r不等式的基木性质，可以运用作差法给出基木不等式的证明，同时，介绍并渗透分析法证明的思想方法，从而完成基本不等式的代数证明。进一步通过探究几何图形，给出基木不等式的几何说明，加强学生数形结合的意识。通过应用问题的解决，明确解决应用题的一股过程。这是一个过程性目标。借助例1,引导学生尝试用基本不等式解决简洁的最值问题，体会和与积的相互转化，进一步通过例2,引导学生领悟运用基本不等式'2的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，并用几何画板展示函数图形，进一步深化数形结合的思想。结合变式训练完善对基本不等式结构的理解，提升解淡问题的实力，体会方法与策略。三、教学问题诊断在认知上，学生已经驾驭了不等式的基本性质，并能够依据不等式的性质进行数、式的大小比较，也具备了肯定的平面几何的基本学问。但是，倘如老师不加以引导,学生并不能自觉地通过已有的学问、记忆去发展和构建几何图形中的相等或不等关系，这就须要老师逐步地引导，并选用合理的手段去激活学生的思维，增加数形结合的思想意识。另外，尽可能引领学生充分理解两个基本不等式等号成立的条件，为利用基本不等式解决简洁的最值问题做好铺垫。在用基本不等式解决最值时，学生往往简洁忽K<a+b视基本不等式UT运用的前提条件同时又要留意区分基本不等式小/2技的运用条件为。兄，因此，在教学过程中，借助例题落实学生领悟基本不等式成立的三个限制条件（正二定三相等）在解决最值问题中的作用。而对于“一正二定三相等”的进一步强化和应用，将放于下一个课时的内容。四、教学支持条件分析为了能很好地展示几何图形，体会基本不等式的几何背景，教学中须要有详细的图形来帮助学生理解基本不等式的生成，感受数形结合的数学思想，所以，借助于几何画板软件来加强几何直观非常必要，同时演示动画帮助学生验证基木不等式等号取到的状况，并用电脑3D技术展示基木不等式的又一几何背景，加深对基本不等式的理解，增加教学效果。五、教学设计流程图教学过程的设计从实际的问题情境动身，以基本不等式的几何背景为着手点，以探究活动为主线，探求基木不等式的结构形式，并进一步给出几何说明，深化对基本不等式的理解。通过典型例题的讲解，明确利用基本不等式解决简洁最值问题的应用价值。数形结合的思想贯穿于整个教学过程，并时刻体现在教学活动之中。六、教法和期效果分析本节课通过6个教学环节，强调过程教学，在老师的引导下，启动视察、分析、感知、归纳、探究等思维活动，从各个层面相识基本不等式，并理解其几何背景。课堂教学以学生为主体，基木不等式为主线，在学生原有的认知基木上，充分展示基本不等式这学问的发生、发展与再创建的过程。同时，以多媒体课件、几何画板、电脑3D技术作为教学协助于段，给予学生直观感受，便于视察，从而把一个生疏的、内在的学问，变成一个可认知的、可沟通的对象，提高了课堂效率。通过这节课的学习，引领学生多角度、多方位地相识基本不等式，并了解它的几何意义充分渗透数形结合的思想：能在老师的引导下，主动探究并J'解基木不等式的证明过程，强化证明的各类方法；会用基本不等式解决简洁的最大（小）值问题并笛意等号取到的条件。在教学过程中始终围绕教学目标进行评价，师生互动，在教学过程的不同环节中与时获得教学反馈信息，以学生为主体，与时调整教学措施，完成教学目标，从而达到较为志向的教学效果。