还原Word_隐形圆.docx

旋转问题A8C统点A旋转得到ADEtIi的轨迹就是以A为国心AC长为半杼的CE.1.一副三角板ABC和DEF中,“=4。=90。,48=30°/于EF垂合，CD与AB相交于点G（如IS"此A寸线段CG的长后边EF与AB相交于点H,连接DH.在旋转（0。到60。的过程中，/、CJE,'B长为半，一J，-；/为圆心，.E=45。,BC=EF=17,格它们叁合在一起，边BC!.现将ADEF绕点C（F）顺时针旋转（如图2）.线段DH扫过的面根是一Gg变404闻I图，于点I不难求得CG线段DH扫过的面枳-需要破迹C（F）c./Kg-<e>JlGlVGIIBC孑定线段DH的起始和终止位置,即确定点D和点H的运动轨JV>%4=<nc<n锄晶南蛾后）=zJ）lAhE，位JS点D的轨迹就是以C为圆心,圆心角为，60。的DD1点1.的讥迹就梃）60。的K1.FE与AB交点H1即为点H混?止点Nk输就4线段HHE即线段DH起始位置是DH1终止位置是DH这里需要证明一下D1在BA延长线上，即证明.CH'E+FH'D'=80oBP三r定弦定角：一条定边所对的角是定角,则这个角的顶点机，如图,43C中.AB长度为定值"C=a,.为定角.；，田麻这种模型为定弦定角模乱以AB为底边构造顶角为2的等膜三角形，顶点为0,J8C点血迹就是以0为圆心，OA为半径版弧)广AC-Cird48j先j)*工:为考题通常以30。,4S。,60。,90。,170。来考，核心关梃就是画等醴三角形%<9。；二系;此点C在优弧J(不与A,B(I)在矩形ABCD的内部画出使ZAPE=30邳所有点P生优弧，目在矩OA为半径(2)在矩形ABCD的内部画出使1.APE=6(T的所有点P以怏为底,构造顶角为2。，即|20。的等腰三角形，顶点即为圆心O,P在优罪，且在矩形内部，所以圆域AB出,少为vM为所/不包括Pl和PW1.在矩形ABCD的内部画出使NAPB=45的所有点PD即90。的等膛三角形，顶点即为Ia心O.p在优期,且在矩形内部，所以Ia心P2C2当NC-90时.点C在。上运动（不与A.B年合IBC=4.NP=W：定弦定角P在以BC为直径的。O上什PBC时.h最大.面积最大SPBC=NCb=4你以为出成人每次都这么仁慈吗”有的时候直角很翻海,照藏很深.有的时候定边也会s藏起来，真是防不胜防。接下来瞪大双眼，来找边找角,定弦定角3.如图,正方形ABCD的边长为4cm.动点E.F分别从A,C同时出发，以相同的速度分AB,D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG,垂足为点G1连接小值为?冬点B5很容易知道BGF=90,定角有了，所对的边BF很明显不是定边,又不会了因为E.I：速度相同.即AE=CE二流对角线BD中点（连接AC证全等）N点.定角NBGO=90。.定边OB定弦定角3在以OB为宜芸的因Ut引心为OBE点M。减。M半径即为AG最小值BG)M单注二BD=ZAVt=AN2+NA42=vT+I=VTCAG最小值=T-sqrt<2)4.如图.在矩形ABCD中.AB=4.BC=3.E.F分别为B.CD边的中点.动点P从时出发沿晶金点A运同时，动点Q从点F出发沿PC向点C运动，连接PQ,过点B作BH，PQ于点II,连接Q的速度的乙倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段PQ长度的最大值为多少少？母小值为5若点?的速度:A卜交PQ于O,证明0是一个定点，并不会殖P,Q位Si的变化而变化，利用相似，连接5.如图.已知AABC内接于半径为I的O.NBAC=0（U是说角）.则AABC面积AxosO(+cos)B.cos(1+sin)CsinO(KsinO)D.sinO(+cs)=-AOBA力形时角互补很好证的最小值为一.1.ACE+-0E=|80"玄定角模型.xZPABXPZPAB+/.PAC=60kCP+ZRAC)=120o1.如图.AABC为等边三角形.AB=2.若P为AABC内T点目谓足NPAB=/ACP.则线段PBZ.APC+；/AoC=|80-购A(X'12”所以以AC为底边构造顶龟为120。的等腰三角形，因为P在劣弧上，所以画心O位于AC左OH,-4PC即为祈求，OA为半径接下来又是个简单的点圆最值问题了连接OB与圆O交点即为点P的等霰中.三边之比为I-1-3:04=春三竿J)AB="AB=3俨0"g丽=竽PB最小值：=0£-0P=竽练习1 .三ABC中.若AB=6.NACB=45。.则AABC面积的最大值为一2 .在AABC中,若AB=4.ZC=60NA>NB,则Be的取值范围是大力五大角一个右中角大灯对三Z也大，A>NB,那么NA所对的边大于NB所对的边)3.己知正方形ABCD的边长为2.E.F分别是BC.CD上的动点,且满足BE=CF1连胤AElBE的最小值为P点则PC4.如凰等边AABC边长为2.E.F分别是BC.CA上两个动点,且BE=CF:连接AE.BR交点为R点则CP的最5.如图.点D是等边AABC内一点且NBDC=I2（）。.则祟的最小值为_没有给边长，说明最小值与等边边长无关，设等边AABC边长为a、Q3j'=120定弦定角源E.连接BE1.'2÷J3=6OrZ=Z2Z»宅同树对圆周角相等）.Z2=Z4ABlEEB嚼=鬻瑞喑（徼最小，即牌BE最大）BE是弦，最大弦是亘径，当BE是百径的时候,BE能大国*A,BCE=90百径所对圆周角）TE£=#EOCt=60。（同弧所对圆周角是圆心角的一半）ADAR.nn0内=SinOO=">RDBE7Oy6在AABC中，Z=60o,BC=3.则AB+tAC的最大值7.（广州压轴）正方形ABCD中.E是边AD上一动点（不与点A,D无合.边BC关于BE对称的线段为BF,连接AF（自己先做）若NABE=I5。,求证:AABF为等边三角形延长FA.交射线BE于点G问ABGF能否为等腰A?能求此时/ABE的度数；不能，说明理由.三AB=3+6,求ABGF面枳最大值,并.求此时AE的长对称性.得NCGB=/FGBBC=BA=BFSBGOSBGF所以就是在求BGC面积最大值关键就是确定点G轨迹P.ABl-9D-2又.8C=l+1«定弦定角隐形圆圆心的解是正方形对角线交点NBoCKO定角定高：ABC中,AD一BC,垂足为D,目AD为定值/BAC为定值,该模型称为定角定高慎型,又称探照灯模型”.A常用来求NBC而7如围AD=hBACIvC为定值).求AABC面积最小值rXBACBlBD值.ABC面积取得最小值.网接下来用一个具体的例题来蛉证BC=2BE=2OBsinZl=2rein6()0=V3rV().-()E=().V()BcosZl=rtr=AD=4二吟%(当OA+()E=AD时.即圆心。在AD上.。又在BC垂直平分线上斯以AD就是BC垂直平分线.AB=AC.此时BC取得最小值)BC地小值=qrtl?r=、行s=B3AABc面积般小端BCADT作AEFQ外接圆.圆心为）.连接OE令半径为r（VZFEG=90AHi就是亘径.O就是FG中点）：GF=2OEm2EHi直角三角形斜边中线）当O.H康合时,答号成立.CE取得最小值.GF值星小.GFrEHySAFFG面积晨小值三i（G=（a.（当O,H更合时,。既是中点,又是垂足，则EO垂直平分GF所以EG=EE）2.如图.ABC中，BAC=601ADBC于辑化成定角定高工榷两个等腰BA-BECF=CA周长最小值转化为EF辰小值/EAF角度你来求，它是一个确定值，接下来就是定高定角，秒杀它3.如IS正方形ABCD中.AB=I.NEBF=451则ABEF面枳最小值（利用半角模型，转化该面积,定角定高）4.如ISAABC中，NBAC=120°,AD平分ZBACAD=2.求AB+AC的最小值是?看看有综正饮马，其实不是.思一怨如何和第二题一样，转化为定角定高模型（有角平分线,那就利用一下角平控质虺”,作I）,管E.DF1AC5zFDE52ADFE-AF-IDE-DF-3z/XDE=ZADI-30AB（EBI（Cl2BIyFK如何将BE和CF转移到一条直线上呢，旋转ACDF）；逆时针旋转60）得AGDE/ADFCDFGDE为什么GA.E共线呀？则EG=CFNGED=CFD=90"ABtAC=2+BE+EG2BGDE=I./BDG=I20定角定高.BG有最小值当BD-GD时,BG取得最小值F/B作ABDG的外接双圆心为O.连接OB.OG,半径为r.过。作OHJ.BG于H(ZBDG=120°,则BOG=12T,l=6(r根据圆周角定理证明很简单)BG=2BH=2OBSin(M)=3rOH=OECOS60,=：VOHED<OB,*T+Vr>23（E,H更合时取得等号，E既是中点，又是垂足.DE垂直平分BG）BG=>5r6：.ABACj8,即显小值为8琐的，如果城到填角形与5如图.在矩形ABCD中.AB=2.BC=6.点E.F均在AD上.且EBC+NFCB=90。.则四边形BEFC的面积最大G(J时MN=.6在AABC,ZBAC=6On.高AH=3O.则AABC周长的最小值为一7 .等边AABC的边长为2+5,PF04,PC±AC.M,N分别在PB.PC±.ZMAN=30o,则SAA（利用半用芍8 .如图.正方形ABCD的边长为4励点EF分别在BC.CD上月/EAF=4S。.则线段EF的最小值为一CEF面积的最大值为一；四边形AECF面积的最大值为一EtCO最大张角模型（米勒圆）/刖8即可（外接圆圆心在A三边垂直平分线的交点上）、除切点外,任找P'.P''两比.1.%B>NA扃弧晒丽娜等）NAMB是.布金外角）只G证明4AP83另一a±楫f点P.当P在何三t，&APE-PAE"）切线.即P是。0切点时.怦T一.APE>APE年线I上有一。点只需证叫结论：A圆X外接便个定点A和B,当P在何处时.UPE最大，PAR1回GO,当直线I与。相切时，即P是©o切点时，/ARB.：人（Oer米勒阜分晶事点上）NAPR>4ANR即可方法同前面MN延长I与BA交于点CBCP2=CA-CBx-大题不用证明，只需说明作PAB外接圆，当园与动点所在轨图S切时，角最大即H1.如图、在正方形ABCD中,48=3点E是AD边上一点.连接BE.CE,过点B作P小时.求BF长?A为1大角RF即为所求HFD切点为GBZH/'CCG=GH2+CH2=45BF=1655当-I-22 .如图,在平面亘角坐标系中，点A的坐标为0,2）.点C的坐标为（/APC取得最大值时，求点P的坐标常丫小净科包中网1以的.延1卜Mp为。O切线,即PftOO切点时，ZBCft±=+7.(-2-0)iP2=A,4C、？Vl.,p(7>f-2-o)3 .如图.在矩形ABCD中.AB=4.AD=8.M是CD的中点.P是BC上一动点.若.A（梅是在/BCD上雌P使得.4。PM最大找相似，公式怎么用，利用公式秒了84 .如图.矩形ABCD中.AE=3,8C=4.E为BC的中点.点P是BD上的一个动点，当"PC最大时，则APO的面积为一四点共度模型四个点到T定点的距离相等，即(OA=OE=形)、证明:取斜边AB中点O连接OeOD则OA=Oi二A.B.C.D四点共圆1.如图所示.四边形ABCD中.A8CD.RC=,AH=OC=OD,则A,B,C,D四点共圆(常考共斜边直角三角8E=OC=。<直角三角形斜边中线=AC=AD=2,则BD的长为7><ft,.ABC=An：.B.C.DftaJ.遍BJA为圆心.AB长为半径的圆上延长BA交OA于点NBC"2=N2ADE=BC=I,：BE为直径.NBDE=900:ED=2Ez-DH2=52.如图.在.A8C中.1.BAC=90。,A3=AC=5,点D在AC上.且AG分别是BC.DE的中点连接AG.FG.当AC=FG时.线段DE的长为（ctDAE中.G是而14点AG=DG=EGAj通铲丁AP露粉收以EaE心AG长为半径的区G上1翁是0G的直径，3FE=90。（对角E楼型A7建BA8D=2点E是AB上的氽弯接DE.点>尽双垂法3 .如图.AABC和AABD均为直角三角形./ADB=/ACB=3F.连接CD.若NCAB=34 .如图所示.矩形ABCD的边AB=3.RIABEF的直角顶点E在对角线AC上，另一J竦学边CD上.若,BEF的一个锐角为3的则BC的长为？四点共”冲住况,交给化5 .如图、在RtABC,ZACB=9<r,点D,E分别为边AB.BC上的点.且CD-CA.DE1器取AE的中点M,连接CM并延长与AB交于点H.求证:CHlAB证明：力）匕ABAZAD证明：仔.又且圆心为VMA=MDXVCA=CD.CH垂直平分AD（垂直平分线的判定）CHiAB.ZP=ZC2若四边形的一组对角互补，即.41+4C=|8。或者ZE+ZD=20。”则A,B.C.百角三角形共斜边就居于其中一种任意对角互补的四边形（正难则反，直接不好证明，我们采用反证法.我们知道不在一条直线上的三个点有且仅有一个夕樱便,作八£。敝檄圆。0,仅需证明C在圆外和圆内都与事实矛盾即可证明C在网上，即四点共圆I证明:暇设C在C）O外,0优弧BD任取一点P.点C不在。外证明:暇设C在OO内,00优弧BD任取一点P，.P.R四点共圆A=ISO0ZA4c-180n显然图中/PvNC与NP=NC矛盾故假设不成立.¢.ZP=ZC卜，两边和圆相交的角，如1.APE源在Ql内,两边和圆相交的角.如.1.ADE同弧所对圆内角>圆周向A圆外角DJ）EB>NC（外角>内角）.点C不在。内0平上.即A.HCD四点共圆上，两边和圆相交的角,如，ACBD,/ZDPBgZDCB（同弧所对圆周角圆内角）./P&X侗匏所对圆周角>圆外角）济样BD所对的圆周角和圆内角延长PC至点F»VZFCB÷ZBPF=180n:B.C.EP四点共圆.且圆心为BF中点OZ4=Z5易证RtACBF出RIADAF二/5=/6'.6+/PFC=7+PFC=18（尸AB=2Z*2y4ftS300=43sln60SCFE看作以CF为底艮!h越大，面积越大YGE=OE-OG40GCF于G.OG最小（垂线段最后两用等面积很显然只有OG1.CF时.h才最大.其它位j三.h>h1/1,04.如图.等边ABC,AE=,P为AB上f点PD1BC1PE1AC则DE的最小值是?900+90°=80o-ZPDC况忘liCjNa找门还没利用呢-Z.EOD=7AAeB=760o=20oOE=OD=rDE=r（10。等腹三边之w-.-.g）求DE的最小值，即求半径最小，半径的最小值,其实就是直径PC的最小值,除原来如此C是定，屈段AH上的动点，点形面积为_（正方形的性质以及四点共回，利用同孤导角）CP=ACSin60,=33,.r3V3S.如图.ABCD为正方形.O为AC.BD的交点，6.如图.在AABC中.ZB=750.ZC=45BC=6-2I点P是BC上一动点.PE±AB于E.pXf于D.求线段DE的最小佰（）E：3若四边形的T外角等于其内对角（四边形外角的邻!卜角的对角），BPZa-ZBCE,则A.B,C,D四点共圆.I.如图,ZA=ZBCE,D=75。,求/B?a".33-3B.V3C.43-6D.2百角三角形共斜边就属于其中一种C"*、证於W?"EC的处按圆（AB.C不共线，兆笈圆有且仅有一N.4上任取二ZPAPB国内接四边形对角互补J"C=H已知.ZD+ZP20o'尹X四点共圆'对角互补四点共圆已证明）堆-的圆A.B.CD由共通给了我“湘等的角，就需要根据相等的角找到这两角所对的公共边，那样我们就知道了哪四点共画.四点共圆模型解决小题简直就是降维打击，但是大题有的省份给分，有的省份是需要证明的，所以谩慎使用.四点共通的判定四个点到一个定点的距离相等.即OA=OB=OC=OD.则A.B.C.D四点共圆若四边形的一组对角互补，即NA+NC=180。或者ZB÷ZD=!80o.则A.B.C.D四点共圆。若四边形的一卜角等于其内对角（四边形外角的邻补角的对角）.即NA=NBCE,则A.B.C.D四点共圆.若线段AB同假第两个点C和D.若足/C=ND.则A.B.C.D四点共圆.由四点共圆也可以反推出前面的结论，这是四点共圆的性质四点共圆的性质圆内接四边形对角互补圆内接四边形的外角等于它的内对角共圆的四个点所构成同则共底的两个三角形的顶角相等（其实就是同瓠所对的圆周角相等2 .如图，C,D是以AB为直径的半圆上的两点,NA0C=4（F.P在亘径ABJfaZOCP-ZODb0o,则NBOD的度数为：./OCP=/ODP（两个角所对的公共边是OP）AC.O,P.、NAOC叩怎么用由四点共圆性蘸）Z4=Z3-Z(fP=30u-1()0=20vNBOD其实就是/POD.ZPoD=×PCD=20R同弧所对圆周角相等3 .正方形ABCD的中心为O,面积为929c112,P为正方形内一点,且/OPB-45。.PA:PB=S:14.则PB的长为()A.42cmB.40cmC.35cmD.50cmI/IA1Q（碰到正方形一定要有连接对角我的意识，充分利用正方形的性质）4如图.AB是RSABC和RtAABD的公共斜边,AC-BC,/BAIX32。,E是AB中点连DE1CRCD.月监/ECD=7.如图.正方形ABCD1/EAFF5。.当点E,F分别在对角线BD.CD±.若Fe=6.则8.如图.BC<-DE,BAC=DAE=90AB=4,AC=3,F是DE的中点,若点E是直线BC上的动点,连接BE.BF的最小值为（）BA.=iB.2C.7D.49.AABC与MDE均为等边三角形,BC与ED交于点EF为BC中点DE=CE.求BAi碰到等边,又有中点，三线合一,连接Al-ZAEC+ZAFC=180°/.ZAEC=VO0VDE-CHAE=CE：.AEC为等腰Rt.*.ZCAE=45oZBAD-45o10.正方形ABCD边长为2,正方形DEFG.AE与BF交于H,P是BC中点,则PH的关拉手相似剌下的交给你*瑜电定理如何证明呢，线段乘积的形式往往用相似应边成比例，然后交叉相乘，便会出现线段乘积.那么我们可以把其中任意一条对角线分成两段，来构造相似三角形.+ARCD+ADRC=ACRE十ACED=ACCRE+ED)=AC-BP该定理大题中不可以直接用，但是秒”小题简直就是神技I.已知AB为直径.AB=6.AD=4.BF=1.DE交OO于E则DF的长度为_.DAOI.ZC=ZC8-3二:D*ACD(BCA.答=Y.BD-¼,EDAD-3.如GS.E是正方形ABCD右恻一点,AEE=45。"E1CE,CE=1,AE=5,则EE=D连对角线A4.已知正方形ABg)边长为6,点E在CD上,CE=2,CF1EE于F.则IOF=1.BFCFo怨求b托勒里求。卜S.图点P为等边.43C外接回drde2C上一点线段PA.PB.PC间的数量关系为(2)圈.AB为C)O的直径.1.ABD=45°,点C为,A4ED夕檄圆CA8上一点.线段CA,CB1CD间的数量关系6.如图.48C内接于0O.ABA.保持不变B.先减小后增大C先增大后减小D.无法判断P7如图.从RtAABC的斜边BC为Ti在.48。的同侧做正方形BCEF,设正方形的中心为0.连接AO,若AR=4,AO=67,5!JAC=托勒里不等式A线段乘枳形式依然由相似来推导连接DAEADEAa两边成比例目夹角相等）.噂=竿.DBC=ACEDcircle+TfAB-CDAD-EC=ACBE+AC-ED=AC（BE+ED-.,BE+ED>BD（A两边之和大于第三边）.AB-CD+AD-BC>AC-BD当且仅当A,B,C,D四点共圆时等号成立I.如图.在,ACD.AD=MCD=v,ACB=909,AC=2BC,求BD的最宙值2.如图.BC=6,A=60。,/IC=3/1。,点O为AC的外接回感1>,求OD最小值由;毁ADoC+ACR12()EC=G.QOA=OE=OC=2后设AD=X,则AC=.A贝UCE=AcAE-ex勾股定理CD=7x0.CDp23X+OD3X2仔7XOD>2VT3当且仅当AX-.O.ft四点共圆时等号成立3 .BC中,AB=4.AC=2,以BC为边.在AABC外作正方形BCDE1BD.CE交于点O,则线段Ao可以用瓜豆原理来作，后面会讲4 .如图,BC中.AB=5,AC=3.以BC为斜边作等腰R(BCD,连接AD.则AD最大值为一D5 .如图,半圆。的半径为I,A为直径延长线上一点，0A=2.B为半圆上任意一点，以AB为边作正AABC求线段OC最大值8.如圉四边形ABCD中,AB=AC=2,BCAD=4,则BACD的最大值为C9.如图.在四边形ABCD中.NADC=90。.AD=2CDAB=4.则5ED-78C的最大值为10.如图,RSABC中，NBAC=90".ZABC=30o,CD-2,则2ADBD的最大值为