还原Word_初中几何八大经典模型(一).docx

初中几何八大经典模型（T中点模型中点是初中数学中一个里要内容,它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、咽的运用,在各类考试中都会出现中点问题,无论中考还是平时的考试中,中点问题都占有一定的分数比例,有时甚至会出现在压轴SS当中，我们不妨称之为“中点模吧”，它往往涉及到平分、平行、垂直等何即，因此探寻这类问题的解超规律对初中几何的学习有着十分城要的意义a我们将中点模型进行了详细的分类，有助于同学们更快的掌握.【类型倍长中线或类中戏】在实际运用中，与某个中点相连的线段,都可以将其看作“中线”或“类中线”，从而都可以考虑将它倍长,倍长后得到“8字型全等”.【例I】如图，在A/J8C中,AB=8,AC=6,那么K边上的中战AD的取值范围是【解答】延长RI）至E,使DE=AD,连接BE,VBD=CD,AD=EDZBDE=4DC（对顶角相等），.BDE=ACDA.BE=AC=6,VAB-BE<AE<AB+BE.:.8-6<24D<8+6,即1<4。<7.例2如图，已知在/18C中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并息长交AC丁点V,AFEF,求证：AC=BE.BDC【解答】证明：延长AD至G,使DG=AD,连接BG.易证ABDGgACDA(SAS),BG=AC,ZCAD=ZG1XVAF=EF,ZCAD=ZAEf,又NBEG=NAEF,ZCAD=ZBEG,ZG=ZBEG,BG=BE,.,.AC=BE.【例3】如图，四边形ABCD中，ADBC,E为AB的中点，连接DE、CE,若DE_1.CE,且DE=2,ZCDE=60a,求四边形ABCD的面积。【简答】延长DE至F,使DE=EF,易证ADEI3FE,.SADB=Sbfe/A="，丁AD/7BC1ZA÷Z2=180o,.,.Zl+Z2=180,C.B、F三点共线。易证CDF是等边三用形，由已知可求得其边长为4,*Sacw=43.ASabcd=Scdf=43.显然也可以倍长CE,道理是一样的，大家可以自己尝试.【针对练习1)1 .如图，在aABC中，AD是NBAC的平分线，G是BC的中点，过G作直线FG平行于AD,分别交AB和CA的延长线丁点E和点F,求证：BE=CF=+AC).BDC2 .在RtZXABC中.F是斜边AB的中点.D,E分别在边CA、CB上满足NDFE=90.若AiM.BEH则线段DE的长度为.3 .如图，ZXABC和AAED均为等腰三加形，且NBK-NEAD=90",若点G是EC的中点，连接GB并延长至点F,使CFYD.求证：EB=DC,NEBG=/BFC【类型二构造“三线合一”】遇到等腰三角形，常取底边中点，构造“三线合一”去解题.【例I】如图，点D、E分别在BhAC的延长线上，且AB=AC,AD=AE,求证：DE，Be【解答】证明：如图，过A作AMJ_BC于M,VB=C,ZBAC=2ZBM,VAD=E,ZD=ZE,.ZBACZI)+ZE=2ZD,，BAC=2BAM-2D,ZBAM=ZD,.,.DEAM,VAMlBC,ADElBC.【例2】如图，2ABC是等腰直角三角形，AB-C,D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点,且DElDF.(D请说明：口£=此(2)请说明：8即+(;产=七?2；(3)若8£=6,Cf'=81求ADEF的面积.【解答】(D证明:连接AD,.ZABC是等腰直角三角形，.NC=NB=45°,J)为BC的中点，AD_1.BC,AD=BD=DC,AD平分BAC,ZDAC=ZBAD=45=ZB,ZDC=90a,VDElDF,/.ZEDF=OO0,二ADF+/FDC90",NFDC+BDE=90*,zbde=zadf,.,.bdeadf,ADE=DF.(2)证明:."BDEADF,BE=AF,VZEDF=ZDC=90o,ZEDA+ZADF=ZADF+ZFDC=90o,ZED=ZFDC,ADECDF,CF=AE,.EFZ=AEJAf=BEZWFUPBE2+CF2=EF2t(3)EF2=BE2+CF2=100,.EF=10,根据勾股定理DE=DF=52,DEF的面积=Df×DF=×52×52=25.【针对练习2】1.如图，AABC中，AC=2AB,AD平分/BAC交BC于D,E是AD上一点,且EA=EC,求证：EBlAB.2.如图，在AABC中，NBACR0°,AB=AC1点M是边BC的中点，点D、上，且AD=CE.求证：MD=ME.Z【类型三构造RT三角形斜边的中线】【例”如图所示，在.»（：中，若NB=2NC,AD_1.BC,E为BC边的中点,BDECBDECE分别在BA、AC的延长线求证：AB=2DE【解答】证明：如图，取AB中点F,连接FD,EF,VAF=BF,BE=CE1EFAC,Zl=ZC1：.B=2C=21,AD1BCtAF=BF,FD=BF=ABt.B=Z2,.z.2=2zl,：.z2=Zl+z.3,Zl=z3,：.DF=DEt.FD=BF=AB1.AB=2DE.【例2】在lSCt',UCB=90o,M是AB的中点，E、F分别是AC、BC延长线上的点，HCE=CF=AB,则/ENF的度数为'：CE=CF=AB,.CB=MCtCF=MC,二Nl=，瓦Z,2=乙FVz.1+ZF=z.4,z2+z,F=Z3,.Zl=1z.4,z.2=；乙3,.zl1+z,2=(zl4+z3)=×90°=45,即：乙EMF=45°.【针对练习311 .如图，在以AB为斜边的两个直角.48。和AABC中，乙4C8=乙408=90。,CO=m,Ab=2m,则/REB=2 .如图，在四边形AKD中，乙48。=440。=90。,对角线八（：与1相交于点0,M、N分别是边AC、BD的中点.(1)求证：MN1.BD;(2)当./.BCA=15。,AC=IOCm,OB=OM时，求MN的长.B【类型四构造中位线】遇到多个中点时，可考虑构造中位级，利用中位线定理，进行边和角的转化.【例1】如图，在四边形ABCD中，Z4=90",AB=33,=3,点M,N分别在边AB,BC上，点E,F分别为MN.DN的中点,连接EF,则EF长度的最大值为.【解答】连接DM,.点E,F分别为NN,DN的中点，二EF=：DM,.DM最大时，EI'J,VM与B重合时DM最大，此时.。M=DB=AD2+AB2=6,AEF的最大值为3.【例2】如图所示，在.ABC,点D是BC的中点，E、F是AC上的点,CE=AB,AF=EF,DF的延长线与BA的延长税相交于点G,求证：AG=AF.：AF=E/,点D是BC的中点，,HF是A?E的中位线,HD是8CE的中位级，【例3】如图,四边形ABcD中,不可能是（）.3B,2.5C.2D.1.5【解答】如图，连接BD1取BD的中点G,连接MG、NG,二点MN分别是AD、BC的中点，.MG是A48D的中位线,M是8CD的中位线,HFI/AB1HF=AB,HDCE,HD=CE,NG=乙HFD,乙HDF=乙DFC,VAB=CE,HF=HD,ZHFD=ZHDF.VZAFG=ZDFC,.NG=NAFG,JAG=ARAB与CD不平行，V、N分别是AD1BC的中点，AB=4,DC=2,则MN的长fV-2*5.C*C2W1.»Al*JN½AV).由三角形的三边关系，YG+NG>YN,AB+DC>2MN,MN<1(B+DC),.FIN<3,故选：A.例4如图，已知ZkABC中,AB=AC,CE是AB边上的中线,延长AB到点D,使BD=AB,求证:CD=2CE.1解答】方法一（构造中位线证明I取AC的中点F,连接BF,VAB=AC,点E,F分别是AB,AC的中点，.,.AE=AF,易证ABF9ACE（SAS）,.*.BF=CE,VBD=AB,AF=CF1DC=2BF,DC=2CE.方法二（倍长中线）：延长CE至F,使EF=CE,易证ZAEC9BEF,.*.ZEBF=ZA,AC=BF,VAOAB=BD,BF=BD,VZCBF=ZABC+ZEBF,NCBD=NAeB+NA,ZACB=ZABC,：NCBF=NCBD,从而ACBFSSCBD,CD=CF=2CE.针对练习41 .如图，四边形ABeD中，AD=BC=6,ZCBIMSe.NADB=I05',E,F分别是AB,CD的中点,则EF的长为一.2 .如图，在五边形ABcDE中，ZABC=ZAED=90,ZBAC=ZED,M是CD中点，试判断因EM的大小关系并说明理由.3 .如图，在AABC中,NACB=60°,AC=I,D是边AB的中点，E是边BC上一点.若DE平分AABC的周长,则DE的长是.4 .(1)如图1,在四边形ABCD中，AB=CD,E,F分别是AD,BC的中点，连接FE并延长，分别与BA,CD的延长线交于点M,N.求证：NBME=/CNE;(提示：取BD的中点H,连接FH,HE作辅助线)(2)如图2,在ZlABC中，F是BC边的中点,D是AC边上一点，E是AD的中点，直线FE交BA的延长线于点G,若AB=Dc=2,ZFEC=45,求FE的长度.【课后巩固】1 .如图，在RTAABC中，ZBC=90,M、N分别是AB、AC上的点，P、Q分别是BN、CK的中点,若BM=6,OMt制线段PQ的长度为一2 .如图，在敝中，AB=BC,D在BC上,E为AD边中点，且NBCE=NABC,若BD=8,CE=9,则AC的长为BDC3 .如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB7CD,AD=BC,AC与BD交于点O,ZA0B=60*,P、Q、R分别是OA、BC、OD的中点.求证：APQR是正三角形.4 .已知：如图，在。ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE交于G.求证：GFGC.5 .已知：ZkABD和ZkACE都是直角三角形,且NABD=NACE=90°.如图甲，连接DE,设M为DE的中点.(1)说明：MB=MC;(2)设NBAD=NeAE,固定ZkAK),让RtZkACE绕1点A在平面内旋转到图乙的位震，试问：MB*是否还能成立?并证明其结论.B图甲6 .如图，在AA"中，D是BC边上的中点,6E1",DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.求证：BE+CF>EF;(2)若.U=90。,探索线段BE、CF、EF之间的等量关系,并加以证明。7 .已知等边三珀形.ABCMD在CA的延长线上，点E在CB的延长线上，BE=CD1O为BC中点，M为DE中点，OM=AD=1,求AC的长.8 .如图，,4C8=KBCD=90。,AC=/?C,CD=CE,点P、M、N分别为AB、AD.BE的中点,试探究PV与PN之间的关系.