A全等三角形之手拉手模型倍长中线截长补短法.docx

手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，井且顶角的顶点为公共顶点结论：(1)ABDAEC(2)Z+ZBOC=180o(3)OA平分NE变形:例1.如图在直线ABC的同一侧作两三角形AABD与ABCE,连结人£与明(1) ABEI)BC(2) AE=DCAE与。C之间的夹角为60(4>AG三DF(5) AEGB言ACkB(6) BH平分gGFbAC变式精练1：如图两个等边三角形M3力与MCE,D连结AE与CD,C证明(1)ABE=DBC< 2>AE=DCE< 3>AE与DC之间的夹角为60.一B< 4)AE与OC的交点设为，8,平分NA"C变式精练2:如图两个等边三角形MBD与ABCE,连结AE与C。,证明(】)(2)AE=DC?(3)AE与。之间的夹角为60'(4)AE与DC的交点设为H,RH平分ZAHC例2：如图，两个正方形ABCD与。叮G,连结AaeE,二者相交于点H问：（1）ADG三ACUE是否成»/：?< 2>AG是否与CT相等？< 3>AG与CE之间的夹角为多少度?< 4>。是否平分/AHK?例3：如图两个等腰直角三角形A。与EDG,连结AGCE,二者相交于点，问：(1)ADG=ACDE是否成立？(2) AG是否与C?相等？(3) AG与CE之间的夹角为多少度?(4) 。是否平分/4HK?例4：两个等腰三角形8。与ABCE,其中A8=A。,CB=EB.ZABD=C"=,连结AE与CD,问：(】)4BDBC是否成立？D(5) AE是否与。相等？(3)人£与8之间的夹角为多少度？.(4)是否平分乙AHC?B例5:如图，点A.B.C在同一条直线上，分别以AB、BC为边在直线AC的同侧作等边三角形AABD、ABCE.连接AE、DC,AE与DC所在直线相交于F,连接FB.推断线段FB、FE与FC之间的数届关系，并证明你的结论。【练1】如图，三角形ABC和三角形CDE都是等边三角形，点A,E,D,同在一条直线上，且角EBD=62°,求角AEB的度数倍长与中点有关的线段倍K中线类b考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的H的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的H的：将题中已知和未知条件集中在一对三角形中、构造全等三角形、平移线段。【方法精讲】常用协助线添加方法_传长中瀛方式1：延长ADDE=AD,连接BE方式2:间接倍长作CFlAD于F,延长DN=MD,CD【例I】已知：8C中作BElAD的延长线干E连接BE八M是中线.求证：.连接【练1】在AASC中,AB=5,AC9t则BC边上的中线AD的长的取值范围是什么?【练2】如图所示，在A8C的八8边上取两点E、F,使钻HF,连接CZ、Cl,求证:AC+tiC>EC+FC.E.求证：DE=EF（倍长中线、截长补短）【练3】如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,D是点，F是AC延长线上的一点，且BD=CF,连结DF交【例2】如图，已知在MSC中，A。是8C边上的中线，E是A。上一点，延长股交AC于F,AF=EF,求证：AC=BE.【练1】如图，已知在"C中，AD是SC边上的中线，E是AD上一点，且抽=Ag延K，E交A。于F,求证：AF=EF【练2】如图，在aABC中，AB>AC,E为BC边的中点，AD为NBAC的平分线,过E作AD的平行线，交AB于F,交CA的延长线于G.求证：BF=CG.【练3如图，在M8C中，Ar）交BC于炊D,点E是BC中点，）/1。交CA的延长线于点尸，交A8于点G,若8Gb,求证：八。为M8C的角平分线.【练4】如图所示，已知MSC中，八。平分NZMC,£、F分别在/m、D±.DE=CDtEF=AC.求证：EFIlB【例3】已知AM为ABC的中线，ZAMB,ZAMC的平分线分别交AH于E、交八C于尸.求证：BE+CF>EF.【练1】在RlA八8C中，F是斜边，48的中点，。、£分别在边CA、C8上，满意ZD庄9O).若人0-3,BE=4,则线段OE的K度为.【练2】如图，AABC中，AB=2AC,AD平分Be旦AD_1.AC,则NBACHD【练3】在MBe中，点。为灰：的中点，点”、N分别为A8、AC上的点，且M"1W).(1)若4=9(尸，以线段8“、MV、CN为边能否构成个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝倒三角形？(2)假如8，+(押：=/?”+/加2,求证.tC【例4】如图，等腰直角A8C与等腰直角旬力£,P为CE中点，连接八、PD.探究/3、尸。的关系.（证角相等方法）【练1】如图，两个正方形A8"£和八CGF,点尸为改'的中点，连接/M交痔于点Q.探究AP与b的数量关系和位置关系.（证角相等方法）【练2】如图，在MBC中，CD=ABfNBAD=NBDa,AE是8。边的中线,求证：AC=IAE【例5】如图所示，在MBC中，AH=AC,延长A8到。，使僚）=A,E为AB的中点,连接CE、CD,求证C0=2EC.【练1】已知8C中，B=ACt8。为AB的延长线，且8/）=A8,CE为M8C的"边上的中线.求证：CD-2CE【练2如图,CB、CD分别是钝角AAEC和锐角ABC中线，且AC=B,ZACB=ZABC.求证CE=2CD.IW16如图，两个正方形ABZ"和AeG/，点P为8C的中点，连接PA交所于点。.探究AP与月尸的数量关系和位置关系.（倍长中线与手拉手模型综合应用）【练1】已知：如图，正方形ABC/)和正方形稔G”,点M是线段的中点.试说明线段A位与MC数啾关系和关系.如图，若将上题中正方形样Gb绕点B顺时针旋转度数(<9(F),其他条件不变，上述结论还正确吗？若正确，请你证明；若不正确，请说明理由.全等之事长补短：人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在很多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特别方法（把K边截成两个短边或把两个短边放到一起；出现角平分线进行翻折；力详细角的度数说明要求角的度数，进而得到角相等，A全等）【例1。】如图所示，AAAC中，ZC=90n,ZB=45o,AD平分/MC交BC于Do求证：AB=AC+CDoAIk【练1】如图所示，在A8C中,ZB三60o,8C的角平分线AD、CE相交于点OC求证：AE+CD=ACo【练2】已知MBC中，ZA=60,BD、CE分别平分Z8C和ZAC8,BD、CE交于点。，试推断8£、C7）、8C的数豉关系，并加以证明.【练2】如图,在四边形ABCD中,ADBC,AE平分/BAD交DC于点E,连接BE,I1.AE1BE,求证：AB=AD+BC.【练3】已知：如图,在aABC中,NA=90。，AB=AC,BD是NABC的平分线。求证：BC=AB+AD.【练4】点M,N在等边三角形ABC的AB边上运动，BD=DC,ZBDC=1200,NMDN=60°,求证MN=MB+NC.【例11已知如图所示，在aABC中,AD是角平分线,且AC=AB+BD,试说明B=2ZC（不只是边，倍角也适用）【练H如图,在ZiABC中,AB=AC,BD,AC交AC于点D.求证：NDBC=INBAC.B2M【例12如图所示，已知Nl=N2,P为BN上一点,且PD1.BC于D,AB+BC=2BD,求证：【练1】如图，在四边形ABCD中，BOBA1AD=CD,BD平分NA8C,求证：Z+ZC=180"13如图所示，在MA8C中，B=AC,NMC=90",ZABD=CBDtCE垂直于BD的延长线于EC求证：BD=2CE<.【练1】已知：如图示,在RlAABC中，NA=90°,ZABC=2ZC,BD是NABC的平分线.求证：CD=2AD.【练2】如图所示，在A8C中，ZA8C=90°,AD为/04C的平分线，NC=30°,BE1.AD于E点，求证：AC-AB=2BEe【练3正方形ABCD1E是BC上一点,AEEF,交/DCH的平分线于点F,求证【练4】已知在AABC中，B=AC,D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F,且DF=EF,求证：BD=CEIM14如图所示，已知AACD,/ABC,/BCD的平分线恰好交于AD上一点E,求证：BC=AB+CD0【练1】如图，已知AD/BC,NPAB的平分线与NCBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.求证：AD+BC=AB.【练2如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AF平分/DAE,求证：AE=EC+CD.【练3】在AABC中，AD是BC边上的高，ZB=2ZC.求证：CD=AB+BD.【练4】如图所示,在二角形ABC中,NACB=90",AC=BC,D为二角形ABC外一点,且AD=BDjDEIAC交AC的延长线于点E.摸索求AE和BC之间彳何数1关系【练5】在四边形ABCD中，AB/DC,E为BC边的中点，ZBAE=ZEAF,AF与DC的延长线相交于点F。摸索究线段AB与AF、CF之间的数豉关系，井证明你的结【例15如图在AABC,AB>C,N1=N2,P为AD上随意一点，求证：AB-AC>PB-PC12【练1】已知M为MBC的中线，/AMB,ZAMC的平分线分别交AB于E、交AC于户.求证：BE+CF>EF.E如图，E是ZAOB的平分线匕一点，EC1.OA,ED1.OH,垂足为C、Do求证：(1)OC=OD;(2)DF=CFcIi构造答边三角彩1、如图,已知AABC中,AB=AC,D是CB延长线上一-点,NADB=60。，E是AD上一点，且有DE=DB.求证：AE=BE+BC.2、在等腰AASC中，AH=ACf顶角ZA=20。，在边A8上取点。，使A。=改?，求NSDC.练习1、如图,在AABC中,NACB=90°,BE平分/ABC,DElAB于D,假如AC=3cm,那么AE÷DE等于A、2cmB、3cmC、4cmD、5cm练习2、在AABC和AAEC中,AB=AB,AC=AC,点D,D分别是BC,BC的中点,且AD=AD',证明：MBC=AABC.（倍长中线）练习3、如图，在AABC中，BE是/ABC的角平分线，AD±BE,垂足为D,求证:Z2=Z1+ZC练习4、如图（1）,已知AABC中，NBAC=90°,AB=AC,AE是过A的一条直线，且B、C在A、E的异侧，BD_1.AE于D,CE_1.AE于E（1）试说明：BD=DE+CE.（2）若直线AE绕A点旋转到图（2）位置时（BDVCE）,其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？清干脆写出结果；（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD>CE）,其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？清干脆写出结果，不需说明理由.B如图所示，在RtZXABC中，AB=AC,ZBC=90o,有过A的任一条直线AN,BDlAN于D,CEj_AN于E,求证：DE=BD-CE.（思路：截长补短法）如图,在AABC中,八13=八。2是三角形外一点,且/413口=60。，13口+口。=/13.求证:ACD=60.（截长补短）1、如图，等腰直角A8C与等腰直角BOE,P为CE中点,连接/3、liD.探究/3、PQ的关系.（协助线的连法都一样）2、已知：如图，正方形八Ba）和正方形晶G”，点M是线段的中点.试说明线段AfE与,Wr数量关系和关系.（协助线的连法都一样)如图，若将上题中正方形E8G“绕点B顺时针旋转度数(<9(r),其他条件不变，上述结论还正确吗？若正确，请你证明；若不正确，请说明理由.3、已知八M为A8C的中线，ZAMB,NA优的平分线分别交八8于£、交AC于F.求证：8£+CF>M.(协助线的连法都一样)【阅读理解】已知：如图1,等腰直角三角形ABC中，ZB=900,AD是角平分线，交Be边于点D.求证：AC=AB+BD证明：如图1,在AC匕我取AE=AB,连接DE,则由已知条件易知：RtADBRtADE(AAS)ZAED=ZB=90o,DE=DB又.C=45°,.ZkDEC是等腰直角三角形./.AC=AE+EC=AB÷BD.【解决问题】已知，如图2,等腰直角二角形ABC中，ZB=90o,AD是/BAC的平分线，交BC边于点D,DE_1.AC,垂足为E,若AB=2,则三角形DEC的周长为.【数学思索】：现将原题中的“AD是内角平分线，交BC边于点D”换成“AD是外角平分线，交Be边的延长线于点D如图3”，其他条件不变，请你猜想线段AC、AB、BD之间的数量关系，并证明你的猜想.【类比猜想】随意三角形ABC,ZABC=2ZC,AD是/BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D,如图4,请你写出线段AC、AB、BD之间的数量关系.如图,已知B=C=90°,M是BC的中点，DM平分NADC.(1)求证：AM平分NDAB(2)试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？(3)线段CD、AB、AD间有怎样的关系？干脆写出结果。