Banach空间中常微分方程解的存在与唯一性定理.docx

及心M空间中常微分方程解的存在唯一性定理魏婷婷(天水加范学院数学与统计学院,甘肃,天水,741000)摘要：在防“力空间中，常微分方程解的存在唯一性定理中力=min%,%,初价问题的解y(i)的变质U在t0-hth上改变，把，的改变范用扩大为"-%r八+%,为此给出,改变范用后的及”,/?空间中常微分方程解的存在唯一性定理,并对定理赐予明确的证明.关键词：.存在唯一;常微分方程;数学归纳法;皮卡逐步靠近法；反“力空间引言常微分方程解的存在唯一性定理明确地确定了在确定条件卜方程的解的存在性和唯一性,它是常微分方程理论中最基本且好用的定理，有其重大的理论意义，另一方面，它也是近似求解法的前提和理论基础.对于人们熟知的加恤力空间中常微分方程解的存在唯一性定理,解的存在区间较小，只限制在一个小的球形邻域内，(球形邻域的半径若为b,还需满意1.b<l,旦解只在以打为中心以b为半径的闭球,(y1>)=(,veXy-y0存在唯一，其中X是加."空间)因此在应用过程中受到J'确定的限制.如今我们尝试扩大J'解的存在范围，从而使此重要的定理今后有更加广泛的应用.1预备定理我们给出8卬”“力空间中常微分方程解的存在唯一性定理如下设X是及”“力空间，UUX是一个开集.广UTX上关丁.满意利普希茨3.济淞)条件,即存在常数/.>o,使得不等式”,)-0,).v-),2对于全部yl,y2eU都成立.取)zU,在U内，以先为中心作一个半径为的闭球¾()=(jX.y-,vo，对全部的yBb(yn)都成立，且有(y)/,取=min%,%,则存在唯一的C1曲线y(f),使得在-6r%+上满意.vGByll),并有y=/(y),y(r0)=y.2结果与证明笔者通过改进对人的限制，即仅取%=%,预法定理仍旧成立，从而使定理的应用进一步广泛.2.1 改进条件后的定理定理假设条件同上预备定理，设初值为(品.”),则存在唯一的Cl曲线)，(/),对随意的%,满意yeBrlGb),且使得)，=/(“),)«)=5明显可有lfo-f>ro+/；o-%frn+%,且/，=”而%，%1.2.2定理的证明证明证明过程中我们利用皮卡(PicaM)逐步兆近法.为了简洁起见，只就区间r°-%r八进行探讨,对于区间%/%+%的探讨完全一样.定理证明的思想现在先简洁叙述下运用皮卡逐步轼近法证明的主要思想.首先证明条件=/(r,y),y(n)=yu等价于求积分方程>,=3'0+tf(i,y)d.再证明枳分方程的解的存在唯一性.任取一个九为连续函数，聘它代入方程的右端/".F),可得到函数y")=*+Jl,y<>)力，明显，乂也为连续函数.若,")=yt>"),则可知此就是方程(1)的解.若不然，我们乂把乃代入积分方程的右端/(，.)，)，可得到函数y2(0=)b+J；JaCl)M.若y2(0=乂，则可知y1(0就是方程的解.若不然,我们如此下去,可作连续函数，1.a)=>o+/"，XT)出这样就得到连续函数列若yn.i(n=y(o.那么y11就是积分方程的解，假如始终不发生这种状况,我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数.M),即Iim1(力=义，)存在，因而对(2)式两边取极限时.就得到Xa)=>+i,/«，ylf-iXh=>o+:1(ya-l)小=%+/；%)»即y=义+J：J(Q)力，这就是说，y()是积分方程的解.在定理的假设条件下，以上的步骤是可以实现的.定理证明的步骤下面我们分五个命题来证明定理.命题1设>=>“)是/=f(,y)的定义下区间/°-%rSt0上,满意初值条件)'&)=No(3)的解，则y=y()是积分方程Mr)=%+J/(，,)，)山定义丁/°-%S/S/0上的连续解,反之亦然.证明因为,，=的是方程=f(t.)，)的解,故有等S对上式两边从In到/取定积分得到>V)-y(r1)=J,/O.y)ci,r11-%frtl,把(3)式代入上式,即有y(O=yu+J1,(<.yt,%-%r外因此，y=y(r)是(Q的定义于n-%ft0上的连续解.反之,假如,V=y)是的连续解，)")=FI)+',af<t,y'lt,rl,-%ttn.微分之,得到噌=/(“).又把r=0代入式，得到y(r0)=打，因此，y=y(r)是方程y'=f(t,>,)的定义于区间b-%Y缶且满意初值条件(3)的解命题1证毕.现在取肾=y0,构造皮卡逐步靠近函数序列如下M)=No(5)匕0=.%+，/“，Fz"，%，4八(”=】，2,)命题2对于全部的明中函数1.在”%rr。上有定义,连续且满意不等式上")-%4b证明用数学归纳法可以证明，如下y(t)Gnb(yn),对于随意“gN,八%t0,当八=I时，凹()=y0+;./,ya)d,明显.V,在b-%r%上有定义,连续且有帆-%l=If；J(，九阕JW(S%)修M(-ftt)b.设当"=A时有")w8,6b),也即以在rl,-%r%上有定义,连续且满意不等式IMa)-尢II"，这时以“=*+(乡儿wg.由假设,命题2当=T时成立,则可知X“在S%上有定义,连续且有当=A+1时1.yN-JoII=Ifif<,>网；Ilf©义)cM(t-tn)b,即命题2当=&+1时也成立,从而得知命题2对于全部的”均成立.命题2证毕.命题3函数序列(以在-%r44上是一样收敛的.证明我们考虑级数y(")+g>N-y't-(，)】,%-%m4T，<>,(6)(6)式级数的部分和为为")+£以")-)，1(4=汽，因此，要证明函数序歹Jy1,")在.r°-%r八上-样收敛,我们仅证明级数在r°-%qr0上样收敛.因此,我们可进行如卜.计.算，由y.(0-y0=U；.,/«,wJ(.y1,)dM(t-tu).及M-M()g>R,%)-/6肾)|阳，利用利普希茨化强"山Z)条件及式可知IX-y1(以1.Jy1()-y0(9惦J：.Me-G)d-(t-t0)24.对于随意的“为正整数,不等式h,-(咚UTj成立.则由利普希茨条件，当%-%r九时,有>'n,l(0-”(可'df(,ya)-f(,yn.l)|叱4；|”©-)1(打港当J；芯-仍抬！J5+1)!为此，由数学归纳法可知,对于全部的正整数£,可有如下的式子成立，B>(n->(Ml-r(，-，。尸,%4Y%.KI因此可有，当h->4-1刻*"JM*(%)",(8)式右端为收敛的正项级数S当二(%)'的一股项.*=|£由魏尔斯特拉斯(M>i"wms)判别法,级数在rr。上是样收敛的，因此序列1.U)也在0-%Sf上一样收敛，命题3证毕.现设HmFlO)=)«),H-W为此W)也在r0-%rM2上连续，且由命题2又可知IIMr)-Jbg仇命迤4y是枳分方程y()=为+J：Ja.y)力的定义在区间之-%rKr0上的连续解.证明由利普希茨条件Ig也)-八0肛4回(。-财I以及M)在ln-l1tn上一样收敛于y(r),且函数列川川逐项连续，即知序列(/(.%")”在士斗,上一样收敛于/()0).因而对式两边取极限,得到.1.a)=y0+IimIfG,WS=J<+lim(,1.T)”即Nr)=3,<1+/(4,)，)虑,这就是说，>(0是积分方程y()=yn+J/",)，)山的定义于/°一%r八上的连续解.命题4证毕.命迎5(证明解的唯一性)设工是积分方程)，=y0+J,),)刈定义于"-%r八上的另一个连续解，则Nr)=Xa)J1.%'%证明现在我们证明Ka)也是序列yn(3的一样收敛极限函数.为此,从凡=NO,yn(0=yu+f(.yn.l)d.(j1),V)=y0+f(.)d,可以进行如下的估诃，I打一NOl=|：J(GMqJN"，河用MDyt(/)-X(Z)IIJf(.y0)-f(,xfi(Ie)-XG)I应MJ"1.=当"/现在我们可以假设回T(0-()写/TJ,则有lb(n-M)J；/砥)-e,*)!因“l,yn.1(G73四4却(j)Q产小犷.！J(+l)!故由数学归纳法得知,对于全部的正整数明仃下面的估计式M-如归焉(一。尸，于是我们可知在%-%，0上有帆7小缁”,。尸"篇%尸，倦i(%1.是收敛级数的公项,且当T8时，1r,o.因而”)在1%dr。上样收敛于虫).依据极限的唯性即可知y)=x(i),-%tl(,.命题5证毕.综合命题15,即得到执”“力空间中常微分方程解的存在唯性定理的证明.例题求初值问题生=dt>(-1)=0其中R:的解的存在区间,并求其次次近似解,给出在解的存在区间的误差估计.解jW=max(,y)=4则利用本文的结果力=%=；,在H上函数=，的利普希茨常数可取1.=2,因为琮=卜2y2=1.>'fl(0=0,，lX")=IC4"；-+3,打(，)=/(铲一/6)叱J1.上IlT-9-18+在本文的估计式中令M。=)")，则有误差估计式从而可得帆F小而"MM为%严'旧一八小岑-心噎.利用木文结果,初值问题解的存在区间为八-%九+%为此将%=-1,%=:代入上式，可得解的存在区间为-jr-;其次次近似解为K=g-!-E-1+;39186342在解的存在区间的误差估计为|其-Mw/.结束语在空间中，通过运用皮卡的逐步赛近法，从证明解的存在性,到解的唯一性,采纳严密的逻辑推理和理论证明，得到扩大解的存在区间后?力空间中常微分方程解的存在唯一性定理,从而使定理更加好用.当然,展望将来，我们还可以利用所得到的结果进一步作为探究其他问题的牢靠性依据.参考文献1王高雄,周之铭.朱思铭,王寿松,端.常微分方程M北京，高等教化出版社,2006.2郭大均,孙经先.抽象空间常微分方程国.济南:山东科学技术出版社.2003.3王兴涛,编.常微分方程国.哈尔滨:哈尔滨工业高校出版社,2004.4邓海荣，B兆丰.空间中常微分方程解的存在唯一性定理的注J.扬州高校学报：自然科学版.2007.10<1>:1-3.5房琦员.关于常做分方程解的存在唯一问题的探讨JJ.高校讲坛,2010.6王声里,郑伟行,漏.实变函数与泛函分析概要X.北京：高等教化出版社,2005.致谢在完成终稿的今日，在敲完最终一个句号的时刻,我的思想同四周凝固的热气一样停驻了，不知道是安慰还是哀痛，武校四年的生活就这样结束了，而眼前的路还很长，虽然好像有些迷茫,但我必需整理心情,背上行囊,坚决的揩上新的征程我要感谢,特别感谢我的指导老加何老师.在劳碌的教学工作中挤出时间来审杳修改我的论文，淳谆教化的教化和不拘一格的思路蜴予我无尽的启迪.他为人随和热忱.治学严谨细心、广博的学识、深厚的学术索养,在论文的写作和措辞等方面他也总会以专业标准严格要求，从选题.定题、起先,始终到论文的反复修改，何老师始终仔细负责地蜴予我深刻而细致地指导，梢助我开拓探讨思路,细心点拨.热忱激励.正是何老新的无私帮助与热忱激励,我的毕业论文才能够得以瞅当完成,谢谢何老师.再次,我还要仔细地感谢我身边全部的挚友和同学，你们对我的关切.梢助和支持是我不断前进的动力之.我的高校生活因为有你们而更加精彩.最终，向在百忙中抽出时间对本文进行评审并提出珍贵看法的各位专家表示诚心地感谢！