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高等代数课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：18100234课程名称：高等代数英文名称：AdvancedAlgebra课程类别：专业课学时：64学分：4适用对象：经济统计专业考核方式：考试先修课程：空间解析几何二、课程简介中文简介：高等代数是高等院校数学专业的一门重要的基础课，其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、向量空间、线性变换、欧氏空间和酉空间、二次型、群，环和域简介等方面的系统知识。它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛函分析）提供一些所需的基础理论和知识。尤其在本世纪，计算机技术、通讯信息技术和现代生物工程技术已成为最热门的学科领域，这些学科均需要代数学的发展。通过对高等代数的教学，能培养学生独立思考、科学抽象思维、正确的逻辑推断能力和迅速准确的运算能力，对开发学生智能、加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）及培养学生创造能力、树立辩证唯物论观点等有重要的作用。英文简介："Advancedalgebra"isanimportantbasiccoursewithspecializedmathematicsoftheinstitutionsofhigherlearning,itsmaintaskistomakestudentsobtainthemathematicalbasicthoughtandtheoryofpolynomial,determinant,systemoflinearequations,matrixtheory,vectorspaceandEuclideanspace,lineartransformationandunitaryspace,quadraticform,group,ringandintroductionofdomainknowledgeofthesystem.Ononehanditprovidessomebasictheoryandknowledgeforsubsequentcourses（e.g.,modernalgebra,numbertheory,discretemathematics,computingmethods,differentialequations,functionalanalysis）.Especiallyinthiscentury,computertechnology,communicationstechnologyandmodernbiologicalengineeringtechnologyhasbecomethemostpopularsubjectareas,thedevelopmentofthesedisciplinesareneedalgebra.Byteachingofthiscourse,Itenablesstudentstomastertheprofessionalknowledgenecessaryforbasictheoryandbasicmethodofalgebra,andhavemorein-depthknowledgeofelementaryalgebracontent,andcanhandleteachingmaterialofmiddleschoolmathematicscommanding,trainingstudents*independentthinking,scientificabstractthought,correctlogicinferenceabilityandoperationability,quicklyandaccuratelytodevelopstudents'intelligence,strengthen',3basic"（basicknowledge,basictheory,basictheory）,andtocultivatestudents'creativeability,setuphasanimportantroleinthedialecticalmaterialistpointofview.三、课程性质与教学目的（一）课程性质：高等代数是统计与数学学院应用数学、大数据、统计学等各专业的专业必修课。高等代数的教学能使学生对高等代数乃至代数学的思想和方法有较深刻的认识，提高他们的抽象思维、逻辑推理和运算的能力；使学生初步地掌握基本的、系统的代数知识和抽象的、严格的代数方法，进而加深对中学代数的理解；使学生能应用代数思想和方法去理解与处理有关的问题，培养与提高代数的理论分析问题与解决问题的能力；为学生学习数学学科后续课程（如近世代数、离散数学、计算方法、偏微分方程、泛函分析等）提供必要的基础理论和知识；是学生在智能开发、创新能力培养等方面获得重要训练的平台。（二）教学目的：1 .专业教学目的：高等代数是数学与应用数学、信息与计算科学本科专业最重要的基础课程之一,是报考数学各专业研究生的必考课程之一，也是理论性、应用性很强的一门数学基础课。讲授本课程的目的是培养学生的代数基础理论和思想素质，基本掌握代数中的论证方法，获得较熟练的演算技能和初步应用的技巧，提高分析问题、解决问题的能力,为进一步学习其它数学知识打下坚实的基础。2 .思政教学目的：高等代数的课堂也是思政融入课堂教学的主战场。高等代数课程中包含丰富的代数理论，通过对理论部分的教学，我们可以培养学生探索真理的科学精神，分析和研究的思辨能力；大量的推理和计算的练习，可以培养学生的缜密的思维和坚韧的耐力和耐心的品格；高等代数课程中的中国数学家的贡献可以培养学生的民族自豪感和文化自信；高等代数中大量的案例应用教学能培养学生理论联系实践，学以致用，激发学生为祖国建设而学的学习热情和浓厚的学习兴趣。四、教学内容及要求第二章行列式（一）目的与内容1 .主要内容：级行列式的定义、行列式的基本性质、矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换、行列式按一行（列）展开的公式、克拉默（小加叱）法则、拉普拉斯Laplace）定理。2 .本章思政融入点：通过对行列式理论的教学培养缜密的思维和严谨的科学素养，以及培养勇于探索新知识，刻苦钻研的科学精神。通过对行列式计算的教学和训练培养学生细心和耐心和精益求精的品格。通过对克拉默法则在函数拟合方面的案例应用教学，培养学生理论联系实际，学以致用的能力，激发为祖国建设而学习的热情和学习的兴趣。（二）教学内容第一节1 .主要内容：排列与逆序数。2 .基本概念与知识点：n级排列、逆序、逆序数。3 .问题与应用：理解并掌握排列、逆序、逆序数、奇偶排列的定义。掌握排列的奇偶性与对换的关系。第二节1 .主要内容：n阶行列式的定义2 .基本概念与知识点：n阶行列式的定义3 .问题与应用：深刻理解和掌握级行列式的定义，能用定义计算一些特殊行列式。第三节1 .主要内容：行列式的性质2 .基本概念与知识点：性质I-性质63 .问题与应用：熟练掌握行列式的基本性质。第四节1 .主要内容：行列式的计算2 .基本概念与知识点：行列式的计算3 .问题与应用：正确理解矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念，能利用行列式性质计算一些简单行列式。第五节1 .主要内容：行列式按行展开2 .基本概念与知识点：余子式、代数余子式、按行展开公式3 .问题与应用：正确理解元素的余子式、代数余子式等概念。熟练掌握行列式按一行（列）展开的公式。掌握“化三角形法”，“递推降阶法”，“数学归纳法”等计算行列式的技巧。第六节1 .主要内容：克莱姆法则2 .基本概念与知识点：克莱姆法则、齐次线性方程组有非零解的充要条件3 .问题与应用：熟练掌握克莱姆（Cramer）法则。4 .思政融入点：案例教学：物理学家通过观测得到OC、IOC、20Cs30C时水银的密度值，求水银密度和温度的关系式，并预测15C和40C时水银的密度。运用克拉默法则结合Matlab求解这个问题，培养学生勇于探索新知识，刻苦钻研的科学精神，第三章线性方程组（一）目的与内容1 .目的与内容：线性方程组的初等变换、求线性方程组的一般解、n维向量、线性组合、线性相关、线性无关、两个向量组等价、极大无关组、向量组的秩、求向量组的一个极大无关组、矩阵的秩、线性方程组的有解判别定理、线性方程组的公式解、齐次线性方程组的基础解系、基础解系的求法、线性方程组的结构定理、求一般线性方程组有解时的全部解。2 .本章思政融入点：通过对线性方程组理论的教学培养缜密的思维和严谨的科学素养，以及培养勇于探索新知识，刻苦钻研的科学精神。通过对消元法、计算基础解系等推理计算的教学和训练培养学生细心和耐心和精益求精的品格。（二）教学内容第一节1 .主要内容：消元法2 .基本概念与知识点：增广矩阵、高斯消元法3 .问题与应用：正确理解和掌握一般线性方程组，方程组的解，增广矩阵，线性方程组的初等变换等概念及性质。掌握阶梯形方程组的特征及作用。会求解线性方程组的一般解。4 .思政融入点：通过本节学习，学生能体验到民族自信心和自豪感；树立学以致用，服务祖国的远大志向；关注细心和耐心和精益求精的品格培养；培养缜密的思维和严谨的科学素养；接受健康饮食理念和营养均衡的观念；培养勇于探索新知识，刻苦钻研的科学精神。第二节1 .主要内容：2 .基本概念与知识点：3 .问题与应用：理解和掌握n维向量及两个n维向量相等的定义。熟练掌握向量的运算。深刻理解n维向量空间的概念。第三节1 .主要内容：，维向量组的线性相关性2 .基本概念与知识点：线性组合、线性相关、线性无关、极大无关组、秩3 .问题与应用：正确理解和掌握线性组合、线性相关、线性无关的定义及性质。掌握两个向量组等价的定义及等价性质定理。深刻理解向量组的极大无关组、秩的定义，会求解向量组的一个极大无关组。第四节1 .主要内容：矩阵的秩2 .基本概念与知识点：行秩、列秩、子式3 .问题与应用：深刻理解和掌握矩阵的行秩、列秩、秩的定义。掌握矩阵的秩与其子式的关系。第五节1 .主要内容：线性方程组有解判别定理2 .基本概念与知识点：线性方程组有解判别定理3 .问题与应用：熟练掌握线性方程组的有解判别定理。理解和掌握线性方程组的公式解。第六节1 .主要内容：线性方程组解的结构2 .基本概念与知识点：基础解系，解空间3 .问题与应用：正确理解和掌握齐次线性方程组的基础解系，解空间的维数与概念。熟练掌握基础解系的求法、线性方程组的结构定理。会求一般线性方程组有解时的全部解。第四章矩阵（一）目的与内容1 .矩阵的运算、矩阵乘积的行列式定理、矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系、可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵、阶方阵可逆的充要条件、用公式法求逆矩阵、分块矩阵的意义及运算、初等矩阵、用初等变换的方法求逆矩阵、分块矩阵的逆。2 .本章思政融入点：通过对矩阵理论的教学培养缜密的思维和严谨的科学素养，以及培养勇于探索新知识，刻苦钻研的科学精神。通过对计算矩阵的暴、矩阵的逆矩阵、计算矩阵方程等推理计算的教学和训练培养学生细心和耐心和精益求精的品格。（二）教学内容第一节1 .主要内容：矩阵概念的一些背景2 .基本概念与知识点：矩阵3 .问题与应用：了解矩阵概念产生的背景。第二节1 .主要内容：矩阵的运算2 .基本概念与知识点：矩阵的加法、数乘、乘法、转置、矩阵的幕、矩阵的多项式3 .问题与应用：掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算规律及其计算。第三节1 .主要内容：矩阵乘积的行列式与秩2 .基本概念与知识点：矩阵乘积的行列式3 .问题与应用：掌握矩阵乘积的行列式定理，矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系。第四节1 .主要内容：矩阵的逆2 .基本概念与知识点：逆矩阵、伴随矩阵3 .问题与应用：正确理解和掌握可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵等概念，掌握一个n阶方阵可逆的充要条件和用公式法求一个矩阵的逆矩阵。第五节1 .主要内容：矩阵的分块2 .基本概念与知识点：分块矩阵3 .问题与应用：理解分块矩阵的意义，掌握分块矩阵的加法、乘法的运算及性质。第六节1 .主要内容：初等矩阵2 .基本概念与知识点：初等矩阵3 .问题与应用：正确理解和掌握初等矩阵、初等变换等概念及其它们之间的关系，熟练掌握一个矩阵的等价标准形和矩阵可逆的充要条件；会用初等变换的方法求一个方阵的逆矩阵。第七节1 .主要内容：分块矩阵的初等变换及应用举例2 .基本概念与知识点：3 .问题与应用：理解分块乘法的初等变换和广义初等矩阵的关系，会求分块矩阵的逆。（）教学方法与手段课堂讲授、多媒体教学、雨课堂、MatIab等辅助教学、团队合作、分组讨论、课堂讨论。第五章二次型（一）目的与内容1 .非退化线性替换、二次型的矩阵、二次型与其矩阵的一一对应关系、矩阵的合同、化二次型为标准形、复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理、正定二次型的判别条件、半正定二次型的等价条件。2 .本章思政融入点：通过对二次型理论的教学培养缜密的思维和严谨的科学素养，以及培养勇于探索新知识，刻苦钻研的科学精神。通过对辗转相除法、综合除法、重因式算法、计算有理根的算法等推理计算的教学和训练培养学生细心和耐心和精益求精的品格。（二）教学内容第一节1 .主要内容：二次型的矩阵表示2 .基本概念与知识点：二次型、非退化线性替换、二次型的矩阵、矩阵的合同3 .问题与应用：正确理解二次型和非退化线性替换的概念；掌握二次型的矩阵表示及二次型与对称矩阵的一一对应关系；掌握矩阵的合同概念及性质。第二节1 .主要内容：标准型2 .基本概念与知识点：二次型的标准型3 .问题与应用：理解二次型的标准形，掌握化二次型为标准形的方法（主要是配方法、初等变换法）。第三节1 .主要内容：唯一性2 .基本概念与知识点：二次系的规范型3 .问题与应用：正确理解复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性；掌握惯性定理。第四节1 .主要内容：正定二次型2 .基本概念与知识点：正定二次型、正定矩阵3 .问题与应用：正确理解正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵等概念；熟练掌握正定二次型及半正定二次型的等价条件。4 .思政融入点：案例教学一一在经济学中，常见问题有利润最大化，成本最小化等,最大化、最小化问题统称为最优化问题.通过最优化案例教学，培养学生理论联系实际的精神，帮助学生树立学以致用，服务祖国的远大志向。第六章线性空间（一）目的与内容1 .线性空间、判断一个代数系统是否是线性空间、n维线性空间的概念及性质、基变换与坐标变换的关系、线性子空间的定义及判别定理、向量组生成子空间的定义及等价条件、子空间的交与和、维数公式、子空间的直和、线性空间同构的定义、性质及两个有限维空间同构的充要条件。2 .本章思政融入点：通过对线性空间理论的教学培养缜密的思维和严谨的科学素养，以及培养勇于探索新知识，刻苦钻研的科学精神。通过对生成子空间、子空间的交与和等推理计算的教学和训练培养学生细心和耐心和精益求精的品格。（二）教学内容第一节1 .主要内容：集合与映射2 .基本概念与知识点：集合、映射、单射、满射、映射、逆映射3 .问题与应用：掌握映射、单射、满射（映上的映射）、一一映射、逆映射等概念。第二节1 .主要内容：线性空间的定义和性质2 .基本概念与知识点：线性空间的定义3 .问题与应用：正确理解和掌握线性空间的定义及性质；会判断一个代数系统是否是线性空间。第三节1 .主要内容：维数、基与坐标2 .基本概念与知识点：维数、基、坐标3 .问题与应用：理解线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念；正确理解和掌握n维线性空间的概念及性质。4 .思政融入点：案例教学一一图像压缩与基坐标变换。通过图像压缩案例教学，培养学生理论联系实际的精神，帮助学生树立学以致用，服务祖国的远大志向。第四节1 .主要内容：基变换与坐标变换2 .基本概念与知识点：基变换公式、坐标变换公式3 .问题与应用：正确理解和掌握基变换与坐标变换的关系。第五节1 .主要内容：线性子空间2 .基本概念与知识点：子空间、生成子空间3 .问题与应用：正确理解线性子空间的定义及判别定理；掌握向量组生成子空间的定义及等价条件。第六节1 .主要内容：子空间的交与和2 .基本概念与知识点：子空间的交与和3 .问题与应用：掌握子空间的交与和的定义及性质；熟练掌握维数公式。第七节1 .主要内容：子空间的直和2 .基本概念与知识点：直和3 .问题与应用：深刻理解子空间的直和的概念及和为直和的充要条件。第八节1 .主要内容：线性空间的同构2 .基本概念与知识点：同构3 .问题与应用：理解和掌握线性空间同构的定义、性质及两个有限维空间同构的充要条件。第七章线性变换（一）目的与内容L线性变换的定义及性质、线性变换的运算、线性变换与矩阵的联系、矩阵相似、线性变换在不同基下的矩阵、矩阵的特征值、特征向量、特征多项式、求矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵与它们的特征多项式的关系、哈密尔顿-凯莱定理、线性变换在某一组基下的矩阵为对角型的充要条件、线性变换的值域、核、秩、零度、线性变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系、不变子空间的定义、判定一个子空间是否是。-子空间、不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系、将空间1/按特征值分解成不变子空间的直和表达式、标准形的定义、最小多项式。2.本章思政融入点：通过对线性变换理论的教学培养缜密的思维和严谨的科学素养，以及培养勇于探索新知识，刻苦钻研的科学精神。通过对特征值、特征向量、值域、核等推理计算的教学和训练培养学生细心和耐心和精益求精的品格。（二）教学内容第一节1 .主要内容：线性变换的定义2 .基本概念与知识点：线性变换3 .问题与应用：理解和掌握线性变换的定义及性质。第二节1 .主要内容：线性变换的运算2 .基本概念与知识点：线性变换的加法、数乘、乘法、逆、幕、多项式3 .问题与应用：掌握线性变换的运算及运算规律，理解线性变换的多项式。第三节1 .主要内容：线性变换的矩阵2 .基本概念与知识点：线性变换的矩阵、相似矩阵3 .问题与应用：深刻理解和掌握线性变换与矩阵的联系；掌握矩阵相似的概念和线性变换在不同基下的矩阵相似等性质。4 .思政融入点：案例教学一一图像处理与几何变换。通过图像处理案例教学，培养学生理论联系实际的精神，帮助学生树立学以致用，服务祖国的远大志向。第四节1 .主要内容：特征值与特征向量2 .基本概念与知识点：特征值、特征向量、特征多项式3 .问题与应用：理解和掌握矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的概念和性质；会求一个矩阵的特征值和特征向量；掌握相似矩阵与它们的特征多项式的关系及哈密尔顿-凯莱定理。第五节1 .主要内容：对角矩阵2 .基本概念与知识点：相似对角化3 .问题与应用：掌握n维线性空间中一个线性变换在某一组基下的矩阵为对角形的充要条件。第八章欧式空间（一）目的与内容1 .欧氏空间的定义及性质向量的长度，两个向量的夹角、正交及度量矩阵等概念和基本性质、正交向量组、标准正交基的概念、施密特正交化、欧氏空间同构的意义及同构与空间维数之间的关系、正交变换的概念及几个等价关系、正交变换与向量的长度，标准正交基，正交矩阵间的关系、两个子空间正交的概念、正交与直和的关系、正交阵、用正交变换化实二次型为标准形。2 .本章思政融入点：通过对欧氏空间理论的教学培养缜密的思维和严谨的科学素养，以及培养勇于探索新知识，刻苦钻研的科学精神。通过对施密特正交化、正交变换化二次型为标准形等推理计算的教学和训练培养学生细心和耐心和精益求精的品格。（二）教学内容第一节1 .主要内容：定义与基本概念2 .基本概念与知识点：欧式空间、内积、长度、夹角、正交3 .问题与应用：深刻理解欧氏空间的定义及性质；掌握向量的长度，两个向量的夹角、正交及度量矩阵等概念和基本性质，使学生掌握各种概念之间的联系和区别。第二节1 .主要内容：标准正交基2 .基本概念与知识点：标准正交向量组、标准正交基3 .问题与应用：正确理解正交向量组、标准正交基的概念，掌握施密特正交化过程,并能把一组线性无关的向量化为单位正交的向量。第四节1 .主要内容：正交变换2 .基本概念与知识点：正交变换、正交矩阵3 .问题与应用：正确理解和掌握正交变换的概念及几个等价关系，让学生掌握正交变换与向量的长度，标准正交基，正交矩阵间的关系。第六节1 .主要内容：对称矩阵的标准型2 .基本概念与知识点：正交变换化二次型为标准型3 .问题与应用：深刻理解并掌握任一个对称矩阵均可正交相似于一个对角阵，并掌握求正交阵的方法。能用正交变换化实二次型为标准形。五、各教学环节学时分配×.教学环节教学时八'''''''讲课习题课讨论课实验其他教学环节小计第二章10212第三章10212第四章10212第五章810第六章8第七章8第八章404合计48664六、推荐教材和教学参考资源教材：高等代数（第5版），北京大学数学系编，高等教育出版社。参考书目：口高等代数，丘维声编，高等教育出版社。2高等代数，张禾瑞编（第四版），高等教育出版社。3高等代数，熊全淹编著，上海科学技术出版社。4高等代数学习辅导与习题选解，杨子胥编，高等教育出版社。大纲修订人：谭学忠修订日期：2020年12月25日大纲审定人：审定日期：