资料-曾谨言量子力学教程第3版考研练习题.docx

1练习题一、选择题1 .光子和电子的波长都为5.0埃，光子的动量与电子的动量之比是多少？（）中南大学2009研A. 1B. 3×10,°C. 3.3×10-11D. 8.7×10-21【答案】A【解析】由德布罗意波长公式0=%波长相同则二者动量大小必定相同，选Ao2 .考虑如图的电子干涉实验，电子从距屏为L的电子枪发射，屏上有两个特别窄的狭缝（缝宽为电子的德布罗意波长数量级），观察干涉图样的探测器置于屏的另一侧L处.如果电子枪向上移动（沿y方向）距离d,则干涉图样（）。中南大学2009研图1-1A.向上移动距离dB.向下移动距离dC.向上移动距离d/2D.向下移动距离d/2【答案】B【解析】分析未移动前位于屏幕正中间的点，令偏上的光线为a,偏下的光线为b,未移动前，a和b的光程相等，电子枪上移后，a在狭缝左边光程减小，b在狭缝右边光程增加，为保证a和b光程再次相等，应该使a在狭缝右边光程相对于b在狭缝右边光程增加，于是干涉图样只能下移.再考虑到狭缝与电子枪和屏幕距离相等，于是整个装置具有对称性，为保证a和b的光程相等，干涉图样只能向下移动距离d.1.上题中，如果电子枪开始以较太的能量向屏发射电子，则()o中南大学2009研A.干涉图样中相邻最大值之间的距离减小B.干涉图样向上移动C.干涉图样变蓝D.干涉图样消失【答案】A【解析】A项，由德布罗意波长公式人士以及K=KC3可知，当P能量E增加后，动量P增加，导致电子的德布罗意波长2减小，而干涉条纹间距XXQ因而增加电子能量将导致干涉条纹间距减小.B项，电子能量增加并不会对光程产生影响，故不影响干涉图像位置.C项，电子能量增加并不会改变屏的特征光谱，不会变蓝.D项，题中提到狭缝间距尺寸在德布罗意波长数量级，在电子能量变化不是很大时，电子波长应该仍与狭缝间距相当，干涉图样不会消失.1 .题2中，如果两缝之间距离加倍，则干涉图样中相邻最大值之间距离（）。中南大学2009研A.加倍B.为原来的四倍C.为原来的二分之一D.不变【答案】C【解析】设狭缝间距为d,则由双缝干涉条纹间距公式有条纹间距x=z,则显然当d加倍时，必定导致条纹间距变为原来的二分之一。d2 .题2中，如果每个缝宽度加倍.则干涉图样中相邻最大值之间距离（）。中南大学2009研A.加倍8 .为原来的四倍C.为原来的二分之一D.不变【答案】D【解析】设狭缝间距为d,则由双缝干涉条纹间距公式有条纹间距x=z,则显然条纹间距与缝的宽度无关，即条纹间距不变。1 .题2中，如果只有一个缝的宽度加倍（原来两缝宽度相同），则（）O中南大学2009研A.干涉图样消失B.干涉图样中相邻最大值之间距离改变C.干涉图样向变宽狭缝移动D.干涉图样的最大强度与最小强度之差减小【答案】D【解析】A项，缝宽度的变化并不会影响产生干涉图样的条件电子波长与缝的间距相近，干涉条纹不会消失.B项，同样由条纹间距x=5E可知，条纹间距也不会有变化.C项，缝宽度变化也不会影响光d程，干涉图样位置也不会因此发生变化.D项，只改变一个缝的宽度将导致从缝射出的两列光波振幅不同，因而最小强度无法变为0,最终导致干涉图样的最大强度与最小强度之差减小.2 .题2中，如果探测器置于某一狭缝的旁边，由此可确定某一电子是否通过该狭缝，则（）。中南大学2009研A.干涉图样向装探测器的狭缝移动B.干涉图样中相邻最大值之间距离改变C.干涉图样消失D.干涉图样变弱【答案】C【解析】由题意，通过该狭缝的电子位置将会由于测不准原理导致光子动量尸=5不确定，以至于电子波长和频率会受到极大干扰，从狭缝射出的光波将不再是相干光，而干涉图样产生的重要条件之一就是参与干涉的光必须是相干光，因而干涉图样消失.二、填空题1 .普朗克的量子假说揭示了微观粒子特性，爱因斯坦的光量子假说揭示了光的性。中南大学2010研【答案】粒子性；波粒二象性【解析】普朗克为解释黑体辐射规律而提出量子假说石=如，爱因斯坦后来将此应用到了光电效应上，并因此获得诺贝尔奖，二人为解释微观粒子的波粒二象性作出了重大贡献，这位量子力学的诞生奠定了基础.2 .对一个量子体系进行某一物理量的测量时，所得到的测量值肯定是当中的某一个，测量结果一般来说是不确定的.除非体系处于.O中南大学2010研【答案】本征值；定态【解析】物理量的测量值应该对应其本征值，对于非定态，由于它是各个本征态的混合态，这就导致物理量的测量值可以是它的各个本征值，测得各个本征值满足一定概率分布，只有当体系处于定态，即位于该物理量对应的本征态，测得值才有可能为确定值.三、简答题1 .什么是定态？若系统的波函数的形式为WJ)“(x)e普+似x)产，问+(X，D是否处于定态？湖南大学2009研答：体系能量有确定的不随时间变化的状态叫定态，定态的概率密度和概率流密度均不随时间变化.不是，体系能量有E和-E两个值，体系能量满足一定概率分布而并非确定值.2 .试表述量子态的叠加原理并说明叠加系数是否依赖于时空变量及其理由。南京大学2009研答：量子态的叠加原理：若例gg,q为粒子可能处于的态，那么这些态的任意线性组合仍然为粒子可能处于的态.叠加系数不依赖于时空变量.因为量子态的叠加原理已经明确说明了是任意线性组合，即表明了叠加系数不依赖于任何变量。四、计算题设一维谐振子的初态为口U)=cos；*)+SinV3,即基态与第一激发态叠加，其中。为实参数。(1)求t时刻的波函数(x,t)。3 2)求t时刻处于基态及第一激发态的概率。(3)求演化成(x,0所需的最短时间tmin。中科院2010研解：(1)一维谐振子定态能量和波函数：En=L4n(x)=>2Hn(ax)w=051j2,-,任意时刻t的波函数可表示为AXM=ZC<x)e"%It已知t=O时刻的波函数是Mx,0)=COSyo(x)+siy<I(.Y)由Cn=J(Xw(X,0)dr得，C0=Cos-J>G=SiIIq在n=O,l的本征态的相应能量分别为：Ezh,Eh则任意时刻t的波函数可以表示为/、0tZ,/、-i30r(xd)=cosyo(x)<?z2+siy1(x)ez2(2)t时刻处于基态的几率为ICOl2=cwJ,处于第一激发态的几率IgI2=SilI29(3)设时刻粒子的波函数是VZ(X/)=，(X"),即cos0(x)e+siny1(x)e-iX(n=1,2,3,.)=gT2T(cosgo()e÷siny(x)e%可得也：=也T(2T)小解得&=码土22所以当n=l时有最小时间，即仁=巴.2练习题一、选择题一维自由电子被限制在X和x+Ax处两个不可穿透壁之间，Ax=0.5埃，如果Eo是电子最低能态的能量，则电子的较高一级能态的能量是多少？（）中南大学2009研A. 2E0B. 3E0C. 4E0D. 8E0【答案】C【解析】一维无限深方势阱中能级公式为瓦=E莒，则可知，较高级能量与基态能量比值为三21=4,由题意，基态能量为马=与，则第一激发态能量为E1E=4Eo二、填空题1 .自由粒子被限制在X和x+1处两个不可穿透壁之间，按照经典物理.如果没有给出其他资料，则粒子在X和x+1/3之间的概率是O中南大学2010研A.025B.033C.OilD.067【答案】B【解析】按照经典力学，粒子处于空间的概率密度为常数，故概率与体积成正比，即所求概率为31 .上题中，按照量子力学.处于最低能态的粒子在X和X+1/3之间被找到的概率是。中南大学2010研A. 019B. 072C. 033D. 050【答案】A【解析】取X为原点，则有波函数为()Esin竺Vaa所求概率即P=MX)I%=gs号书.gin牛)上；普0.19COK)三、计算题1.在一维情况下，若用Pab(t)表示时亥IJt在a<xVb区间内发现粒子的几率.(a)从薛定调方程出发，证明也L=J(a,t)-J(b,t),其中J(XQdt是几率流密度.(b)对于定态，证明几率流密度与时间无关,华南理工大2009研解：(a)设t时刻粒子的波函数次羽t),波函数满足薛定谓方程：ih-(x,t)=H(x,t)=一今力+封(a)卜XM(1)对(1)两端取复共配得,一访 (x,r) = H(,t) = f-方2、-V2+F(x)x,t)(2)2")做运算x3t)×(1)-(xtt)X(2)得6方2ih(xMx)=-(x)V2v<x)-(x9t)y2(XM)fc2=-v(XMVx,t)-(x,t)V(X,)上式两边同除以法移项得,8访-(M,r)-V(x)VMxM一欢XMV(x)=0则几率流密度公式为JaZ)=二1"凡t)V"(x,t)-向凡t)V¾Xx,t)I2?WL上式可表示为Iy(XM*m)-v龌，。=0,两端积分得:MX川-fvtx,t)=0又由于t时刻在区间(a,b)内发现粒子的几率为:X,tx,t)d代入上式可得,誓“(曲(b)对于定态波函数M&txax”-，代入几率流密度方程j(xst)=-IXXSt)V(x,t)-(x,t)Vx,t)I可得，2wljJ(X)=京dx)V/(x)-(x)VaX)是一个与t无关的量，故定态的几率流密度与时间无关.2.证明(X)=A(22x2-l)°十丫是线性谐振子的本征波函数，并求此本征态对应的本征能量.式中A为归一化常数，°=疯河华南理工大2009研解：已知线性谐振子的定态波函数和本征能量为n(x)=Nner-ffn(ajc)，En=+：)方w=0,1,2,A；=L§加Zf0(ar)=1,Hl(ax)=2axfH2(ax)=4cx2-2,本题中波函数K)=.4(2a2x2-1)”"?=(4a22-2)e"2=yH2(ax)eia=-v(x)Jv41，2所以河X)是线性谐振子的本征波函数，对应量子数n=2,因此容易得到其，本征能量为与=於01.质量为m的粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动.(a)建立适当的坐标系，写出哈密顿算符，求解定态薛定谓方程.(b)当粒子处于状态(x)=*1(x)+f2(X)时，求测量粒子能量时的可能取得及相应的概率.其中(X)和2(X)分别是基态和第一激发态.(C)若上式的(X)是t=0时刻的波函数，求粒子在其后任意时刻的波函数.华南理工大学2010研解：(a)如图建立坐标系，V=coVcoOaX图21设2)=(°，°"<。，哈密顿算符育=四三+U(X),X<0,X>aldx"波函数M然)满足薛定谤方程-上尸+尸(工)AX)=E欢x)当X<0,X>Q时，(x)=0;-2»2当OVX时，-(x)=E(x)ldx令k=凿,则今H+A<x)=0的通解可表示为(x)=Asinkx+Bcoskx利用边界条件VZ(O)= O,欢) =0得,5=0,k=-,w =1,2,3,.欢X)=MSinhaX<0,x >a对应的定态能量为纥=舞=12由归一化可解得M=J2,定态薛定月方程的解为2.nsinX,0<X<0,(b)当粒子处于态3()=g弘(X)+乎必(X)时，能量的可能值及几率为：E=0,几率1/4；M=尘土，几率3/42aa(C)任意时刻t的波函数可以表示为下面形式F(X,r)=CM(x)e%，其中Cfl=J%；(XK(X,0MX，在此题中G=1，C1=-22故任意时亥IJt的波函数3(；M)6(x)c*%+乎的(X)JiE%其中与=容，居=邛，laa3.粒子的一维运动满足薛定调方程：嘴=W翳"（I）若（X,t）和2（x,t）是薛定谓方程的两个解，证明P1,（二/）2（xMr与时间无关.0（2）若势能V不显含时间3用分离变数法导出不含时的薛定谓方程，并写出含时薛定月方程的通解形式.华南理工大学2011研解：i咚W=C-N'+聆认(1)证：Ct27afe2由”,=(-V2+Ov/.tIm取式（1）之复共朝，得一访C”；=（一±s+w;ctIm的0)加嫡,P,-!¾-)(叩"WW/M:-百树OT加殿哈帆-阳顺+(M).(叱)at,2膻A：f力'f二-；|'部ME/M)卜-丁版叫'-而MW2w,价.呦掘,阮今0)即>(r>2(r)at'=O所以与时间无关.设“(2)=)f(r)代入薛定谓方程,分离变量后,得扁焉可EE为既不依赖3也不依赖r的常数.这样，ln/(O=-dt所以/(0UXP(THr',)因此，通解可以表示为以尸J)=We8exp(-Eh)其中，心(尸)是满足不含时的薛定谓方程-匚?+，&)&)=E”()Im4.考虑一维双3势阱：V(x)=-V0(x+a)+(-a),其中Vo>O,a>0.(1)推导在x=a处波函数的连接条件.(2)对于偶宇称的解，即(-)=(x),求束缚态能量本征值满足的方程，并用图解法说明本征值的数目.华南理工大学2011研解：(1)薛定垮方程可表示为-2r=EjcFOb(X+4)+F0<5(x-)Mm为粒子质量，2mdx'x=±4为方程的奇点，在x=a点处不存在，表现为“不连续。对上述方程积分了曲e(T得出42W)-“)=一厂F0"()n(2)由题意知当x>a时，k位=0,其中左=J-翳考虑到束缚态,因此解为W=X。七当aV<a时，一左»=0,其中左=J篝考虑到偶宇称,因此解为结合x=a处的边界条件和此处的波函数连续条件，可得J-kAgTCk号-CkEg)=-VAexaXc-s=C0i3+Cc化去A,C后可得，k产=*%(产+1)次=J爷此即能量本征值所需要满足的方程.图22所以满足此方程的本征值只有一个.5 .验证球面波打(O)=久海满足自由粒子的薛定诗方程：访尹n)-iv2(r,/)t2m(注：BrLf)C晚，其中比代表仅与角度有关的微分算符)北r*errr京航空航天大学2008研解：与P(X)，毕戊rhWyC*(-=-(2)故i±£gGQ=a(1)2*Ct£明(rj)= 4-cr厂r(-fly2cj-,i(j9r-Et2xdP.471eh+-ej'rh则Al1d,6匕Id,lipr'-In.1r.z1.ipIn.xf4,.ipr'In.1.ipIn.,=_(?_M>)=(-4-W)=-r(-M>+2M>)+-2+(-M>+M>)r*drcccrht'rhhhrh4z1="i-：M>A-故.±-au=2(2)Zjt'm2mZ=E(3)2m由(1)(2)(3)式可得i±J)Gj)=.上L"=A.),此即2t8*w2以2由所需证明方程.6 .一粒子在一维无限深势阱U(X)HrX<g>20中运动，求粒子的能级(0.OSXS2。和对应的波函数.湖南大学2009研解：由一维定态薛定谓方程有一二二吹X)=EXX)(0<x<2a)2dx*又在边界处应该满足连续条件打、9(0)=<f2a)=0