圆锥曲线问题的优化解法 论文.docx

圆锥曲线问题的优化解法有关直线斜率之和(积)为定值的问题摘要：研究圆铮的畿中因动直线而产生与斜率有关的定值问邈，涉及斜率之和、斜率之积两类定值问题。关键词：圜推曲段立线斜率定值根据新课程标准，近年来，解析几何考察直线与圆，直线与阴锥曲线的问题较多，常常与三角、向量、函数导数、不等式等知识相结合，求解弦长M、面枳S,直线斜率K等几何特征量的最值与定值问题.而定值问题直是高考中的高频考点问题之一,本文围绕圆锥曲线中有关直线斜率之和(积)为定值的问题进行研究。解析几何问题的解题策略和方法很多，但出发点不外乎两个方面，一是把几何问题进行代数化：二是解法的优化设计和运算的简化措施。详细来说要回归定义，彰显本质：然后巧设方程，优化解法：整体代换，简化计算.为此本文以两道解析几何题目的教学为例，介绍一系列斜率之和(积)为定值的方法，供参考。一斜率之和为定值例1.已知椭圆G+E=i(a>o>0)的离心率为且，且过点月1).若巴«*b'2。是桶圆C上的两个动点，且使N%0的角平分线总垂直于X轴，试判断直线w的斜率是否为定值？若是，求出该值：若不是,请说明理由.此题是一道把直线和圆徒曲线结合到一起的踪合题，对大多数人来说并不困难，但是要把题目中的思想提炼出来还是不容易的。所以41,+=crr£.73t2a2=b2A-C2解：方法一：因为椭网C的离心率为半，且过点A(2,D,解得J“：”所以椭圆C的方程为+三=1,因为NPAQ的角b2=282平分线总垂直于X轴，所以PA与AQ所在的直线关于直线x=2对称(从这里提炼出两条直线的倾斜角是互补的).设直线PA的斜率为k,则直线AQ的斜率为一k所以直线PA的方程为y1=k(x2),直线AQ的方程为y1=-k(x2).y-1.=(x-2)由1y2f(1.+4A2).v2-(16*2-8).v+I62-16-4=0一+=182=(16fc2-8k)2-4(1+42)(16k2-16fc-4)>O因为点(2,1.)在椭圆C上，所以x=2是方程的一个根,.1.1.*I6X:'_16A_4m8A'842炳二F1.所以M=FP-FqiJn8-+8A-21.-1-1.,1.1616-4同理'所以Kf=-F小+/=又3A-Cv1+高,所以直线PQ的斜率1.=岩弓所以直线PQ的斜率为定值，该值为1.2方法一分析，解法说明解法1利用“斜率互为相反数”这一条件,设出两条直线方程,得出坐标，然后求出所求直线斜率,这类方法比较直接；当然也可以先设出所求直线方程，再借助“斜率无为相反数”这一条件建立等式,通过研究恒等式求出定值。是大部分学生会采用的方法，这是最直接的利用直线与椭侧方程联立，由Ii达定理得出M+xz,x2,然后斜率之和化简出韦达定理然后代入求解，在圆锥曲线的粽合问题中，这种用到韦达定理是我们求解基本他的常用方法，也是我们想到的一般方法。但是这种方法计算相对更杂，而学生常常写出韦达定理之前也会忽视判别式大于零，接卜.来对定值问题还是克无头绪。这里将介绍一种惯用通法。对所有两条直线中斜率之和(积)为定值的通法。法二：因为椭圆C的离心率为g,JI过点A(2,1.),2，解得上：=8,所以椭圆C的方程为1+I=】/r=282直线PQ不过(2,1)故直线M可设：m(x-2)+n(y-1.)=1./m,n不同为零)设点尸(司,切入。电，力)ZPAQ的角平分线总垂直于X轴，所以PA与AQ所在的直线关于直线x=2对称.设直线PA的斜率为I，则直线Q的斜率为&.比=日3若1+k2=0化(+=为生誓+“嗯=1化简椭圆令它与前2,1)联系到一起)化煤+吟立+1+y1=。8ZZm(x-2)+n(y-1)=1直线方程与椭圆联立：“1”的整体代换进行齐次化m+F+Nz+(y)mg2)+n(ye=oQ+D(X2)2+(I+n)(y-I)Z+C+m)(X-2)(yT)=O两边同时除以(x2)2巧妙之处在于发现PA的斜率为自、直线AQ的斜率为的正好是方程的两个根G+7)+G+n)fe2+G+m)fc=°k1.+k2=-j-=0,则,+m=O代入直线方程：一式X-2)+n(y-D=I此时直线斜率为:例2(2017全国卷)设A,B为曲线Uy=?上两点，A与B的横坐标之和为4(D求直线AB的斜因;(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且求直线AB的方程。分析：设A(X1.,%),8(*2，”)，乂(对,加)，由<M1.BM,即有以MAbm=泞七冷=一1由此可构造齐次式X1.XM*2-XM解：(1)略解，得直线AB的斜率为1设M(MyM),由y'=条且在M处的切线与直线AB平行,得当=1,则XM=2,yw=1.故M(2,1.)设直线AB的方程为m(x-2)+n(y-1.)=1.,因为直线八B的斜率为1,易得m=-n由y=变形为(y-1+1)=丝誓,1.(y-1.)+1=0Wi整理得:4(y-1)=(X-2)2+4(x-2)联立直线AB,齐次化得4(y1.)(>n(x-2)+n(y-1)=(X-2)z+4(%2)|?n(x-2)+n(y1)化简得4n(y-I)2+(4m-4n)(x2)(y1)(1+4m)(x2)2=。两边同除(X2)z得：4"*)?+(4m-4n)(公)(1+4m)=O1.AM1.BM,所以以mcbm=2i1.泻=一1，得4m-4n=T联立.二求得m=-Q=-代入m(x-2)+n(y-1)=1,得直线AB得方程为x-y+7=0.重心放在过程分析上，针对题目中每一个环节反爱地进行比较、分析，培养学生会独立思考、真正会解题的能力。重点从转化和运算这两个方面，进而帮助学生突破学习中的难点重点，特别强调让学生选择最佳的运兑途径，不断优化自己的运算策略，从而形成较为简洁的运算思路.在教学过程中，留给学生充足的时间，多想、多整，不断渗透数学直观感受、数学抽象思维、逻辑推理技巧、数学运算等众多数学核心素养以学生的主动学习为基珈，教师进行针时性的教学.首先，学生是学习及认识的主体：其次，学生.的学是教师教的出发点和典宿.那么，如何激发学生主动学习的枳极性呢？我认为，问题的精心设计是前提，导学分析得当是关键.数学家哈尔斯说:“问题是数学的心脏而我们遇到的圆锥曲线中的斜率概念是核心概念，它用代数形式刻画了直线的位置，大多圆锥曲线的性质都涉及斜率.其中，斜率之和（之枳）为定值的何题在教材中经常以例题的形式出现，但并没有“点破”随娥在问题背后的本侦规律，我们都知道要“用教材教”,那么,而对“还在迷惑”的学生，教师应如何设计，设计怎样的问廖？才能激发学生主动思考，去探索，去一步步拨开迷雾，发现题目中隐藏的立相？结合实际中的教学尝试和教学反思，认为问感的设计要做到以下几点.1.将火力集中在题目的中心思想上去，不能“灵机动”斜率之积为定值的问题并不是教材所给的教学内容，将这个问题渗透在平常的圆锥曲线教学中，碰到相关的问即时想到了就提一下，结果造成大面积学生理解不够透彻，知识框架凌乱，碰到类似问题也不懂得应用.容易出现教师自Ci感觉讲了很多遍，但学生还是不清楚，教学效率低下的情况.与其这样东梆头西棒了，还不如集中精神，设计好系列相关问题，所以教学中要花费两课时的时间去给学生渗透，让学生得到较为深刻的理解和记忆，而在平常碰到类似问题时，则适当点拨提醒，鼓励学生应用所学的新性质解决问题.2.要“铺设台阶”,不要“步登天”大部分学生都觉得圆惟曲线问题难度较大，不少学生经常逃避这类问题，因此在设计斜率之和（之积）为定值的问题时,从教材中的问题抛砖引玉提出，由特殊到一般，从具体到抽象，采用问题链的形式，多铺设几个台阶，让尽量多的学生能跟上步骤，也保持学生进一步探索的信心.笔者反对过早提出总结性的结论，因为这样做会让学生缺乏逐渐发现、逐渐认识的过程，摆在学生面前的性质结论只会成为空洞的,冷漠的一堆数学符号，教学效果可想而知.笔者也反对不顾学生的理解水平，拔高结论的理解层次.例如，本文所提的斜率之枳问题,站在更i的角度看，是几何中的仿射变换问题，但这对许多学生（个别尖子生除外）来说，不但超出了理解水平，增加了学习负担，还影响了其继续学好解析几何的信心.笔者认为，通过在“最近发展区”内不断设计好问题，让学生积极尝试，发现性脑，并能用类比圆的思想来理解和记忆椭圆和双曲线中的新性质，就可以了.3.要“前后类比”，不要“顾此失彼”圆锥曲线中斜率之积为定值的性质比较多，椭圆和双曲线中都有性质，并且既有弦的情形，又有切线的情形，倘若不注意，不从诸多性质的内在关联和难易变化中精心设计问题的瞅序排布，则容易让学生产生混相，顾此失彼，也记不牢.特别是圆锥曲线中斜率之枳问题的专题教学存在学习难度较大、结论较多情况，所以教师在“导学”过程中应注意以卜一几点.（1）要注意数形结合思想的强调.（2）亢借助信息技术来辅助教学.（3）引导学生从般和特殊的联系观点来思考问题.（4）应注重学习的螺旋式上升，避免攫苗助长.圆锥曲线中斜率之和（之积）为定值的问题属r难度较大的教学内容，预设得再好，在实际教学中也可能出现预想不到的困难.预设问邀碰到学生冷场时，可.以适当调整问题难度，退到较为简雌的特殊情形，唤酣学生的思维，等待学生意识到前后两个问题间存在某种关联时，再次对原预设问题进行攻坚突破,这也是一种以退为进的策略.当然，若是退一步，学生还接受不J',则应战略性地放弃，将宝贵的教学时间放在其他问题的突破上，因为有舍才有得.例如，在本课例的设计中，部分例题和变式题的难度较大，部分学生一卜子接受不了很正常，可以先放一放，让学生在后续的学习中再慢慢消化，融会贯通1仲航涛,郭守旺.指向核心*养的解数第咯研究ISfIt曲线中舒军奖问卷的统一小法J.中学数华，2018(21)：58-59+61.2宋东胜,邓城.“问老导学”救学模式下IS伙曲及中斜率之机问题的技学堂例及反思J.数学教学通汉,2018(12):8-12.3王佩成.S推曲域中立国过定点问怨的计算技巧与策略理科专试研.2020.27(23):26-29.