微专题提优讲义6 两曲线的公切线问题答案.docx

京-m=61nx0-4x0.'xoO.*xq-I.阳=5.，(X。)=h(凡),即'If(Xo)=h'(x(>),微专题提优讲义6两曲我的公切战问题两曲线的公切线问题是高考的热点题型之一.其中单一曲姣的切线问迎和对荷单，但两曲线的公切线问邈相对较复杂,其解邈关穗是“公切线”这一条件的转化，即f'(x1)=g,(x2)x0e(X2).X1.-X2具体做法为：设公切蟆在y=(x)上的切点片(8/(苟)，在y=g(x)上的切点E5送«).则r)=内s)="止丛A一.共切点的公切线问题【例1】已知定义在0.48)上的函数/(幻=.r-zrt,<)=f>n-4x.设两曲线y=f(X)与¥=/，(.»)在公共点处的切战相同，则”，=5.解析：依题意，设曲段)=/(*)与=/?()在公共点<*(>,»,)处的切线相同.>()=/n.h()=61.n.r-4x./(.v)=2xh'ix)点评求共切点的公切”的一般思路：设两曲理的公共切点孔C.网)：列关系式h(XU)，未公共切点凡的楼生标X0,再代人>=f(X)y=h(x),求帜3(X0)=h,(x0y,所求公切线方作为y泗=/CS)(x-xo)y->=,<.rn>(a).二、不同切点的公切线问JS【例2】(I)已知曲战/=/+<“+：在X=O处的切线与曲践g*=-1.n相切，则a的值为一e；(2)已知/Cr)=<?(C为白然对数的底数).S(X)=InK+2,直线/是/(x)与&(x>的公切线，则直线I的方程为-CEjr+1.解析：(I)由/(x)=r'+r+;.得/(K)=3+,.,f(O)=«./(0>=%，曲比y=/(K)在X=O处的初级方程为y：=ov.设直歧与曲找,g()=-In相切于点(Xo.,(-111XOT=ax。_,»1.n.t>,g,<x>=.,杯代入得inxo=：,二-xa=：*%1一工-=-e.(2)设/与/Cr)=8的切点为(x,V.).JWy=e./<.r)=cr,所以/(M)=ex>.所以切点为(x.ex<).切线斜率*=ex>>所以切线方程为v-e*=ex><x-x),即y=e*>-x.re*1.÷ex,同理谀，与g()=InX+2的切点为(、*.»).所以.V2=1.n&+2.又g'(x>=1.所以g'(M)=-.：'1.nx:+2).切歧斜率A=1.所以切线方程为Vxx1.xI()nx；+2>=<-Xi),即V=1.K+In.q+1，由题意知，与相J,所以*Z,aex*=X2=e1.t,.如把代入有一MeA+eM=-+1.,即<-1.)(e1>-1.)-x1ex>+ex>=1.nx2+1.=0,解得M=I或X1.=Q.当X1.=I时,切段方程为)=3:当X1.=O时.切线方程为y=x+1.券上.直线,，的方程为>=ex或y=x+1.点评未两曲伐不同切点的公切我的一般思路：分别设出两曲我.的切点P1.G1.y1).P2<.立：分别求两曲我的切找方包F=rC).'i=h2():由公切战转化为两切段方程时应项系数如同，列方代如消元求解内或依，再求公切”方糕.三、公切线条般的判断【例3】曲线¥=一：<.t<0)与曲观V=InK的公切战的条数为I.解析：设5.1.)是公切线和曲发>=-2的初点,。切或林季h=(-i)'I=.切我方号为f+2=21.xi)整理得y=g-f.设<xj.V2>是公切鼓动曲线y=1.nx的切点，则切段会率A2=(Inx)"=1.切,、；、I”：-1.'-2>,MViv-A-Inx-2X2×2×22=J1.4一I.令八"消去刈得一<=nxj-,设，=->0EP21.n-1=0.只-=1.nx2-1.必t*】需探究此方程解的个数.易知函翻/Cr)=21nx-；-1.<0.+)上是增函数./(I)=-3<0,/(c)=1-；>0,亍是f(x=0有唯一侪.于是两曲线的公切段的条数为1.点评两曲找公切姣条数的判断方法：由两曲找公切线的几何特征.构这号量关系式f<r>=g'(X1)=1.Wf:解上述方程蛆：当无解时，两曲线不存在公切蛾：当有*1.-x2一解时，刻公切”只有一条：当有两个不同的蹴时，则公切线有两条.M训练I.若直线I与曲线y=;和圆x2+y2=4都和切,则I的方程为()A.y=2r+1B.)=2+C.v=r+1.D->=%+；解析:易知友我/的率存在.设直安/的方程,二云十从则滞G=乎.设直线)与由线y=也的切点坐柞为(>,u)(xo>0).则yx=U=-g=*，y>=kx+b，由<可得>=R,将b=,代入得必=I或冲=一点舍去>,所以=1>=；,故宜我/的方程y=r+*e11?31.nx0.曦解得A=C.2 .已知函数/(x)=等+5g<x>=31.nx,若H线/与曲线y=(x)及y=g(*)均相切.£1切点相同，则公切线/的方程为VwX.解析：设切点坐标为,V0),由"9'x°fIf(X0)=g'(o),所以>1=3Inxj1.=3,故切蝮方程为y-3=)(Xe),即>=2t.3 .己知函数/=21.nx,K<x>=-r-i(«>0),若直线)=2-b与函数.v=f(x),y=(X)的图象均相切,则=:.解析：/(X)=j.设直线>=2x6与中线F=/(X相切亍点(M.21.nx>.则康=2,所."，1，1.0),所以。：；,：2v2.1;)-：.v)ar.(a>0)联立得d-3x+g=0.所以A=9-4<xg=0,所以a=g.4 .已知/(x)=c'7(C为自然对数的底数)NX)=Inx+1.请写!(x)与g(x)的一条公切线的方程./(x)汨初1点(m,-1.),可g(x)，口陪点(".1.n"+1.),.(.t)=e,.g'(x)1.，公切线制率Kc"1.Xn，公切爱方4:y-c"+1.=c*'(x-tn)?Xy-1.nrt-1.=-(x-n),n整理可：y=c',.v-(n-1.)c'c-1.或y=-x÷1.n?.nc*=-fm=-1.n(时+1.=-n;1(")Cmnn.(m-I)c'+1-/«=(/M-1)(c'-1)=0.窜修：”，=1或，”=0.二公切发方程为：.v=e或y=.5 .已知直线/与曲线y=c，、y=2+1.nx都相切.则电线/的方程为.详解：由y=e，徉)，=/,设切点为ke、)，所以切线的斜率为八，T.IE1的方程为：y-e,+ex(I-X1)1由)=2+InK，izi,.(.r,.2+1.n.t,),所以切线的；-率力,x均则三表1的方程为：y=-1.+1.+nx1.2所以c'='-.e,'(I-X1)=1.+1.nx,.消去X不卜,(1.+1.nxJ=0,故&1或Xs=1.所以直线1的方程为：F-X+1或y=歙.故答案为：y+1.或产就C6 .已知曲线)=1.u+1与y(x)=-x+11有公共切观，则实数。的取值范围为.解析:设切鹿与f(x)=1.nx+1.相切于点P(xO.InxO+1),f'(XO)=A切或方程为丫一11y="x+1.nx./1(1.nx+1.)=-(x-x),PFy=-x+1.nx.联立x得x2-1+珠卜+y=x2-x+aa-InxO=O.-Ka-InxO)=0.畦+Hf+41nxQ=0.即4a=+4+1+4InXo有怀,令小(X)=W+=+1+4InX(X刈)，z(x)=-+1=：1.x2-x2XUX4AXOK/Xu2(2x+1.)(x-1.),当e(0,D时,()<o,当Xe(1,十8)时,(x)>o,a(x)在(O.1)上单调堤辎,在(】，+)±*,(x)in=(1.)=d,又X-+8时.(x>-+.4>(x)的值域为4.十8),所以4aH4.HPaN1.,故宾数a的玳值范怎是1.+8).