教与考衔接3 二次求导法在解决问题中的常见类型答案.docx
教与考衔接3二次求导法在解决问题中的常见类型例密展示【例】(1)证明：当OVXV1.时，-2VSinX<x：<2)已知函数f()=e'-ax和g(x)=axInx有M1.同的蚣小假，求a.解：(”汪明：要证X-X?VSinXVX.则构道g(x)=x-sinX,h(x)=SinXx+x，-易得g'(x)=1._cosx,则当XW<0,1>时.g'(x)=1cosx>0,所以g(X)在(0,I)上单调递增.所以g(x>>g<0>=0.所以SinXVX.由h(x)=sinX-x+x:,得N(x)=cos-1.+2x.令m(x)=CosX-1+2x,J1.1Jm'(x)=sinx÷2>0.所以h'()在(0.”上单调递活.所以h'(X>>h'<0>=0.所以h(X)在()，1)上单调通结，所以h(x>>h(0>=O.所以x-2VSinX.综上所述,Xx2<sinx<x.(2>f(X)=ex-a.g'(x>=a-i若a<0.f(X)>0在R上恒成立.f(X)在R上单,送中，BPf<x>无最小值：若a>0.当x(-«>.Ina)时.f()<0,f<x)单调选辎.当x<1.na.+)时,f<x>>0.f(x>单型堂增.f<x)在x=1.na处取得最小值f<1.na>=a-a1.na.当xG(o.J时,g<x)<0,g(X)单调递减.当xQ,+8)时,g(X)>0,g(X)单调球增.g(X)在X=：处取得最小值£(：)=1+如a又f(X)与g<x>有相同的最小值，a-a1.na=1.*1.na.a>0.设h（八）=a1.na+1.naa+1,a>0,则h'（八）=+1.na,令中（八）=h,（八）R1J,（八）=-g+g=Ma>0.当a(O,1时，O（八）<0,h,<a)单调递减.当a£(1.+"O时,<a)>0.h（八）单调通招.h,(a>在a=1.处取得最小值汗(1=1>0,则当a>0时,h*<a>>0恒成立h（八）单湖逐增.又h（1）=0,a=1.解法探究求解此类问题时，一次求导后往往不易或不能H接判断原函数的单调性，从而不能进一步判断困数的极值、Jiiffi等性质,偌要二次求导才能找到原函数的单调性,进而解决问题.下面介绍二次求导解决问题的步骤：（1）求函数f（X）的定义域：（2）求函数f（X）的导数r（X）,无法判断导函数正负；（3）再构造函数g（X）=f（X）（f（x）中不能标定正负的式子）二次求导.即求g（X）：（4）列出X,g'<x>,g（X）的变化关系表：（5）根据列表解答问题.二次求导法解决问题的常见类型类型1利用二次求导求参数的值（范围）【例I】已知关于X的不等式21.nx+2（1.-m）x+2WmX1.在<0,+）上恒成立，则整数m的坦小值为D.4解析：B.2nx+2(1.-m)+2WmX=B÷£=二'=，2，XjS2x+*2=一2*2.今r(X)=0得+2InX=。.÷g(x)=x+21nx,由g(x2÷3x><x,42x(x>=1.1.>1.,gIX)在(0.+8)上是墙的数.设存在xoG(0,+),使得x0+2InXO=0,Vg<口=+1.nJ<O.g(1)=1.>0.>(.I).则在x<0.1>>时.g(x)<0.即f(x)>0.f(x)单调逆增.在XW(x1.,+8)时,g(X)>0,即f(X)<0,f(X)单调球戳.二当X=M时，f(X)有最大值f(x0)黎=热=J1.G(12),要使mH吗誓在0,+8恒成立，则mN2,整我xj*2×o×0Xo*2>%x242xIn的最小值为2.类型2利用二次求号确定函数的单调性【例2】已知函数f(x)=-e当x20时，fG)<品，求a的取色范例.解：台题设心0,(x>W康若aV0,则当x>一：时.ax+1.<0f<x>S三Y不值成立；a0则ax+1.>O.f(x)-«<ax+1.)(Ic*)-x0.ax+1.令S(X)=(ax+1.)(1.-e')-,则g(0)=0,g,(x)=c'x<ax+1.-a)+a-1.4÷h(x)=e1(ax+1a)+a-1.h(x)=e-x(2a-1.-ax),.NO.当OWaW1.时，2a-0,从而h,(X)0(仅当x=0.a=)取=").Ag(X)在O,+)内单调逆减，g(X)g,(O)=0.g(X)在O.+>内单同遑减，g(X)WS(O)=0.因原不等式成立.当a>g时，2a-1.>0,令h'(x)=O得从而当OVXV42后，h'(x>>0,此时g,(x>在(O.内单调盘增.g'<x>>g<(0)=0.g(X)在(0,平内单调递增，g(X)>g(O)=0,f(X)W岛不恒成立.练上可知.a的取值范围为0.勺.类型3利用二次求导证明不等式【例3】已知函数f(X)=(x+1.)1.n-+1.证明：(-1.)f(x)0.证明：令F(X)=<-)f(X).要证明F(x>>0,只需证F(X)mn0.因F'<x>=f<x)+(X-I)f(X)=<x+1.>1.n-+1.÷<-)<1.nx+->=2NmX-(+i)+2,XX显然当X=I时,F<x)=0.当O<x<1.时.x+i>2,Inx<0.F(x)<0,F(X)在XW(0.)上单调速网；X当x>1.时.x+>2,1.11x>O,F<x>的符号仍不能判七求二阶导数珞F"(x)=2Inx+1.*(),从而F<x)x>1.时单调递增.F<x)>F<1>=0.F(x)x(I.+»上单调逸增.所以当x=1.时，F(X)11m=F(1)=0,故F<x>£0成立.故原不等式成立.高考的其他考法已知的数f(X)=In(-1.)-a,1Ina.a>1.(1)若函数f(X)在x=2处的切线的斜率为1.-e,求实数a的值(e是白然对数的底数)：(2)若函数f(X)有且仅有两个零点，求实数a的取值范用.解：(1)因为f(X)=In(X-I)-a'1.na,定义域为(I,+),故r(x)<1.na)2,R1Jf(2)=1a(Ina)2=1.-e.即a(In能)*=e,所以1.na(Ina)口=Inc.即Ina+21.n<Ina)=I.令m=1.na,JHm+21.nm=1.又因为y=m+21.nm在<0.4*8)上是不函数,且当In=I时，yx-m+21.nm=1.,所以m=1BPIna=I.所以a=c.(2)因为函静(X)有且仅有两个零点.-aIn<xI)-a"Fna=O有且仅.有而个大于I的实数粮，又a*1.Ina=In(-).则<-1.)ax,ha三<->In<->.即(X-I)In(x-1.)=at1.1.na*',令F(X=KInX.SIF<x>=Inx+1.三F'<x>=0<x=当x>：的，F<x>>0,当OVXV;时，F(X)<0.所以F<x>(0,上单调爱减且F(X)<0,在(1.+«»>上单调透活且XW<1.+>时F<x>>0.e又F<a,1.>=F(-1.>.a1.-1.>1.,则F(at,)>F(1)=0,则F(-1.>>0.-1.>1.所以a''=-1.即Ina=TF-令Q(X)=当<x>1.>,则Q1<x>当x>c时.Q,(x)<0.当1.<x<e时.Q,<x>>0.所以函ISQ(X)在(1.e)上单调逐增.在(e.+-)上单调递送.Q<e>=；.yO1eX当+o0时.Q<x>>0,且无限於近于0所以OV1.na%所以1<a<,歌a的玳值范图为（I,左）
