积分中值定理的推广及其应用.docx

摘要错误!未定义书筌.关键词镣误!未定义书筌.AbStnUt错误!未定义书签.Keywords错误!未定义书签.前言错误!未定义书筌.1 .积分中值定理I1.1 积分第中值定理11.2 积分第二中值定理22积分中值定理的推广42.1 积分第中值定理的推广42.2 积分第二中值定理的推广63积分中值定理的应用83.1 积分第一中值定理的应用8用于确定数列极限8用于确定函数极限83.1.3用丁判别级数的收敛性错误!未定义书签.3.2 积分第二中值定理的应用错误!未定义书签.定理的直接应用错误!未定义书签.积分第二中值定理在不等式中的应用错误!未定义书筌.参考文献错误!未定义书签积分中值定理的推广及其应用摘要：本文根据讨论积分中值定理及其假设干改良与推广彩式，结合积分中值定理及其推广形式的和美证明，例举了枳分中值定理的一些典型应用.关键词：枳分中值定理;掂广；应用TheIntegra1.MeanVa1.ueTheoremforItsSpreadingandApp1.icationAbstract:Thispaperdiscussestheintegra1.meanva1.uetheoremanditsimprovedandp11>mote<iform,combiningtheintegra1.meanva1.uetheoremanditspromotedform,andgivingexamp1.esforitstypica1.app1.ications.Keywords：theintegra1.meanva1.uetheorem;spreading;app1.ication前言积分中值定理是数学分析中的一个根本定理之一，对一元函数的积分中值定理进入了深入讨论，更加深对此问题的理解，同时对于学习重积分及曲线曲面积分的中值定理都有很大的意义.本文将借助枳分上限函数的性质及微分中值定理证明枳分中值定理，给出了积分中值定理几种推广形式，同时给出了它们确定数列极限及函数极限等方面的应用,使我们对它有了更深一层的理解.1积分中值定理1.1 积分第一中值定理定理I假设/(x)在可上连续,那么至少存在一点JqaR,使得ff(.r)必=(g)(b-).证由T/(*)在a句上连续,因此存在最大值M和最小值，n.由nt/(.r)M,xe.,使用枳分不等式性质得到zj(b-)f(x)dxM(b-a),或f(x)dxM.一Of1.再由连续函数的介值性，至少存在点力,使得即有*(x)dv=()(-w).定理2假设/(x)在上连续,那么至少存在点S(o"),使得证由于/(x)在,上连续，从而/(x)在,回上可积.设其原函数为(x),那么根据原函数存在定理可知，F(X)在,b上连续，且F(X)在,回上可导,由由拉格朗日中值定理知存在一点J(”,)使得.bn那么得f(x)dx=f()(b-a).显然定理2的结论要强于定理1的结论,所以将积分第一中值定理表达成定理2的形式更好一些,这不仅是由在很多应用中要用到这个“内”字,而且也与微分中值定理的表达相一致.1.2 积分第二中值定理积分中值定理无论在理论上还是在应用上在积分学中都有重要意义,所谓积分第二中值定理那么比枳分第一中值定理更为精细，卜面给出该定理与其证明.定理3设函数f(x)在句上可枳，g()在,力上单调且在.”上连续，那么存在一点,fr»使得/(x)在”用上可积£/(x)g(X)以招(")J：f(x)t+KS)I/'(x)dJ(I)证假设g(X)在4句上单调减少且非负.将区间可分成几局部，HI1.a=X0<,<x2<x1i=Z,:而Ar*=.vt-xt-1.(=1.,2,)，记2=maxArA,那么：f：/（八）（八）Jx=HmEW(媒)J：f(x)dxi6x1.i,xa,由于g(x)在上单调减少I1.非丸即g(4jg值)“(幻之。而infJf(")而fg（八）/(x)rfvsup'(w)u.根据阿贝尔引理有：g«).f/(“)必4f(x)g(x)dSg(6)氏：/(“)&,当JTo时,有g(4)g()即:g(0)业1.C/(“)&5f/(x)g(x)“rS8（八）swj'f(u)du,所以，当g（八）时有：(g()=O时成立的)1W八志："x)g3去:照/()飙而当K(")=O时也成立由介值定理知连续函数/(“)</“在回以上某点4处取得上、卜确界之间的中间值即：'(.v)g(.v)d=g()"/(x)"r(2)令G(,r)=g(x)-S),由于g(x)单调减少,那么G(X)单调减少且非负,由(2)得：f(x)G(x皿=ff(x)g(X)-8(切必=gOg()；/(x)d×,即如果g(x)在“，处不一定连续,那么公式可改写为：/(x)g(x)办气(。+0)J：/(M心+ge-0)门J如果g(x)在卜肉上具有连续导数，/(x)在句上连续那么上述定理可用个较简单的方法证明，在证明过程中主要使用分部积分法和积分第一中值定理.证由于/(x)在肉上连续,那么F(X)=J)(X)去为其原函数.现对J：f(Xk(X)心使用分部积分,其中令w(.t)=g(A),Mx)=P(X)J:(x)g(x)d=fg(“dP(),对。,(“心(X)使用积分第一中值定理J)(M必3=F(U)()所以=g()1/(x)dv+1.if()r(x),Ga.b.2积分中值定理的推广2.1积分第一中值定理的推广定理4假设f(x)在,上连续且单调,那么存在唯一一点4«”,)，使得fxdx=f()(b-a).上述定理4是在加强了定理1与定理2的条件的根底上得出的.定理5假设函数/(x)与g(.r)在上连续且g(x)在上不变号，那么至少存在一点4w(,),使得*(.v)1?(x)dx=()'g(x)dx.注假设本定理中的条件",«工)在”,可上连续”减弱为“g(x)在可上可积”时,定理仍然是成立的.定理5的逆命题为:假设函数/(工)在,上连续且严格单调,且g(*)在上可积且不变号，那么任意的一点44。小必存在.u可，使得岁4.四，且满足/(x)g(x)必=(g(x)dx.在该定理中/()的条件“严格雌调”的条件是必不可少的，否那么便不能保证结论成立.定理6假设工)在可上连续，g(x)在,/，上可积且不变号，那么至少存在一点4”.可,使得J：/(X)R(A-)dv=f()fg(X)d-注.f(x)在”上连续且严格单调，MX)在M句上可积且不变号，那么任意的一点g4"),必存在&a=43,使得火&/?,且满足f(x)g(x)以=/(4)fg(x)dx相对于定理6中的结论,本文进步讨论如下些更般的推广结论.定理7假设/(.r)在,/上连续，g(x)在回刊上可积口不变号，那么至少存在点gw(aJ),使得£f(x)g(Mdrx)dx.为了给出积分第一中值定理的推广形式,先引入下面的两个引理：引理1设/(x)是”,可上有的人油照可积的非负函数且f(x)必=0,那么对任意c。存在的子区间a,/?,使得对任意的XwaM都有0«/(x)f.弓I理2设/()是a可上有的Rietmmn可积的非负函数，而且有A=xg,M:/(X)=0;那么f(x)去=0的充要条件是人在”中稠密.定理8设/(x)是a/上有原函数的/，"”何积函数，g(x)在“回上m可积I1.不变号,Uf(x)dx=0,那么至少存在点Je(a,),使得f"x)g(x)dt=(-fg(x)J.上述定理8与定理7、定理6相比拟，/(x)在,问上连续的条件被减弱为/(x)在团圆上存在原函数,而且结论中的点J精幽到(&)内，这不仅方便应用而F1.与微分中值定理相一致.注由积分中值定理知,假设函数f()和g(x)在上连续，夕(X)在向上可积且不变号,那么有故有等式&(4)>()&=(<)J>()4t.式中。与一般不相等,但如下的定理给出了一般性结论特别地,当g(x)=1.时,就是定理8.定理9设/()与g(R都是上的Rienm可积函数,且g(x)在。,句上不变号，那么至少存在点"wm,M,使得f()g()<=>()dj(3)其中?=inf/(,V),M=sup/(x).特别地，当/(X)在0可上连续时，(3)式可以改写为(K)J：x)g(x)杰=4)g(x)d'定理10假设函数f(x)(x)和g(x)r(x)分别在(力)内连续且在.b上可积,在(。力)内(x)0,那么至少存在一点Smb),使得g(三)f(XW(X)必=fJ)(W(XMJ定理11假设/(x)奴X)G=I23,)在内连续I1.在a/>上可积，在(。仍)内W(X)W0,那么至少存在一点fw(«方)，使得.f-GW(岫J：.(X)Nx)-=Oi,-()以2.2积分第二中值定理的推广上面我们介绍了枳分第二中值定理及其证明，卜.面我们把它推广，于是我们有以I；定理.定理12函数/(x)在a句上可枳，R(X)在"肉上单调递或且g(x)2O,那么存在Jw可，使得:f/(r)g(.r)dr=()'f(x)dx.(2)函数/(力在侬句上可积，身(x)在,句上单调递增，且g(x)O,那么存在ff(x)g(X)公=Rg)J：/(x)dx.定理13函数x)在肉上可积,g(x)在回句上单调,那么存在心回药,使得:f/(x)g(x)dt=*(。)J)杰+g(b)'fx)dx.定理14函数/(x)在,村上连续可做g(x)为连续可微的单调函数,那么存在火回村,使得：f(x)g(x)d=g()j(x)"r+ge)f7(x)dr注:与定理13相比,这里的条件要强的多.定理15(I)设函数f(x)在同上单调递增且非负，g(x)在回上可积,wR且"之1,那么存在央侬句,使得:(2)设函数/(x)在幽可上单调递减且非负,g(x)在,可上可积,且“1,那么存定理16设函数/(x)在a,b上单调且非负，g(%)在&句上可积，m1"wR且HIM”,那么有以下几点：(1)函数/(.V)在”.句上单调递增时，存在ea,b,使得心+aO)fg(*)A(2)函数/(x)在a.6上单调递减时，存在ea,b,使得ff(x)g(x)心:卬Cg(X)山+何0)fg(.定理17设/(x)是4可上有原函数，g(x)在&以上用石必可枳且不变号，那么至少存在一点e(a,b),使得:f()g()必=g()ff(x)+g(b)Cf()康.3积分中值定理的应用积分中值定理的理论非常复杂，证明方式也很多，这里不做过多的讨论，下面我们给出它在各个方面的应用.3.1 积分第一中值定理的应用用于确定数列极限例1证明Iim二必=0.C1.)1+.r分析此数列通项含有定积分,而定枳分不易求出，可用推广的积分第一中值定理化解积分.证应用推广的积分第中值定理有3.1.2 用于确定函数极限'(.V-/)f(t)dt例2设函数/（八）连续,且f(0)=0,求极限IirJ.分析先做变量代换,然后用岁比塔法那么，因为不能判断了'(0)是否存在,所以不能用罗比塔法那么，可用积分中值定理.解令X-I=".那么因为所求函数极限为Q行=型不定式，由罗比塔法那么及枳分中值定理有此处4在0与K之间，由于函数/(x)连续有:叫.“/=/(0).例3设/(x)在心力上不恒为零，且其导数r(M连续，并有/()=fS)=O,试证明：存在一点(4>SFJ)CM，使得(b-a)”/(亦方Xff(加证由/()=0及/(x)在4句上不慎为军可知/(X)在上不恒为常数.如果f(x)/rS0,那么结论成立.下面考虑ff(x)<A>0的情形.由定理2、/(4)=0及拉格朗日中值定理可知,存在一点Ag(q6),使得J：x)公=(xJS-)=(xJ-(叫(")=r(-")S-),其中Wa,ju(4,3),于是得到r(4)1.>f(小a-a)(b-a)(”.)；.注显然此题的条件可以减弱,结论可以加强.3.1.3 用于判别级数的收敛性例3设/()堆调卜降且非负，o>1.,证明£/与£"/(叫有相同的敛散性.4-1.A-I分析此题11的关键在于：由枳分判别法将&)的敛散性等价于的敛散性,A-I而将'(x>Zr表示为积分项级数,再利用积分中值定理及函数的非负递减性即可.证r处=£；/(x)rfv=()(t,-t)a=oy因为/(X)递减非负，那么有OMf(OX4)M(M),jI=0,1,故有这说明/(今人与N（八）有相同的敛散性，另一方面,根据枳分判别法JJf(XMr与A-O£/(4)有相同的敛散性，由此即得所要的结论.C-O3.2 积分第二中值定理的应用3.2.2 定理的直接应用例5假设/(.r)在句上可积，g(.r)在,以上单调递增且非负,在o,b上连续,那么存在Sm句，使£'/(x)g(xdx=g(b)f(x)ci.x.证令x=8,g伍T)=Mf)f(x)g(x)dx力因为/«)非负口单调递减(0<S-)利用公式(2)有：=g()：/(XMr(O<tj<b-a).而由“VJV方<方即j,/(x)g(x)dr=K(/，)，)(KM.322积分第二中值定理在不等式中的应用例6证明X>O时"sinrdtJ证取“=广'-Jii,t=.力=du2-Ju,由积分中值定理及其推广可得:例7证明极限IimrE=0.*j01+x证由积分中值定理和它的推论可得：令/(X)=占,g(x)=x"可知g(x)在0上连续,而且不变号，所以存在J使得：)£g)d因此有以下式子01.=!J'XndX=Jr->O.j,1.+x1.+4jo(11+)(+)m+I那么有注：在一些比拟发杂的极限证明过程中应用枳分第二中值定理可以都到很好的结果,而且计算过程简单易懂.参考文献1吉林大学数学系,数学分析(上册)M.北京:人民教育出版社,1979:191207.2j华东师范大学数学系.数学分析(第三版)M.北京:高等教育出版社，2(X)1,6.3J金渝光,关于积分中值定理J.盅庆师范学院学报(自然科学)，1998.15(增刊)：36-37.4原华美.关于积分中位定理的探究J.山东师范大学学报(自然科学版),2004.19(3):83-85.5邢亩冲.定积分第一中值定埋的改良与应用J.中央民族大学学报(自然科学版),2008,17(3)：17-216原华美.关于积分中值定理的探完5.山东师范大学学报(自然科学版).2004.19(3)：8385.17李仁琼,梁波.定积分第一中值定理的证明及其推广UJ.庆文理学院学报(自然科学版)，2006,15(3)：26-35.18马亚利谈积分中依定理中的位置M陕西师范大学学报(自然科学板)，2006.15(增刊)：I837.