竞赛教材：1-不等式的性质与基本不等式.docx

第一讲不等式性质与根本不等式(一)内容提要：不等式的性侦是解、证不等式的根底，对于这些性质,关键是正确埋解和熟练运用,耍弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强.常见的性质有8条：I,反身性(也叫对称性)：a>bb<a2.传递性：a>h.b>c<a>c3、可加性：a>b<>ac>bwa>ba>b<=>ac>bc;<=>ac<bcc>0c<05.会加性：a>b.c>d+c>+d6、,侥乘性：>0r>rf0e>rt«c>bd7,乘方：4>b30",>"'(nM62)8.开方性：a>fe0<=>0>b(n,.n2)(I)根本不等式求最1的理论根底：设Xy为正数.+y2后;xy二养-设abe为正数，那么a+b+c33&而；abcM(-+ht-)33推广到n个的情形：设aa3a1,为正数，那么a+a?+a11WaIa.4重要不等式的功能在于和枳互化，要注意三个条件：一正、二定、三相等的检验。在运用过程中，要注意构造定值、转化为正数、验证等号成立的条件：当等号不成立时，常用以下函数的单调性求解：由因数y="+Zu在(0,岛为取函数，在、R，+8)为增函数。XbNb对于能通过换元化为y=-+r+c或fx)=-v类型的处理Xex+fx+g(2)绝对值不等式的性质1.a1.-INa+Na+b推广：a+a：+.+ana+a2+.+an等号条件成立的条件？二、的例分析：23例1、设实数*,丫满足3«*妙8,4这工),那么占的最大值是红.yy解析考查不等式的根本性质,等价转化思想.()2gU6.81,上引!，口，=(一)2-g2.27J,占的最大假是27。yxy83yyxyy例2、正数x.y满足：x+y+3=xy(1)那么Xy的取值范围为9.+oo)(2)那么x+y的取伯范围为此+8)例3、正三棱锥底面一个顶点与它所对例面重心的距思为8,那么这个正三核雄的体积的独大做为144。M：设正三梭锥P-ABC的底面边长为“，裔为人。为三角形八8C的中心，G为例面P8C的Hi心，G垂自底面八8C垂足为.那么GI1.-：-PO=-h.A/I=AD-a'a»339929由AHi+GH2=AG2-a2+-h2=M,故16/+3/F=64-27,279由平均不等式得M27=8ai+8/+32r8(232,所以.25763.于是/_.<=1Swtcf=ga%144.当F=在时等号成立.312h4故体积的最大猿为144.例4、二次函数Y=d+>+c<Z0的图像恒不在X轴下方,且“<竺幺£恒成立.求实数mWh-a取值范图为。由y="d+6x+c20恒成立，所以“>O,J-4c0b.a+b+c4«+4ab+4ac4az+4ab+b24+4r+J->1.=ah-a4t(b-a)4n(b-a)4r-4=-(z-1.)+-+6)-(6+6)=34t-4当口仅当/=4J>=44=4"。时等号成立，因而实数m的取值范围为(y。,3)例5.给定实数4>1.,求函数/(X)=竺粤华!她且的最小值.1.÷sn.vM1.、(+sin4+sin)1.3(a-1.)C解/Cr)=-=1.+sn.r÷-+2.I+sinx1+sinx当1.<"g时，O<3(-1)2.此时/(x)=i+sinx+-+w+22*/3(«-1)+«+2.I+sinX且当sin.r=3(11-1.)-1.(-1.1.)时不等式等号成立，故4ib(x)=23(<-1)+2.当。>工时，配二y>2,此时函数)，=什迎二。在(o,西二11内是递减，故此时(Mx)=/=2+2=1.1.2jXa-1.)+a+2,1<<综上所述,e«>.3例6、力是面枳为1的三角形MBC的边A3上的任意一点，E是边AC上任意一点，连结DE,是城段OE上的任意一点，设'=X.=V,-=z.aABACDE)z-x=:试求:.角形3。”的面枳的最大值.解：连结8£,加么三角形8。6的面积为Saiwm=Za-X)SjMer=Z(1-X),S=2(-.v)>,由均值不等式.得Z(I-x)yM三±°-翌±'=),当且仅当Z=I-X=、)，+Z-X=:即382X=y=z=1.时等号成立，所以三角形3。尸的面积的最大值为-O28例7、a,b、C是实数.函数f(x)=a+bx+c.g(x)=ax+b.当-1.x1.时.f(x)1.(I)证明:：UW1.jbIW1.,aW2（三）证明:当1.x1.时Jg(X)I2:(HD设a>0.-1.x1.时.g(x)的设大值为2.求f(x).(4)当IX2BI.f(x)1.7(1)证明：由于当T。W1.时，|f(x)W1.那么If(O)IWI.则C0.且-IWN-DW1.即TWa-b+cW1.-IWf(I)W1.即TWa+b+cW1.6式得：-2W2bW2即-IWbWK=>2iW1.由、得：T"cWa-b1.C,Hca*b1.*c,而-1这cE1.=>-2-1.-c,Hc2,故-2Wa-bW2,-2a+b2=>-42a4,UPai2（三）证：当a>0时,g(x)=ax+b在卜1,1上是增函数，g(-1.)g(x)<g(1.).,.If()1.(-1.<)JcI1.g(I)=a+b=f(1.>-cR1.)+c2,g(-)=-a+b=-f(-1.)+c>-(fK-D+c>-2.由此得Ig(x)|<2;当a<0W,g(x>=ax+b在卜1,1上是减函数，.g(-1.)>g(x)>g(1.),VH)<(.<<),c<1.,g(-1.)=-a+b=-f(-1.)+cR-!)+c2.g(1.)=a+b=f(1.>c-(fK1.)+c>-2.I1.1.此得Ig(X)I<2;当a=0Uj.g(x)=b,f(x)=bx+c.V-I<x1.,EX)HR1.)Y1.sMD1.+Id%根据含绝对值的不等式的性质.得即Ig(x)2.(I1.1.)因为a>()g(x)在卜1J上是增函数.当x=1.时取得最大值2.即g(1.)=a+b=iK1.)-f(0>=2.V-<R0)=111.)-2<1.-2=-1.c=f(O)=-1.因为当-1.x1.吐HX)-1.,M也巨戈0,根据：次函数的性质,直线X=O为f(x)的图效的对称釉.由此得由为a=2.所以ftx)=2xj-1.(4)If(2)I=14a>2b+c|=2(a*b*c)+2a-c2f(1.>+2aMc7If(-2)I=4a-2b+c=12(a-b+c>+2a-c|2f(-I)+2a+c7bbb4ac-b'b'当-2W-2"W2时，I勿IW2,此时f(-2。)|=4«I=IC-4”bibc+4«IWICI+14aIW2W7,故当：xV2时，f(x)7例8、(2009河北)设/(X)=/+皿+，假设不等式(x)>2在区间1,5上无解.(1)求f(1)-2/(3)+/的值：求所有的实数对(ZW假设存在这样的实数对(m,加，那么，(X)IM2,对一切XG1.1.5恒成立，分别取.t=1.23得(1.)=1.+11+i2,(3)=9+3】+“2(5)=25+5+i2,又易得f(1.)-2/(3)+/(5)=8.那么1.;r,JA1)=/(5)=2.(I+m+n25+5m+n=Z,所以V即<得，=-6,“=7.(f(3)=-2.9+3"i+”=-2,当加=-6且=7时，"x>=-6x+7在w5时，满足(x)2综上所述，所求实数对为(，儿)=(-6.7)°例9、a,b,cR',满足血(+"c)=，(I)求S=(+c)(8+c)的最小值：(II)当S取报小值时，求C的最大值.斛；U)因为(+c)S+c)=">+c+8c+c2="Z>+(+b+c)c="/,+-(5分)(ib2.db-=2,等号成立的条件是"=1,Yab当。=8=1.,c=JJ-1.时，S可取最小值2.(II)当S取最小值时,ah=.从而c(+c)=1.即c'+(+Z>)C-I=O,令r=+Z>.那么=2T=2从而C=二北好.或者c=土卑<O(含去)故C=T-Fa=2在rc2,+8)单减,所以在r=2时.C有最大值近一1.2"+4+1例10、设&b,c>0.求的最小值P38a+2b+ca+b+2c3c+<+b例11、定义在R匕的函数/(x)满足：1./(0)=0：2 .对任意x.ye(f-I)U(I,÷),都干=3 .当XW(TO)时，福有/(x)>0求击Gb阖+)>4)-M.令*,.n=1.,根据2可知11g(1.O)U(0.1),又f0)=0.那么有n(1.I)f(11)-f(n)=f(-5-),易证f(x)为奇函数且在(7.1)为减函数-mt且XS(0,1)时,f(x)<0.I11_?=(+3)+4=+31”+4/+7"+1.1.-1.+(11+3)11÷4)JIII(zj+3)m+4)(11+3)(?j+4)TOf(-,-,)=f(-)-f(5)r÷7+1.In+3n+4三=K-)-f<b+f(7>-f(7>+N；)-f<-5-)4556+3,44+4=f(1.)+f<-)>f<1.)>fd)4+442三、配套练习：(1)函数y=IogasCr+一+1.)(.r>1)的值域是(一,一2)X-I(2)假设不等式X，-AX+A1>OXjXeU.2)怛成立,那么实效的取值范困是实数,>满足.p+1=4x+尸j1.x>i,那么(*+)()，+2)的最小值为应-(4)假设时仔怠x>0,恒成立，那么。的取值范附是.r+3a+I5(5)设M>eR,0>I为>I.若'=Z=3,«+。=2百,则1+!的展大值为Xy(6)设函数/(X)=I<>g,7.v+-4的零点为，”,方程fx)=a'+-4的零点为,当(】,+>)变动时，那么工+工的最小值为三也mn4(7)x>O.v>O.x+y=1.,那么J-+y的母小值为U.xy48、假设不等式而+«,4人、田彳对于任意正实数X,y成立，那么A的取色苞围为Xr>=.令，=扉>0，那么公2=(1+).令”=4,+1.>1.,/么/=.只要求的最大值.3-2()+)(1.+2)=.不等式恒成><,x=4v>0时等号成立).9、函数HX)=I1.g1.黄设CKa<b.f1./”引力).那么a+2b的取值范恸是(3.+)1Q、设a>b>O,那么+-+“方I-7;的Ja小伯是1abaa-b)Ik假设口线依一%叶2=0(。>0力>0)和函数'=1国,.*+2)+2(0011.。工1)的图型恒过同一个定点，那么!+1.的最小伯为.ab12、设”为是两个不相等的正数，且满足/-6'=M-,那么使得c=9成立的所有可能的整数C的集合是(1,2,3由/一人'=I-'f2+ab+b2=。+6.所以。方=(。+方)2-(+)>0,I4由此得到+>>1.又因为±3+b)2>ab=(a+b)2-(+),1.<+<-.43又因为R>=(+Z>)'-(+”>,令t=+e(1.)那么。=b.当21时，/T关于t单调递增,所以0<时<±,0<9而<4.因此C可以取1,2.3.913、不等式(x+y>+吃)£9对任意正实数x."f1.成立.那么正实数a的最小假为14、设S=j+)J-2(x+y),其中X,)，满足k)g2X+k)g2y=I,那么S的破小值为4-43解：由k)g2X+1.og2J=1.,得.yy=2又S=/+y2-2(.v+y)=(X+V)2-2(.v+y)-2xy=(x+y)1-2(x+y)-415、反心=1.那么心口的最小值是2立a-b16、等腰：角形腰上的中线氏为J7,那么该三角形的面枳的最大伯是217、设0b为止实数+22»(a-by=4(ab),那么1.eg.ah提示：由1.'25,得ab又(a+>):=4ab+a-bf=4ab4(ab),42ab(ab)j=8(<jZ>):»即a+b2叵ab.a三41-1.或Ia=五+1.b=2+.b=42-.于是a+b=2Eab再由不等式中等号成立的条件，与联立解得故I。以力=一118、假设>O4(“+。)+仪=4-23,那么2"+>+c的最小值为19、如果实数a,”，X,y满足/+M=”,x2+y2=b.其中“.为常数.那么”优+町的最大值20、X,F均为正实数,那么丁土一+T-的最大值是2x+yx+2y2k方程(XXg+1乂1+/+/+w4)=2(X)6”)”的实数解的个数为.分析：(xxoe,+1X1+/+/+/Z)=2006XM«要使等号成立，必须X=1.,=,x*5=4，即=±1.但是x0时，不满足原方程。所以X=I是原方程的全部解。因此原方程的实效解个数为1。22、naxmin1.,1.,4,o+Z+d，=ME1°Zrc解：设r=min1.,1.VM+b2+1,那么O<<即有a!1«b'cIaIrctb2<-,/K1.所以有fa+b2+c3<-.于是可得t&且当=/=任时，=3.ttt3因此IIUX3如yIiiin=3.23、实数My,2满足V+V+d=1.那么JSy+广的最大值为日由此可得J1.y+产4,其中等号成立当且仅当(yf1.xy+y)n24、4>0S>0,假设X去示1、a及一上Y这三个数中的最小者，当“、匕变化时，X的大值为(+25、设。、b、，是由角三角形的三条边长H(an+hn+c)2=2(a2n+b2n+c2n),其中n2,那么的值等于426、设XJ1.-J+M一J1,那么W+V=1.捱示：三角代换即可.27、函数/(x)=-1+2a-1+.+10x-1.的最小值为半28、设任意实数m>:,>>匕>0,要使1.og&201.6+1.og1.201.6+og,'2016HJt1.og&2016恒成立，那么片的最大伯是一9.29、设x,.R.x,.W0(i=1.2345)ZXi=I，那么+&.q+.卬5+%.口+.,的最小值等于取x=Xy=X5=：，人2=KJ=Omxx+x2,x2+Xj,Xj+x4,x4+x5=30、(2010湖北)假设X,y,z均为正实数，且./+V+/=,加么S=U二匚的最小位为.2xy提示：因2g./+V=172,所以s=>+I-N-+I-=Z+1.=Z+12xyzz(1.-z2)(1-z)z2-(+1.)(z+1)-1!一丁之一-k=3+2、演3,U+1)+-j3-22当且仅当2=、5-,工=)，=疑二1时等号成立.所以S1.1.ia=3+22.填空Jb答案：(I)(-0o,-21(2)(),2(3)(4)a-1-1,0(8人*(9)(3,+>)(IOH(1.1.)-+252(12)(1.2.3)(I3)(I4X5>22(16)2(17)-I(18)23-2(19)-Jab(20)-(21)(22)3Q(23)(24)(25)4(26)I(27)(28)9(29)-(30)3+222273解答题31、羟过匕期观测得知，在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的军液INy(千辆/小时)与汽车的平均<n()v速度V(千米/小时)之间的函数关系是：y二一二(v>0)V+3v+1.6(M)(1)在该时段内，当汽车的平均速度、为多少时，车流域最大？(2)假设要求在该时段内的车流肽超过K)千辆/小时,那么汽车的平均速度、应捽制在什么范围？f1.920v9201600、J1600Q八(1) V=-:=»+24v=80vi+3v+16OOvi1600i3,VVVV当且仅当y=40等号成立(2) *920,_>I0得-89v+16(X)<0,解汨25<v<64vi+3v+1MX)32、设”,氏c>O.RiiE:-+-2P19ab+cc应用三维均值不外式-+-三-+-I3/-1=2ah¥ccVabtcC33、,"c均为正数，证明：/+"+/+（1+!+'转2f1.并确定C为何值时，等号成立.abc证明：因为a,b.C均为正数,由平均值不等式得u2+b2+ciMabci-+-+-3(垃、)所以f，+，+，)%”仅)abcabc)故4'+Z+c2+d+1.+工尸之3(Z)fp+9(ahc)F.abc2 2又叫以"+9U以:尸227=63所以原不等式成立.22当且仅当a=b=c时.式和式等号成立.当且仅当3(bc)W=9(Mc)工时,式等号成立.即当I且仅当a=b=c=3,时,原式等号成立.34、设。>>0.求证：伍'+'-；>210P1.Sab-b'35、设&氏CG*.且+/)+C=1.求证；(a+1.)(ft÷Xc+1)8(1-a)(1.-X-c)PI536、（2005湖南）线设正数.b.c满足一=J求证一业二b+ca+ca+b+c4证明：由条件有=C十一,令+Z>=x.Z>+0=v.c+=2;+ca+b。+C那么=x+j-¥0=、+z,c=+：*,从而原条件可化为：令史上=（那么z+Vy+ZZ+X,ZZ4z-=-+1>-+1zXyXyx+y、4,通*,、1.+i7,1-417t-+,解疗/N或，Mt22故上=0Z=1.-JI之近二!a+cIz22437、设AAHC三边长分别为“,c,旦+>+c=3.求/(,c)="+c2+g曲(的最小缸解：f(a.b.c)=a'+h'+c1.+-a1.>c(a+b+c)i-2(ab+bc+ca)+-abc339-2ab+bc+c(i-abc因为&氏。是AABC三边长,且。+c=3,所以O<,Z>.c<T33,33 3R+£>+-c.于是-c)(2¾-1-)'=52223X27UPab+bc+caabc/(,ft.c)9-2g=?.等号当且仅当=/，=C=I时取到，故fa,h,c)的最小值为，.38、/()=xj+r+(-1.x1.),假设If(XH的最大值为M,求证：M.好：M=f(x)11u,=max11Kn,f(-),1.(-)11锻设|一；|3(对称轴不在定义域内部)那么M=maxfU),f(1)1而f11)=1.+a+b:f(-)=-a+b1.)+f(-1.)f(1.)+ft-1.)=2a>4那么忸1)|和双一|)|中至少有一个不小于2：二M>2>假设|一；|<1M=max11R1.)hf(-),=max111.+a+b,1.-a+b.-y+b1.=max1.+a+b,1.-a÷b.-÷b,-y+b(1.+a+b+i-a+b+-y+N+-y+b)>4<1+a+b)+(1.a+b)-(+b)-(+b)=-(2+-)>-J444422综上所述，原翁鹿正确.39、在AABC中,求证：a:(b+c-a)+1.r(c+a-b>+cj(a+t>-c)3abc.【诙明】令a=y+z,b=z+x.c=x+y,僚么abc=(x+yXy+z)(z+x)8.t),V>2Vzv=8xyz=(b+c-aXa+c-b)(a+b-<)=a-(b+<-aH-b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc.所以a2(b+c-a)+b2(c+a-b>+<r(a+b-c)<3abc.个常用的代按：在ZSABC中，记点A,B.C到内切圆的切纹长分别为x,y,z,僚么a=y+z,b=z+x,c=x+y.a'b'ciJ240、设”.b.。>0,且满足+T=I求证：abc<P591.+«*+bi+c*441,假设/(x)=2+bx+c(a、t>,cwR),在区同0,1上恒有Ir(x)IS1.(1)对于所有这样的N),求a!+b+Ic1.的最大值(2)试给出一个这样的f(),使得a+b+cI确实取到i大值J.解：由f=a+b+c,f(0)=c,f(2)=4a+2b+c,可解得a=2fTf(2)+2f,bMf(2)-3f(0)-f(1.),c=f),而If(D1.W1,If(O)IW1,f(2)故a+b+c=2f(1.)-4f(2)+2f(0)+4f(2)-3f(0)-f(1.)+f(0)I2f(1.)-1.f(2)÷2f(0)*1.1.f(2)¼3f(0)tf(1.)f(0)17所以a+b+c的最大值为17由(D知，上式取“=”的条件至少应满足：f(o)1=1,f(i)=,f(2)=故乂=7应为函数尸”乂)的对称轴，那么可设f(x)=a(-5)2士再将If(Q)I=1,Ira)I=I代入检逐得:f(x)=8x,-8x+1.42、设/(x)=3-2r+c,锻设“一方+c=0,/(O)>0,/(1)>0.(I)求证：方程f(x)=0在区间(0.I)内有两个不等的实数根：(2)斛i殳“,<称为正整数，求+,>+c的般小值.【证明】(I)/()=0()0,/(1.)=3u-2+c>0,->+c=O.由(§)乱4-力VOnaVb，由®得：2v-b>O=2a>b,由得：2(i>b>a®."=+c代入得：o>c二。>0；.由得：1.<-<2a：对称轴x=Ae(1.t),又/(0)>od)>OJ1.=4fe2-12ac=4(+c)2-12ac=(2<-c)2+3c>O：.方程/(x)=。在(0.1)内有两个不等实根.(2)假设。.力工都为正整数，/(O),/(I)都是正整数，设f(X)=3«(x-.v1)(.r-,).其中内,占是/(x)=O的两根那么为.&e(OJ).且X尸与V1./(0)/(1)=92x,(1.-x1)Jf-v2)<16'>16,”为正整数，2,，+Z>+c2+(2+c)+c=4+2c6线设取a=2,那么2=2g(1,2)得：e(2,4),.”>为正整数，；.=3,c=b-a=.a2/(x)=6F-6+1.=0的两根都在区间(OJ)内，.+3+c的地小值为6