立体几何题型与巧算方法.docx

立体几何题型与方法1 .平面平面的根本性质：掌握三个公理及推论会说明共点、共线、共而向时.（1） .证明点共线的问遨，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依如:：由点在线上，线在面内，推出点在面内），这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共立线上。（2） .证明共点问题.一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条出线上,而这一点是两个平面的公共点，这第三条出战是这两个平面的交战.（3） .证共面问题一般先根据一局部条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内,或者用同一法证明两平面的合2 .空间宣饯.（1）,空间出线位置关系三种：相交.平行、异面.相交直线：共而有且仅有一个公共点：平行直线：共面没有公共点：异面宜线：不同在任一平面内，无公共点注：两条异面直城在同一平面内射影一定是相交的两条出线.（X）（也可能两条直城平行，也可能是点和比线等）且钱在平面外，指的位词关系是平行或相交假设直线小b异面，"平行于平面,b与的关系是相交、平行、在平面。内.两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直彼或两条平行级或两点.在平面内射影是H戊的图形一定是真践.（X）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）在问一平面内的射影长相等，那么斜线长相等.（X）（并非是从平面外二卓向这个平面所引的垂线段和斜线段）是夹在两平行平面间的投段,假设“=乩那么的M关系为相交或平行或异面.异面出线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直战.（不在任何一个平面内的两条口我）（2）,平行公理：平行于同一条内线的两条宜战互相平行./等角定理：如果一个角的两边和另一个痢的两边分别平行并且方/向相同，那么这两个角相等（如右图）.0（直线与直线所成角0.90）（向!与向址所成角O（0180）推论：如果两条相交直线和另两条相交宜线分别平行，那么这两组F1.戏所成锐角（或直角）相等.（3） .两异面宜燃的距次：公乖戏段的长度.空间两条电线垂直的情况：相交供面）垂直和异面垂直.注：44是异面直线，那么过4外一点儿过点。且与，"?都平行平面有一个或没有，但与44距离相等的点在同一平面内.（加或G在这个救出的平面内不能叫，,与人平行的平面）3.直线与平面平行、宜线与平面复宣.（1） .空间n战与平面位汽分三种；相交、平行、在平面内.（2） .立线与平面平行判定定期：如果平面外一条直线和这个平面内一条内线平行，那么这条直续和这个平面平行.（“线线平行n线面平行”）注:且践。与平面Cr内一条直战平行，那么aa.（X）（平面外一条直战）直线与平面内一条直线相交,那么与平而相交.（X）（平面外一条电线）假设直线与平面平行,加么。内必存在无数条直线与。平行.（J）（不是任意一条宜线，可利用平行的传递性证之）两条平行线中一条平行于一个平面,那么另一条也平行于这个平面.（×）（可能在此平面内）平行于同一个平面的两宜践平行（X）（两宜战可能相交或者异面）直线，与平面a、所成角相等，那么a/九（X）（a、*可脆相交）（3）,直级和平面平行性原定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条H戏和交践平行.（“线面平行=线线平行”）（I）.出线与平面垂直是指出线与平面任何一条直线垂直.过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直规垂直.N 假设1A1.a,a1.AO,a1.PO（三垂线定理），y-, 三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直戏和一个平面内的两条相交C1.线都垂出，加么这两条直战垂直于这个平面.（“线线垂直=线面垂Mr）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行规中一条直线垂直于一个平面，原么另一条也垂直于这个平面.性侦：如果两条直战同乖立于一个平面，那么这两条口戏平行.（5）a.垂线段和斜线段长定理：从平面外二点向这个平面所引的垂莲段利斜线段中，射影相等的两条斜设段相等，射影较长的斜跋段较匕：相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段射影较长：垂线段比任何一条斜线段短.注：垂线在平面的射影为一个点.一条直线在平面内的射影是一条出线（X）b射影定理推论：如果个角所在平面外一点到角的两边的距岗相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。4.平面平行与平面赛直.（1） .空间两个平面的位置关系：相交、平行.（2） .平面平行判定定埋：如果一个平面内有两条相交直然都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（“战面平行一面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行：平行于同一平面的两个平面平行.注：一平面内的任一H践平行于另一平面.（3） .两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交,那么它们交线平行.（“面面平行n纹线平行”）（4） .两个平面垂叁判定一：两个平面所成的.面角是直:面角，那么两个平面垂直.两个平面垂比判定二，如果一条直线与一个平面垂宜.那么经过这条出线的平面垂比于这个平面.（“线面垂直n面面垂直”）注：如果两个二面角的平面分别对应互相垂百.，那么两个二面角没有什么关系.（5） .两个平面重出性质定理：如果两个平面.垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，那么它的交战垂曲于第三平面.简证：如图,在平面内过O作OA,OB分别垂宜于/“八，因为PMU.OA_1.尸，MUaQB_1.那么PM±OAPM_1.O从所以结论成立（6） .两异面直线任意两点间的距离公式：/+而+/一2MCoSe（0为饯角取减.0为饨为取加.综上，都联减那么必有66I0,）（-.乩G小角定理：CoSG=Cos。100响（4为最小角.如图）b.最小角定理的应用（NPBN为定小角）简记为：成地比交战夹角一半大,H.又比交线夹角补角一半长，一定有，1条.成角比交线夹角半大.又比交线夹角补角小.一定有2条.成角比交战夹角一步大,又与交规夹角相等，一定有3条或者2条.成角比交线夹角一半小.又与交线夹角-半小，一定有1条或者没有.5.横柱.梭隹（1）.棱柱.a.直棱柱侧面积:S=Ch（C为底面周长，只是育）该公式是利用直棱柱的俯而展开图为矩形得出的.斜枝住侧面积：S-C1/（G是斜板柱直豉面周长，是斜板柱的例校长）该公式是利用料极柱的测面展开图为平行四边形得出的.b.四核柱）（平行六面体）（直平行六向体）（长方体正四棱柱=>正方体）.宜四枝柱）（平行六面体）二（比平行六面体1.C棱柱具有的性质：梭柱的各个仰面都是平行四边形，所有的侧极都相等：H板柱的各个IW面都是矩形：正楂柱的各个侧面都是全年的便多梭柱的两个底面与平行于底面的橄面跄对应边互相平行的事等多边形.过棱柱不相邻的两条他校的截面器是平行四边形.注：楂柱有一个恻面和底面的一条边垂直可推测是总核柱.（X）/（比棱柱不能保证底面是矩形,可如图）Y（直极柱定义）棱柱有一条侧梭和底面垂直./7平行六面体：7z定理一：平行六面体的触角交于一点，并且在交点处互相平分.注:四梭柱的对角线不1定相交于一点.定理二：长方体的一条时角线长的平方等于一个顶点上三条校长的平方和.推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条梭所成的角为a.,y,那么COS2+COs2/?+COS2/=I.推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各例面所成的角为a.f1.,y.那么COS.：f1.+COS2/7+COS：/=2.注：有两个例面是矩形的棱柱是直棱柱（X）（斜四极柱的两个平行的平面可以为掂形）各侧面都是正方形的棱柱一定是正板柱.（×）（应是各侧面都是正方形的H校柱才行）对地面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体（X）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形）梭柱成为I1.棱柱的一个必要不充分条件是核住行条1.¾极与依面的两条边乖I1.（两条边可能相交，可能不相交，假设两条边和交，那么应是充要条件）（2）.梭椎：梭惟是一个面为我边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.注：-个三核锥四个面可以都为直角三角形.一个梭柱可以分成等体积的三个三极锥：所以VMe=Sh=3Vw,1.a.正极锥定义：帐面是正多边形：顶点在底面的射影为底面正多边形的中心.注：i,正四极锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）ii .正四面体是各校相等，而正三极谁是底面为正三角形，Iw梭马底核不一定相等iii .正板推定义的推论：假设一个校椎的各个例向那是全等的等腰三角形（即侧棱相等）：底面为正多边形.正极锥的侧面枳：S=ChI底面周长为C,斜高为棱推的侧面积与底面积的射影公式：力=区（测而与底而成的二面角为）cosr附：以知C_1./,cosaa=b为二面角那么S1.=1.r/，S,=!，,/，cos"6=>得Sm=22cosa注：S为任意多边形的面枳（可分别求笠个三角形面积和的方法）.b极推具有的性质：正校推各例校相等各例而都是全等的等腰三角形,各等稷三角形底边上的高相等（它叫做正极锥的斜向）.正桢锥的高、斜高和斜高在底面内的射影娟成一个直用三角形，正极锥的高、侧棱、仰校在底面内的射影也组成一个直角三角形.C.特殊极锥的顶点在底面的射影位祝：极锥的侧校长均相等，那么顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.梭锥的侧梭与底面所成的角均相等,那么顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.极锥的各侧面与底面所成角均相等，那么顶点在底面上的射影为底面多边形内心.棱椎的原点到底向各边距两相等,那么原点在底面上的射影为底面多边形内心.三梭锥有两组对棱垂宜，原么顶点在底面的射影为一:角形垂心.三桢锥的三条IW枝两两垂直，那么顶点在底面上的射影为二角形的垂心.每个四面体都疔外接球，球心。足各条极的中垂面的交点,此点到各顶点的即.离等于球半径：每个四面体都有内切球，球心/是四面体各个：面角的平分面的交点，到各面的跳离等于半径.注：i.各个恻面都是等腰三角形，且底面是正方形的极锥是正四板锥（X）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等）.ii,馈设一个三校雄，两条相对梭互相垂直，那么第三坦相对梭必加垂斗Zb简证：AB1.CDrAC±BD=>I1.C1.AD.1.B=a.AD=c,AC=bZ-1.->尤:f）BC=AC-Afi-b-（j.AD=c=>BC-AD-h-ac,（r-i）-0,-c）*0B=>女一2"0那么而而力iii.空间四边形ORBC且四边长相等，那么顶次连结各边的中点的四边形定是矩形.iv.黄设是四边长与对角戏分别相等，那么项次连结各边的中点的四边是一定是IE方形.简证：取AC中点（7.那么M1.AC,的1.AC=>AC1.平面87JnACi.8（7=>尸GH=90'易知EFGH为平行四边形nEFGH为长方形.假设对角线等.那么EF=FGnEFGH为正方形.R.球；Ua.球的截面是一个网面.球的外表枳公式：S=4成?,球的体枳公式：V=-R3b.缔度、经度：纬度：地球上一点P的纬度是指经过P点的球半径与赤道面所成的角的度数.羟度：地球上A8两点的羟度差，是指分别经过这两点的羟线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数.特别地,当经过点A的经线是本初子午城时.这个二面角的度数就是8点的经度.附：IS柱体积：V=M2/,（为半径，刀为高）圆锥体积：V=1.sr-（r为半径,人为高）锥体体枳：v3h（S为底面积，h为既13（1）.内切球：当四面体为正四面体时.设边长为a,h=乎,S=-y«2.SM=冬4得叵/.先°=皂Mr+1.皂（I1.RnR=盘0性柩=立a忑=在a.A434344344/注：球内切于四面体；VI1._MtI=；S,“R3+gSR=S"h。>1.1.外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.飞三m6.空间向景.(1) .n.共线向B1.共跳向氏亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直段互相平行或就合.注：设；与Z共线，Z与；共战，那么：与；共纵（X）当心6时，不成立J向力0区；共面即它外所在11线共面（X）可能异面假设7那么存在小任一实数2，使m.（X）与，=6不成团假设；为非零向崎，那么oZ=6.（J）这里用到幺证=0）之积仍为向吊b共规向此定理：对空间任意两个向吊“%0）,a不的充娈条件是存在实Sui具有唯性），C,共面向量；假设向使之平行于平面或；在Q内，那么；与"的关系是平行，记作:d共而向fit定理：如果两个向贵ab不共线.那么向UtP而向盘Gb共面的充要条件是存在实数对X、/使P=Na+y.空间任一点O和不共线三点A、BxC,那么5R=x5+丽+z54x+y+z=1.)是四外四点共而的充要条件.(简证：OP=(1-y-)OA+yOB+zOC=AP=yA+z4CJ.B.。四点共面)注：是证明四点共面的常用方法.(2) .空间向以根本定理：如果三个向求ZE1.不共面，那么对空间任一向量方，存在一个唯一的有序实数组X、八Z,使P=.s+W+ZC.推论：SO.A、B、C是不共面的四点，那么对空间任一点匕都存在唯一的有序实数组八六Z使OP=xOA+N疝+;Xh这里除含x+y+z1).注：设四面体ABCD的三条梭，布.疝？=；.而=1其/中Q是aBCD的重心.那么向量而=；(：+办+'用而=而+丽即证.a4对空间任一点0和不共线的三点A、BxC,满足0P=.QA+y08+zOC,那么四点P、A、B、C是共面OAr+y+z=I(3) .a.空间向球的坐标：空间直角坐标系的轴是横轴(对应为横坐标)，粕是纵轴(对应为纵坐标).Z轴是竖轴(对应为盘坐标).令=G,a,a1.),b(b1.,bi,bi),那么<+fe三(1±1.a2±,.,±,).三(k.1.112hMK)a'ff-<ta2b2ayh.a/.。"产物小二赤十产劝式石R)c>-。仇力力-«，60。也+。血+。3，产0，M=Va"=7?+%？十0'(向量模与向量之间的转化：.=>H=C)空间两个向崎的夹角公式COS<a,b>=-f叱-=f"必,吆出孝：1.«1.1.I12+a；+a；yb+>+b;(a=(f1.1.,.,),b(Z>1.Z>,.)4空间两点的即肉公式：d=(.x2-)2+(y2-y1)-+(z2-21.)2.：.(OP-OA)=2(0B-OP)+2(OC-OP),.AP=2P8+2PC,即PA=-2P8-2PC.所以，点P与AB.C共面.点评：女用共面向量定理及其找论的无要条件逐行向学共向利斯的时候,首先要选择恰当的充要余件取式，然后时骐舫或将部件进行转化运算.2 .如图,走形ABCO和矩形人。KN所在平面互相垂直,点例,N分别在对角线8。,AEI.f1.8M=1.8。，N=-AE.求证：MN平面CO£.33解析：要证明MN平面CDE,只要证明向量N可以用平面C7»：内的两个不共煤的向量。£和。伐性表示.答案:证明：如图，因为何在Bf)上，HBM=1.BD,所以3MB=Jo8=1OA+JAB,同理AV=-AD+-DE.又33333CD=BA=-AB.所以A1W=,W8+8A+AN11.1_I2121.=(-DA+-)+(-D+-Df)=-A+-DE=-CD+-DE.又C。与。£不共线.33333333根据共面向量定理,可知MN.CD.DE共面.由干A/N不在平面C/圮内,所以MNH平面CoK.点评：空刈任点的两向量都是共而的.与空间的任两条近理不一定共而娶区刖开.考点二证明空间线面平行与看宣3.如图.在直三棱柱48C一任BQ中,AC=3,BC=4.AA1.=4.点。是A8的中点.(I)求证：AC-1.BCi:(II)uEsAeC平面CDffi:解析：1证明战理安近方法有两臭：一是通过三叁理定理逆定理证明，二是通过找面垂直来证明线线隹立：2)证明我面平行也有两尖：一是通辽战战平行得到我南平行.二是通过南南平行拜科线而平行.答案：4，法一：(I)直三棱柱八BC八四G，底面三边长八C=3BC=AAB=S.：.AC1BC,且BC1.在平面ABC内的射影为BGC1BG:(II)设C8G8的交点为E,连结DE,：D是48的中点，E是8G的中点,.DEJfAG.VDEU平面CD%.AC1.a平面CDG.'.AG平面CDRti解法二t.H棱柱八8C一八山C底面三边长八C=3,BC=4,fi=5,.ACHC.CC两两垂直,如图.以。为坐标原点,出线CA.CB、CC分别为X轴、y轴、Z轴，建立空间I1.角坐标系，那么C(0,0.0),A(3,0,0),C.0,0.4).B(0,4.0),B1(0,4,1)，D(-,2,0)2(I)VC=(-3.0.0).HC1=(O.-4,0).ACBC1=0.：.AC1.BC1.(2)设C8与C8的交战为E,那么E(0,2,2).,.,DE=f-,0.2),苑=(-3,0.4).I.，DE=-AC1,DE7G.点评：2.平行问题的转化：而而平行二妓而平行V=战线平行：主要依务艮有关的定义及利定定理和性质定理.4.(2(M)7武汉3月)如下图,四极锥P-ABCD中.ABJ.AD.CD1.AD.PAJ.底面ABCD,P=D=CD=2B=2.M为PC的中点，(1)求证：BM平面PAD：在恻面PAD内找一点N.(史MNJ.平面PBD：(I) 求直践PC与平面PBD所成角的正弦.解析：本小思考亚克蝶与平面平行,立煤与平面垂直.二面用号根底知识.考查空同”第能力和推理论证能力.暮童：U).M是PC的中点，取PD的中点E,那么ME-CD.又ABs22.四边形ABWE为平行四边形BMEA,BMz平面PAD.AM平面尸八。(4分)(2)以A为原点，以A8、D.AP所在亢线为X轴、y轴、Z轴建立空间H角坐标系，如图，那么8(1,0,0),C(2,2,0).M)20),P(0,0.2),W(1,1,1),£(0,1,1)在平面PA。内设N(O,筋二)，=(1.,y-1.,z-1.),P=(1.,0,-2),6办=(I1.2,0)由MN1.PB:.MNPB=-2+2=0：.=-2IhMNJ.DBMN-D=-1.-2y+2=0.y=:二A'0W'J'N是人后的中点.此时MN±平而PBO(8分)(3)设出城PC,y平面PHO所成的角为0i=(2,2,-2),V=(-1.-3.-()设(M%中为“故直线PC与平面尸8。所成角的正弦为T“2分)解法二：(II) v尸C的中点，取PD的中点E.那么P/w-0*20*0()-0.IPA工DM,PA.DC.J1.平面DMC.4分(III)CW-Ws&CH-(,1.0>.令平面BMC的法向H1.W=(xF2)那么mCM-O,从而*+二=0:.IrE-0.从而6x.y-0.由、，ItiX=-I.那么>=6.2=1.二可取"=(-1,T.1).由(11)知平面CDM的法向IftiiJ1.RPAX下事±1.-巫.所求二面角的余弦值为一回.6分n,A555法二：(1)方法同上（三）取AP的中点N连接MV.由(I)知.在菱形A88中，由于NADC=60.那么AOJ_C。，又Po_1.C。，那么CDI平面APO,即又在AEAB中，中位MN幺A8,COH-AB,那么MN旦CO,=2=2=那么四边形OCWv为<；,所以C7ON,在APO中，AO=PO,那么ON1.AP,故AP1MC而MCnCD=C.那么PAJ.Tffi1.WCD(111)由(II)知MCJ.平面P48,那么NNMB为：面角及一,WC-3的平面角，在RtSPAB中，易褥P4=6,PB=PA2+ABz=6*+22=icosNNMB=cos(r-ZPBA)=一等故.所求二if"角的余弦侪为一空点评：此题主委考查异而近理所成的角、找面角及二面角的一曲求法,综合性较强,用平移法求异而立伐所成的角.利用三全找定理东作二面角的平面向.龙常用的方法.6.I2007河J匕省唐山市三模I如图，在长方体AACO-A4G。中，AD=AAti,AB=2,点£在线段AB上.(1)求界面直线AE与Ao所成的角:(II)假设二:面角A-EC-。的大小为45。，求点8到平面QEC的距离.解析：此君涉及立体几何线而关系的有关知识.此15实质上未角度和距国.在求此美问题中,要将这些爱归结利三角形中，最好是J1.角三角形，达并有利于问题的解决，此外用向量也是一种比拟好的方法.着案：解法一：(I)连结AD1由.AAA。是正方形.AD1.IAiD.ABJ平面AAyD1.D,/.ADt是D1E在平面AA。内的射影。根据三垂纹定理,AD1IDiE得,那么异而直线DE与A。所成的角为9°°“作O”J_CE,垂足为尸，连结D尸，那么CKJ.R"所以ZDFD1为二面角A-EC-。的平面角，ZDFD1=45°.于是DF=DD1.=I.DF=6易得RtABCE3RtACOF,所以CE=C£)=2,又BC=1,所以BE=6。设点B到平面D1EC的距离为.'：Y9=V1.,w-CEDtFhBE.1.iCDD,CED,Fh=BEBCDD,即2=J,力=在.4故点B到平面QEe的距混为.4解法二：分别以。A.O8.OA为A釉、y轴、2轴.建立空间内角坐标系.(1)由A(1，0，1.)，得图=(1.QI)设E(1.0)又A(0.0.1),那么/)汨=(1.,-1.).DAiD1E=+0-1.=0.DAID1E那么异面直战DiE与A。所成的角为90°.(III) m=(0.0.1)为面OEC的法向量，设=(.%y,z)为面CTTR的法向崎，那么：.zi=xi+y2.由C(0.2.0),WD1C=(O1Z-I),那么，乙乙，即OC=O2y-z=0由、，可取=(61.2)又CB=(1,0。,所以点8到平面DgC的距离.|C8I=G'-11-20点评：立侬几何的内定就我.空间的刘斯、推理.证明、角度和距离、面帜与体枳的计算,这是立休儿何的定点内容，此迪实质上求角度和荒离，在求比矣问题中，尽量笑:肉这些量也站于三角彩中，最好是立用三角舫，这样计算起余，比拟向单，此外用向量也是一种比桢好的方法，不过境系一定受恰当，这样生标才化总容易写出来考点四探索性问JB7.(2007年4月济南市)如卜图：边长为2的正方形ABFC和高为2的H角梯形ADEFffi在的平面互相率H且。E=J1.EDFRZDF=W.求8。和面8EF所成的角的余弦:(2)战段£7上是否存在点尸使过八八、C三点的平面和直规。8垂直，假设存在，求EP与的比值；假设不存在，说明理由。D解析：1.先假设存在，再去推定，下结论：2.运用排定屏”!计算得出fN仑，或先利用条件材例得出处论，然后再根梃能件给出证明或计算。答案：(I)因为AC、AD、AB两两垂直，建立如图坐标系1.那么B(2.0.0).D(0.0.2).E(1,1,2),F(2.2,0),那么Dfi=(2,0,0),E=(-1,1,2),BF=(0,2,0)设平面8""的法向吊G=(x,y.z),则一A-+y+2x=0.y=0.那么可收”=(2,1,0).2-2+O-222+I22z+(-2)2IO一记向M:DBi=(2.0.1)所成知的余弦为即BD和面BEF所成的珀的余弦任IO(2)假设线段EF上存在点P使过P、A.C三点的平面和亘线DB垂出,不妨设EP与丹的比值Mnr,、1”C-M/+2m1+2，"2.为m.加么P点坐标为(,),1+/M1+m1+m那么向堂而=(上网.92.2心向型而=(上冽,_，.二_).I+w1+wI+mI+m1+，1+m所以2匕生+0此处+(-2)二一=0,所以rw=J.1.+n1+111+/”2点评：此卷考奏了线线关系.然面关系叫具相关计耳.此魅表用探虞式、开放式设问方式，对学生灵活运用知识解避提出了较高要求.8.(2007安徽文)如图，在三极锥V-ABC中，VCJ_底面ABC,AC1.BC.。是A8的中点,H.AC=BC=U.NWx'=")<时.(I)求证：平面EA8_1.平面VC1.：即4到平面相。的距离为处后19.在四核椎P-ABCD中.底面ABCD是加形,侧极PA垂直于底面.E.F分别是AB、PC的中点.(1)求证："7/平面PA/)：(2)当平面PCD与平面ARCD成多大二面角时，宜线M1.平面PCDi证，(I)取CD中点G.连结EG、FGVE.F分别是AB、PC的中点，.,.EGAD.FCWPD.平面EFGV平面PAD.：.EF平面PAD.(2)当平面PCD与平面ABCD成45。角时，XI践EFI平面PCD.证明：YG为CD中点,那么EG1.CD.=PA1.底面ABCDAAD是PD在平面ABCD内的射影。：CDc平面ABCD,且CDIAD,故CDIPD.又FG"PD,FG1.CD,故/EGF为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角，即NEGF=45。，从而得NADP=45。，1PAE三R(CBE.得PE=CE.又F是PC的中点.二EF1.PC.I1.1.CD1.EG.CD1.FG.CD1.iFffiEFG,CD±EF.KPEF1.CD.故EH1.平面PCD.20.多面体A8C)E中.八8_1_平面Aa).DE1.f1.1.ACD.AC=AD=CD=DE=2a.A1.i=a.F为CD的中点.(I)求证：AFJ.¥ffiiCDE；(II)求异面直线AC.BE所成角余弦值:(111)求面ACD和ftBCE所成二面角的大小.裤：().DE1.平面ACD,AFCiFffiACDDE±AF.XVAC=AD=C.F为CD中点AF±CD./.AF1.ffifCDE.AFdSiCDE.=>DEIIAIiDE-1.平面AC。/If1.ijFtfiiACY)j取DE中点M,连结AM、CM,那么四边形AMEB为平行四边形AM'.'BE.那么NCAM为AC与BE所成的角。在ZkACM中,AC=2a.a>bsw/ex(2)2+(v'5<z)2-(yj5a)'*5由余弦定理得：cosZC4W=1.=2×2×55.异面直线AC、AE所成的用的余弦位为t(III)延长DA。EB交于点G,连结CG。因为ABDE,B=-DE.所以A为GD中点.又因为F为CD中点,所以CG/AF.2因为AF_1.平面CDE.所以CG±fftCDE.故/DCE为面ACD和面BCE所成二面角的平面知环求DCE=45°.21 .如图，四边形ABCD是正方形，PB_1.平面ABCD,MPB,PB=AB=2MA,(I)证明：ACW平面PMD：(I1.)求直线BD与平面PCD所成的比的大小：(III)求平面PMD与平面ABCD所成的二面角侬角)的大小，(I)证明；如图1,取PD的中点E,连EO,EM,E0'PB.EO=-PB.MA/PB,MA=IPB.E0MA.J1.EO=MA四边形MAOE是平行四边形，MEAC.又YACa平面PMD.ME1ftPMD.ACZZiFffiPMD,(II)如图1,PBJJFffijABCD,CDU平面ABCD,CD1PB.又YCD1.BC.,.CD1.T1.hiPBC.；CDu平面PCD,平面PBCJ平面PCD.过B作BF_1.PC于F,JE么BF_1.平面PDC，连DF,那么DF为BD在平面PCD上的射影，：.NBDF是出线BD与平面PDC所成的角.不妨改AB=2,那么在RtABFD中，BF=BD.：.直线BD与平面PCD所成的角是-(III)解：如图3,分别延长PM,BA.设PMe1.V6那么平面PMDC平面=ABCD=DG过A作AN_1.DG于N,连MNo：PB±iABCD.MNJ-DO/MNA是平面PMD与平面ABCD所成的二面角的平面角(锐角)在RtAMAN中，1.anMArA=4-，ZMNA=arctan2平面PMD与平面ABCD所成的二面角(锐角)大小是arctan222 .斜三核柱BC-4B1.Ct,ZBCA=9().AC=/JC=2,A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点。,又知BA11ACi(I)求证：ACtJ.平面A“c：(II)求CG到平面AAB的距离；(HI)求二面角A-A1B-C的大小解:(I)因为ADJ平面A8C.所以平面AA,C,C1平面ABC,乂BC工AC,所以8C_1.平面AAGC,BC1.ACvy.BAs1.ACt所以八G_1.平面8C':(II)因为AG1.AC,所以四边形AACC为菱形，故AA=AC=2，又。为八。中点.知NAAC=60°取AA中点F,那么½J.平面BCF,从而向AA8过C作C_1.8”于，那么C，面AA8,在.RAHCf中,BC=2,CF=小,极CH=顶豆.7即CC1到平面A1AB的矩离为CH=芈.(I1.1.)过作GJA?干G，连CG,那么CGJA8,从而NCGH为二面角AA8-C的平面角.在心4C中，AC=BC=2，所以CG=,CHp在RtfsCGH中,sinACGH=又一.CG7故二面角八一48-。的大小为；10：§访。解法2：(I)如图,取AB的中点E,哪么DE"BC,因为BC_1.AC，所以。EJ.AC,又/£>J.平面人HC.以DE.DC.DA,为x.y.Z轴建立空间坐标系，那么人(0,-1,0),C(0,1.,0).8(2,1,0).A(QQr),G(O2r),AG=(0,3j),B=(-2,-1.r).Cfi=(2,0.0).H1.1CC=O.知ACJC8.又BA1AC1,从而AC1±平面ABC：(I1.)由ACi=-3+/=0,得=6.设平面A八8的法向Ift为=(KKZ)V=(0J,3),4«=(2,2,0),所以方:就二设一Ms)1.C1.n22T所以点C1.到平面AA8的即曲d=1._rrJ=丝巴，H7(III)再设平面AtBC的法向状为1=(X,y,z),CA=(0.-1.J),CB=(2,0,0).所以m-CAt=-y+y3z=0设7=,那么;=(O,11).mCB=2x=0',故cos<m,n>=罟;=£,根据法向电的方向，H,M7可知二面角八-A-c的大小为arccos四)创新武退1.如图.正三棱柱A8CAIBC1.中,。是SC的中点.AA=A8=1.(I)求证：A1.a/平面ABQ：(II)求：面角8A8一。的大小；(III)求点C到平面ASQ的距离.解法一(1)证明：连接AB,设A1.BnABI=E.连接DE.YABC-AtBC1.是正三极柱，I1.A1.=AB.四边形AiABB1.是正方形，.E是A1.B的中点，又D是BC的中点.DE/7A1C.VDEc5IHfi1.ABD.AIC(Z平面ABQ.1AC平面ABQ.(II)解：在面ABC内作DF_1.ABF点F,在面AIABBI内作FG1.ABj于点G,连接DG.V平面AABB1±iABC.DF±平面A1.ABBFG是DG在平面A1.ABB1.上的射影，VFG1AB1./.DGIAB1ZFGD是：面角B-AB1-D的平面角½A1.A=AB=I.iiEZABC中，DF=-.在AABE中,FG='BE-'匚.48在RDFG中，IanZFGD.FG3所以，二面角BAB1.D的大小为amian当.(III)解：；平面BIBCGJ"平面ABcF1.AD±BC.AD±B1.BCC.又ADU平面ABQ.：.平面BBCCABD.在平面B1BCC1内作CH1B1D交BD的延长纹于点H.那么CH的长度就是点C到平面ABQ的距离.由AcdhsABiDB.得CH=b'cd=史.B1D5氏即点C到平面ABQ的距离是与.'V5V蟀法二：X1建立空间自用坐标系D-Xyz,如图，/1(1)证明：一弃二连接A山.设A山CABI=E连接DE«i殳AA=AB=I.那么D(0.0.0),A1(0.1),C(-.0.0).24422.DEU平面八片Q.A,C<z平面八"。.GI一3I(II)解：A(0,y,0).B1(-,0,1),AD=(0,0),B1D=(-.0-1)，设n1.=(PMr)是平而ABtD的法向盘,那么n1.AD=O,BJD=O.故一Wq=O.gp-r=O.取r=1.1.=(2.0.1)：同埋，可求得可求AB1B的法向量是n2=(3-1.0).设二面角8一八分一。的大小为0,.COSe=叫2IM1I1.H215：.二面角BAU1D的大小为arc