第7章-静电场.docx

第七章静电场问题7-1设电荷均匀分布在一空心均匀带电的理面上，假设把另一点电荷放在球心上，这个电荷能处于平衡状态吗？如果把它放在假肉球心的位置匕又将如何呢？解我们先考虑电荷均匀分布的带电球而在球内的电场强度E的分布情况,I1.1.E=产/俏来判断某处点电荷是否能处于平衡状态。对于球心。处.由于球面电荷分布均匀,球面上各点的电荷在球心处的电场强度在各个方向上都是均衡的.又由于电场强度为矢Sb所以其合矢量为零，偏璃球心的任一点P处的电场强度可以由高斯定律求得.极擅球面电荷分布的劝称性，我们选取过点尸、与带电球同心的球面为高斯面。利用尚斯定理有1.E"S=O,所以在点P处的电场强度也为零.由上分析可知，在均匀带电的洋面内任一点（环心或者偏窗球心）处放一点电荷，此电荷受到的合力都为零，都能处于平衡状态.7-2在电场中某一点的电场强度定义为E=-.假设该点没有试验电荷.那么该点的电场强度又q。如何？为什么？解该点电场强度不会改变，因为电场强度反映的是电场本身的性质，它是电场本身的属性,与试验电荷的存在与否无关.7-3我们分别介绍了解电场的库仑力的段加像埋和电场强度的冷加原理.这两个会加原理是彼此独立没有联系的吗？解这两个叠加原理并非彼此独立.而是相互联系的.这两个强加原理都是矢责段加原理,电场强度的登加原理是他库仑力的登加原理推导而来的。7-4电场线能相交吗？为什么？解不能相交。由电场线性质可知，电场中任一点的电场强度的方向与此处电场线切践方向.假设两条电场线相交，那么相对于不同的电场战，相交处的电场强度有不同的方向，而电场中一点的电场强度只能有一个确定的方向,所以电场线不能相交7-5如果穿过曲面的电场强度通居代=0,加么，能否说此曲面上包一点的电场强度£也必为零呢？解不能.中叱=IEdS知,穿过曲面的电场强度通盘不仅与电场强发的大小有关而且还与所取的曲面行关.假设组成曲向S的各个面积元4S的单位法线矢量e“与该处的电场强度/?之间的夹角均为90.那么GC=0.但曲面上各点的电场强度£并不为零.7-6板设穿过一闭合曲面的电场强笈通吊不为零，是否在此闭和曲面上的电场强度一定是处处不为零？/一、解不一定。如右图为两个等最电荷，穿过闭合曲面SfS2,的电场强度通盘为q4.但是在曲面卜.点。处.即两电荷的中心处.为零.4+“电场强度7-7戊电荷放在球形尚斯面的球心处。试讨论以下情形下电场赧度通汆的变化怡况：（1）假设此球形高斯面被一与它相切的正方形外表所代冲：（2）点电荷离开理心，但仍在球内；（3）有另一个电荷放在球面外：（4）有另一个电荷放在球面内.解由高斯定理，通过任一闭合曲面的电场强度道Jk等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以4.而干情况（1）、（2）、（3）,面内的电荷代数和没有变，电场强度通城不变.在第（4）种情况中，电场强度遹Ift瓶面内电荷数改变而改变7-以下几个带电体能否用高斯定理来计算电场强度？为什么？作为近期计算，应如何考虑呢？（1）电偶极子：（2）长为/的均匀带电H线；（3）半径为K的均匀带电圈盘,解以上几个带电体都不能用裔斯定再来许停电场强度，因为它们在空间的电场分布没有对称性，所以通常用电场强度的登加原理直接求解,在近似计算中.对于带电直线.当考虑的场点到直线的距禹远小于带电直线的氏度时，可以利用商斯定理求裤：对于均匀带电酸盘，当场点到B!盘的距离远小于圆盘税收时，也可以利用高斯定理求解。7-9电荷q从电场中的点A移到点B,找设使点B的电势比点八的电势低.而点B的电势能又比点A的电势能要大.这可能吗？说明之”解可能。电势能是电荷处T电场中所具有的能I匕它不仅与两点间电势差有关，还与电荷有关。粮设电荷4为负.将它从电场中的点A移到点/1.电场力做负功.电势能增加,电荷4在点A的电势能比点A的电势能要大，7-10当我们认为地域的电势为零时，是否意味存地球没有净电荷呢？解不是.电势为零与是否有静电荷并无直.接关系。7-11在南雨季节，两带正、负电荷的云团间的电势空可达10"'V,在它们之间产生闪电通过3OC的电荷。说明在此过程中闪电所消耗的电能相当于IOkW发电机在多长时间里发出的电能，解在此过程中闪电所消耗的电能为E=qU=3.0X10"J,它相当于10kV发电机在3X10's,即大约8333h内发出的电能。7-12无限长带电直级的电场强度为（）=去£，我们能否利用并使无限远处的电势为零（½o=O）,来计匏“无限长”带电百线附近点A的电势?解对于电荷分布在有限空间的情况,我们通常取无限远处为参考点，但电于“无限K”带电宜导产生的电场，不能取无限远处为零电势参考点，应该在场内选择一适当的参考点，例如可以取与且导战相距为r处的电势为终。7-13在电场中.电场强度为零的点,电势是否一定为零？电势为专的点,电场强度是否一定为零？试举例说明.解电场强度为零的点，电势不一定为零.例如，电荷为。、半径为R的均匀带电球壳内电场强度为零，但壳内各处的电势并不为零，而应与球壳外表的电势相等，大小为一2=.电势为零的点，电场强度不一定为零，例如，电偶极子中垂战上电势为零.但电场强度并不为零,7-14电场中，有两点的电势差为零，如在两点间选路径，在这路径上，电场覆陵也处处为零吗？试说明。解不一定，由Uw=ff4可知，两点间电势差还与路径选择有关。例如匀强电场中，对于垂直电场强度方向的平面上的任感两点电势差为零，但连接这两点的任,路径的电场强度均不为零。习题7-11964年，盖尔姓等人提出根本高了是由更根本的跨克构成，中子就是由一个帝2e3的上考克和两个带-e/3的下考克构成，将考克作为经典粒子处埋(考克然度约为IO*'m),中子内的两个下行克之间相距260X1.tT"m,求它们之间的斥力。解由即意可知，弯克可视为经典粒子,由库仑定律7-2质量为初，电荷为-e的电子以圆轨道烧氧核碇转，其初动能为反,证明电子的旋转猱率满足其中是其空电容率,电子的运动可视为遵守经典力学定律.证则由于电子、氮核的大小(IO"m)远小于即轨道半径(10-,°m),所以可以将电子和氮核视为点电荷，电子绕氮核作阀周运动的向心力由电子、级核间的库仑力提供，即由上式UJ得电子运动的动能为又电子旋转的角逑度M由(2)(3)式可得电子的艇转频率为7-3在纨化艳品体中，一价氯离子0与其最邻近的八个一价他离子Cs.构成如下图的立方晶格结构.(1)求氮掰子所受的库仑力：(2)假设图中漪头所指处缺少一个施离子(称作晶格跳陷)，求此时氯离子所受的库仑力。解(D晶体中氯商子、艳离子均可视为点电荷级国子与艳禹子相互作用力沿立方体体对角线.由对称性，制窗了所受到总/R,Z的摩仑力为0.40nm作用力与在缺7-4两个点电荷所带电荷之和为。，何它们各带同号C1.OCs1电荷为多少(2)由笫一何可知，缺陷以外的艳离子对氯离子总的陷处的葩离子对弧离子的作用力大小相等方向相反即其方向如下图.时,相互之间的作用力最大?M设其中一个点电荷带电fit为q由跑意可知另一个点电荷带电量为（。-4）,那么两电荷之间的相互作用力为由极做条件亲=O可得此时竺=。dq'211¾,r*所以当两点电荷带等量电荷go时,其相互作用力到达或大,7-5假设电荷均匀地分缶在长为1.的细棒上，求证：（1）在棒的延长线，且离棒中心为r处的电场强度为（2）在格的垂出平分线上.离棒为r处的电场强度为假设棒为无限长（即1.foc）,试将结果与无时长均匀带电JK践的电场强震相比拟。电场覆度，如下图0沿细棒方向.电细棒上距原点X处证明这是求解电荷连续分布电荷体系的建立坐标系.坐标原点。在细棒中心.坐标轴荷均匀分布的细棒上电荷戏密度为4=孝.在1.t取长度为dx的电荷元因.因此dq=入dx=Q（k,那么它在厂点产生的电场强度为r'为电荷元与点P的距离.（1:假设点P在棒的延长线上，细悻上各电荷元在点P的电场强度均沿K轴,考虑到r=r-x，所以点P处电场覆度大小为（2）假设点，花棒的垂出平分城上,由对称性可知，/,点电场强度沿），轴,为电荷元与点P连缓与X轴方向的夹角，由图可知Sina=J1.r,=r+,所以点P处电场强度大小为线设棒为无限长（即ATg）,由上式可御此结果与无限长均匀帚电直线的电场强度分布相同，说明当空间点P与带电棒的距离r远远小于棒的规度（BIJrV1.1C1.）时，可将带电棒机为无限长带电出战，7-6半径为/?的半网细环上均匀地分布电荷。,求坏心处的电场强便.QXy,半圆的环为力的电荷元电场强度为在环心处的电场解如下图，以细环囤心为原点。建立坐标系可看作电荷均匀分布的半圆细弧线,在弧筏上取弧长（Iq,那么4/=幺4/.它在环心（即原点。）处的又由于圆环电荷对于），轴呈对称性分布.整个半恻坏强度沿X轴的分M为零，即JjE,=O,环心处电场演座只有在)，轴方向的分崎，即又/=Rito.带入上式变换积分元可得其方向沿y轴负方向.7-7一半径为K均匀带电的半球壳，电荷面密度为,求球心处电场强度的大小。所在的H线为X轴.我们在垂直球心处的电场强汆为q的细圆环解如下图,以半球球心为原点0.半球对称轴Qt轴，由对称性知，球心处总的电场强度方向平行于于X轴的方向将半球壳分割成组平行的带电细圆环，改为各个圆环在。点场强的小加，由教材可知，带电在其轴线上,距离网心为X的。处的场强大小为E=-J,方向沿圆环轴观方向.4叫(Wy取分割后所得的细网环为电荷元陷，那么dq=cdS=211R2sin<9.它在球心处的电场强度为又由几何关系，眼环离球心的距两为X=RcosJ,取环半径为r=RsinJ,所以，将上式积分可得7-8两条无限长平行直导线相距为石,均匀带有等量异号电荷，电荷线密度为4.(I)求两导线构成的平面上任意一点的电场强度(设该点到其中一线的垂直距总为X)：(2)求班根导践上单位长度导规受到另一根峥践上电荷作用的电场力，取点P到导作两无限长电导城在与的场强为荷与另一根导级单位长解(1)如图.点P为两导线构成的平面上一点.线的乖戏段所在的口戌为Qr轴，点P处的电场强度可营导线在此处场强的费加，由习题7-5结论可知，无限长带之相矩为N的位置所激发的场强为E=J-,所以点P2110x(2)单位长度导线受到的电场力等于单位长度上的电导规在此处激发的电场强健.设B、E分别为正负带电位所受到的电场力，那么由上一何可知由上可知，两带异号电荷的无限长号城相互吸引。7-9设匀强电场的电场强度E与半径为R的半球面对称轴平行试计算通过此半球面的电场强度通量.解此SS有两种解法。也不同，要成的闭合曲方法一：由电场强度通量的定义求解，即痣=JEdS在球面上，不同位置处的小面元dS与电场强哎方向的夹角得到上式枳分，我们选取球坐标系，在球坐标系中，所以x=£E-t1.S=JER2si11-W"sind方法二：由高斯定理求解.取半径为R的网S'与半球而S组而为高斯面,此曲面内包含的电荷量为宓,所以由高斯定埋有所以通过半球面的电场演度通玳为dS'方向与dS方向相反.由上式可得7-10地球周困的大气犹如一部大电机,由于雷网云和大气气流的作用,在蹒天区域大气电高层总是带有大fit的正电荷.地球外表必然带有负电曲，睹天大气电场平均电场强度约为120Vm-'.方向指向地i.试求地球外表单位面枳所带的电荷（以每平方厘米的电子数表示）解在地球外表附近取与地球同心的球面为高斯面，其半径近似为地球半径凡，即A=凡，设地球外表所带电荷总址为Q.由R斯定理上式中电场强度£指向地心，"S沿法线向外，加么地球外表电荷面密度为所以地球外衣年平方厘米的电子数为7-11如下图，一无限人均匀带电薄平板，电荷面修度为a,在平板中都有个半径为r的小眼孔,求网孔中心轴线上与平板相距为K的一点P的电场强度.此SS比拟梵杂.容易求得，由电一块面密度为为一。的网盆在电场强度为中心轴找Qt方解要从电场强度定义或拧高斯定理直接求悌由于无限大带电平板、带电圆盘在P处的电场强度很场强度的比加性.我们可以招P处的电场强度看作足的无限大均匀带电薄平板和一个半径为，、面密度此处的电场强度的桑加。由教材第四节例I可知，无限大帝电平板附近的圆盘在在轴线上距其X处的电场强度为其中为沿平面法城向外的单位矢疑，在此题中即为向的单位矢地。所以在P点总的电场强度为由上式可知，当点P在圜孔中心处（x=0）,E=O当点/'离B1.孔很远（，/），E-eu,相当于带电平面上的小圆孔对其轴战上的电场强度分布没温'中，存在一个球形空示,试证明球形空腔称，其电场分布也没整的、电荷体密度为且与空腔球体等大有影响.7-12如下图，在电荷体密度为。的均匀带电球体腔,如将带电体球心。指向球形空腔球心。'的矢BuIJa表中任意点的电场强度为证明此题中带电球体由于空腔的存在不湎足球时有对称性，所以无法H接由高斯定珅求解“由施选分析可知带有空腔的带电球体等效于一个完P的均匀带电球体和一个电荷体密度为一、球心在.的带电小球体.那么空腔内任一点处的电场强度为这两个球体在此处产生的场强的叠加又带电球体内部一点的电场强度为那么在空腔内部任一点总的电场强度为又4一口=.所以7-13，无限长、半径为/?的圆柱体上电荷均匀分布，圆柱体单位长度的电荷为力，用离斯定理求IM1.柱体内距轴视斯忘为r处的电场强度.所以其电场强度沿各点的电场强度相的圆柱面为Si斯解由于圆柱体无限长，且电荷分布均匀,乖史于轴的径战方向，而且在距轴线等距两处等.如图，取与10柱体同轴、半径为人长为1.面。由前面分析可知电场强度与两个底面平行，与列柱侧面垂所以，通过此尚斯面的电场强度通盘为又由时竟可知，圆柱体内电荷体密度为/>=4nR',那么高斯面内的总电荷量为由高斯定理E4S=Q/得UPE=-2110R-7-14个内外半径分别为此和外的均匀带电球光.总电荷为。球光外同心罩一个半径为此的均匀带电球面，球面电荷为。”求电场分布，电场张度是否为离球心距离r的连续函数？试分析。解取以琼心。为原点,半径为r的球面为高斯面,由于电荷布,所以电场强度也呈球对称分布，并且高斯面上各点电场强度大均沿径向方向。由高斯定理可知其中高斯面内包含的电荷量:与，有关.当r<用时，高斯面内电荷。=O,那么C1.(rj-R1.')当叫<r<K、时,高斯面内电荷。=2.那么%-%当用<r<8时,高斯面内电荷为0=。超么当r>与时，而斯面内电荷为Q=Q+Q；,那么电场强度随r的分布曲线如右；由曲线可见.电场强度在球面处有一个跟变.电场强度不连续.变的产生是由于将带电洋面的厚度忽略不计的结果.7-15两个带有等优异号电荷的无限长同轴If1.I柱面，半径分别为用<小),IR位长度上的电荷为,求忌轴观为r处的电场强r<R1i(2)Ri<r<R2(3)r>R2解由于同轴回柱面无限长,电荷分布均匀.所以其电场强的矢径方向，口高轴线等距窗的各点大小相等，即电场强度分布性分布的。因此我们可以取¥径为八高为1.的同轴B1.柱面为诲圆柱侧面的电场强度通量不为零，即通过此高斯面总的电场强度由高斯定理当<与，Q=0,故EI=O星球对称分小相等，方向当A</</?、,Q=1.故£,=2rar当r>&,。=().故E1.o7-16如下图，书-：.个点Iti荷Q,、Q,、。,沿一条出线等间距分布，其中任一点电荷所受合力均为零.且a=。,=。，求在固定2、。,的情况R将往从。点推到无穷远处外力所作的功。解格从。点推到无穷远处外力所作的功等于此过程电场力作劝的负值。电场力作功又可由两种方法求解.方法一是直接利用功的定义W=1.'Qe4其中E是a、R在空间中产生的合场如方法二是利用电场力作功与电势能改变负的关系.¾>t.W=Q(%-匕)=0%,其中是0点的电势并且令无穷远处电势为零.由时意可知，三个点电荷受合力均为零,分析G受力可得解得Q2=-Qi=-Q44(1)由于电场力作功与路径无美，设0沿y箱从。移动到无力远处。QrQJ在),箱上任一点激发的总的电场强度为其方向沿.Y轴.所以将Q：从。移动到无穷远处，外力所作的功为(2)由也势穆加原理，Q-Q在点。的总电势为所以将Q.从。点推到无穷远处外力所作的功为7-17水分子电偶极矩P的大小为6.2MIo*Cm,求在下述情况下,距窗分子为5.00x10Tm处的电势.(1)0=0：(2)9=90.。为r与P之间的夹角。M由点电荷电势的强加可得电偶极子在距其r的点P处产生的电势为r.=r_,此时点(1)当。=0时，点P在电偶极子轴线的延长找上，旦rtr-,r=r+,此时点P处的电势为22对于电偶极子有r>>,所以V=-4"，(2)当6=90时，点尸在电儡极子轴跳的中垂线上,/'电势为零，即7-18两个同心球面的半径分别为A和&,各自带有电荷0和。2.求“各区域电势的分布.并画出分布曲战：(2)两域面上的电势差为多少？解各区域电势的分布可以根据电势与电场强度积分关系来求解,也可以根据电势的强加原理求得.方法一(1)由于电荷分布呈球对称,可以由高斯定埋犯到区域电场分布由V=J'EW可得.当rM凡时当凡r&时，电势为分布，电荷当r24时,电势为区域电势分布曲线如右：(2)两琼面间的电势差为方法二(1)半径为K的均匀带电球面在各区域产生的由叠加原理可得，两个同心球面在各区域产生的电势为(2)两球面间的电势差为7-19半径为R的无限长带电细榨，其内部的电荷均匀密度为夕，现取棒外表为零电势.求空间电势分布并画出电势分布曲线。解由于带电细棒无限长，口电荷均匀分布，所以其产生的电场和电势呈轴对称分布.取高为1.半径为r旦与细棒同场的魄柱面为而斯面，由高斯定理可得细样内外的电场强度分布当rR时E2nr1.=11r1.ea当r之及时E211r1.=11R'ip0假设取株外表为零电势，加么空间电势分布为当时V=广守=盒俨_切当2A附的关系求电场同心带电细圆此处产生的电点P处产生电势Ki空间位置的分布曲级为7-20一网盘半径R=3.000"m.圆盘均匀带电.电荷面密度b=2.00KT5Cm”.(D求轴线上的电势分布：(2)根据电场强度和电势梯度分布；13)计算离做心30.0Cm处的电势和电场强解(1)如卜图，将均匀带电圆盘分割成一组坏,那么轴城上任一点P的电势为这一组细阳环在势的叠加.取半径为r、宽度为dr的带电细圆环在轴线上的电势为将上式半径从OTR枳分可得点尸处总电势为(2)轴规上任一点电场强度为其方向沿X轴方向。当场点离盘心的跑离为30.0cm时，由(1)(2)可得7-21两根很长的同轴圆柱面（1.=3.（X）×1.（）2m,2=0.10m）,带有等量异号电荷,两者的电势基为450V,求：（1）I如柱面单位长度上带有多少电荷？（2）两圆柱面之间的电场强度.M由7-15SS可知，两同轴圆柱面之间的电场强哎为所以两柱面之间的电势差为由上两式可得7-22轻原子核（如氯及其同位素笊、通的原干核）结合成为校屯的原广核的过程叫做核聚变，在此过程中可以择放巨大的能埴，例如四个氮原子核（质子）结合成个锹原子核时，可以放出25.9MeV的能fit即这类聚变反响提供了太阳发光、发热的能源.如果我们能够在地球上实现核聚变，就能扶得丰富的廉价能源，但是要实现核聚变玳度相当大，只有在极离的温度下，原子热运动的速率非常大时，才能使原子核相翻而结合，故核聚变反响又称热核反响，试估算：（1）一个质子（；H）以怎样的动能（用电子伏特表示）才能从很远处到达与另一个项子相接他的跟离：（2）平均热运动动能到达此曲时，气体温度有多高（质子的平均半径约为1.OXIOTSm）.解（1）质子上的电荷可以近似成球对称分布.那么质子空间中由肉质子中心为r处的电势为另一质子从无穷远处向该原子运动的过程中，要克服阵仑斥力作功，动能及少、电势能增加.要使两质子可以相储，那么运动质子的初始动能Eu）不能低于到达郎撞处时的电势能，即由以上两式可得.运动质子的动能为（2）由上一间可知，假设氧分子平均热运动动能到达此初始功能大小时，由分子动埋论可知此时气体温度为可见此温度是非常大的.7-23在次典型的闪电中，两个放电点间的电势差妁为10,V,被迁移的电荷约为30C,如果新放出来的能景郡用来使OC冰变为OC的水.那么可增解多少冰.（冰的熔解热A=3.34x1.O5JkgI）解闪电柞放出的能量被冰吸收融化成水，可被融化的冰的顽玳为7-24在玻尔的氢原子模型中，电子沿半径为053xKf2m的圆周线原子核旋转,（1）假设把电于从原子中拉空来葡要克服电场力作多少功？（2）电子的电成能为多少？解（1）电子绕核作圆周运动时的电势能为所以假设把电子从原子中拉出来需要克服电场力作功（2）电子在轨道上做圆周运动的向心力由静电力提供,即所以电子运动的动能为电子总能收为电子的电离能为