第五节-幂级数-2010-4-6.docx

注意:对于级数E%,当ZM收敛时，Z“,绝对收就*-1.>1.H-Ito1.(T厂'y-diraA(T)“'j例证不-v三WRM令%=y那么(2-T叫=向=同收做故原锻数笫同收敛.§7.5号级数教学目的I弄清事级数的相关概念：掌握厘级数收敛半径、收敛区间、收敛域定义与求法：掌矩粘级数的性旗，能灵活正确运用性朋求幕级数的和函数.(肝点：掌握雅级数收敛半径、收敛区间、收敛域概念与求法：掌握解段数的性质,能灵活正确运用性质求窑段数的和函数.以及常数项徼数的和.帙学方法，启发式讲授校学过程，一、函数项税数的霰念1.【嵬义】设UI(X).U2(X).必,(戏是定义在区间/上的函数,那么RM,()=H1(X)+U,(.V)+Un(.V)+-1.称为定义在区间/上的(函数项)无穷级数.2 .收敛，(1)收敛点一一常数理汲数Z4(q)收敛：n-1.发放点.一一常数项缴数£%(.%)发放：21(3)收敛域D一函数顶级数£4*)的所有收敛点形成的维合。：(4)发散域G£“工幻的发散点的全体构成的集合G.JM1.K3 .和函数S(X)5(x)=Z”“(X),xeD.M-I,1.余项(X),(x)=S(x)-S"(x),SAr(X)=W/(x),4:-I.reD.注：只有在收敛域。匕MX)才有意义：Iimq(X)=O,XGD.nx二、租数及其收敛半径和收购I1 .【定义】形如Sn的函数项级数称为(X-XJ的看级数.(也称为TMMm),其中%4%4,为常数,称为林级数的系数.为与=O1.M,XaxXn称为X的恭级数(也称为标准事最敷)，nO其中常数o(/»=0,1.2.)称为霉级数的系故.结论：对于拨数一引"，作代换r=-玉可以将般解IIrO级数化为标准咕微数.所以我们只研究标准鼻级数数散件的到M-O别方法.£%了的收敛旗：此级数的全体收敛点的集合U=O显然：不。(收敛域),即事级数总在X=/点处收敛.Z-<,z-1Xi,£均为鹏坡数V的收敛域D=(-IJ),其发敝域M"!G=(-x,-1.U1.,+o).且和函数S(.r)=X.t"=-!-.a<1.此结论可当公式使用v-uIX2 .皴数的ecttM把级数£4/的各项取绝时值得正顶级数S3工1,0-0-0记Iim也=/,那么Iim区正二=1.v;于是由比值判别法4ax>1知(I)假设<,(),即W<；=/?,绝对收敛.(2)假设N>1,即W>!=/?,£a“x发散.(3)黄设/凶=1,即N=；=/?,比值法失效，Na.V1敛攸另K-O行判定.(4)假设=o,即M=o<,此时对任意X,S4”收敛.上述分析显示欲数在一个以原点为中心,从-K划R的U-O区间内绝对收敛，区间(一凡R)称为常级数的收敛区间./?=:为收敛半径.假设级数Sqx"仅在点X=O收敛.那么现定&=().级数的收u0敛域为X=O例加级数S"!=1.+x+2!f+11!xn+H=O由于！吧|可=!叫丁窄干=则”M>=o),.级数收敛域为X=O或0：独点集.假设£4X"对任意X都收敛，那么<=KQ,级数的收敛域为n-0(>o,+oc).当()<R<+8时，要讨论缎数在X=±R处的敛散性才能确定收效域.此时收敛域可能是以下区间之一：(/?./?)./?.R).(/?.R.(/?.R.3 .【阿贝尔定理】(补充)设SaE"的收敛域为。，那么三0(1)假设/e。IIMW0.那么对VIK1.V0|,£q/收敛«=0I1.绝对收敛.假设-i1.gO.僚么对V1.X>x01.有eD即级数发散H-O证明：（1）XOGDnNaX收跳rt-oaw>o由Z"K收naK0（8）=>1«<IM（M>0-O的常数）>0f1.X|=|«XI-.w-,w-<,IXU1.1.1.从而y.w1收敛，=>正项级数SIaKr收敛M（1.IIf=>£“丁收敛=>XW。即对VI<KI,£（j,n收敛I1.绝/=（»H对收敛.h）»Xo4ED.假假设有$W。满足-1.>1.X。I=>“X收敛*-<n/G。矛盾.所以VIXI习工|.有土"发散.即n-0xi.D.注意：假设>c"那么（-K1,1/I）U。（收敛域），（0）:（2）或设与任。,那么（y,-kDU（IxjE）UG（发散域）.4 .【定理7.13假设后级数，>/"系数满足条件Iim-Man或Iim=/（/为常.数或8）,那么(1)当O<<WC时，那么R=-：(2)当/=O时，那么R=+.(3)当=+oo时，那么K=0.常用公式：=IimW.R=一=.FaIim加C，8s,例如：邪级数Zx”的收敛半径R=1.X=±1时，级数发做，故n-0其效区与敛域均为(T.1).例1求林级数£(-1广,的收敛半:径与收敛域.rt-1.n解：e=Ump-j=Iim-=1.IMj-n(2)当X=I时，级数为£M1.收敛：当X=-I时，级数为S1.发散.M-I"故收敛区间(敛区)是(-U),收敛域为(-1J(Itte).例2(1)求墓级数£工的收敛半径与收敛域.4-0"S1n.a1.Gj+1)!.、娜：4Af=-=A=Iinis-=Iim=1.m(zr÷1.)=÷oc,!4八-!故收敛区间和收敛域均是(7O+)(2)求鼻级数£n!.r"的收敛半径.“I*/J=1.im-2-=Iim=Iim=0.IIaa1.1.-("+I)!I*1”+1练习：求林级数Z(-1.)”'i的攻效半径与收敛域.提示：R=Ii=I=R=I,又NNI时级数发散.收敛域例3求部级数Z(T)Zu0的收敛半径叮收敛域.n*+1.(-1,3m".3+-C=Inn-.r=3a*i+1,1)3./V1.niM<9时级数次敛：当3x2>1.=>.x时级数发散.IHI当=土有时，原级数是二(-1)”'；.收敛的交错汲数.所以收敛半径A=T=,收敛区间(-3,收敛城t1注京：豌项汲数可以直接用比俏法求收敛半径.例4(1：求用级数S空U的收敛半径与收敛域.3n解：令r=2x+1.解级数变形为R,-Iimn=IimJr1.=Iim=1=凡=In叫"I"*f1.+1<1=>.r+<；时/数绝对收敛，M>1.=>.r+>：时级数发散，M=InX=I.=O.当X=1时原级数为£(-1)”!收敛.*II当X=O时，Z1.发散，故原级数收敛半径R=1.,收敛域为2-1.01.注4一股每级数求收敛半径时作变址代换.(2：求级数"一E2«-I,2-I的收敛城.解：Iim-a-，Iirn>«0/“2n-由H<I即N<1时级数收敛，由由IXf>1即N>1时嫂数发散.得R=X(1)11-N(一)r当X=I时，£1收敛，当X=-I时，Zir收敛，£2n-1.£射一1所以收敛域为-1,1).HRi1(02.3)设部级数SqX"与Sa,r"的收敛半径分别为手与g那么幕级数f*”的收敛半径为（八）(2 (90.5)求级数雪业落的收敛域.解令=-3,级效S二.由1.im%i=Iim-=1知"j,">*(m+1)-R,=i因此当一1<x3<I即2<x<4时级数比敛."Ix=2时，原级数为S察收敛，当x=4时,原级数为H-I/收敛M-I所以收敛域为2,41.(3 (92.3)级数W二的收敛域为(0.4).<1-14答令，=(X-2)"对于£，由色小4"1. nu.114IIim=Iim=-.a“nx(w+).4044于是收敛半径«=4,那么-4<(x-2)2<4,即0<<4内收敛.当X=O和X=4时,原级数都为雪发放,所以收敛域为(0,4).三、事或数以及和画数的运算性质1 .设f>'和£#的收敛半径分别为凡和号,.8I)加流法：S勺£±£,1=£(4±bn)xn.ve(-Ki.R).-0rt-0-><其中：RninRa.R1.,.2)乘法：£Ve=C1.,xa=(MJ)XU,Xw,R).H-O-Ort-Oc0i-o其中:Rtmn(Ra,Rb),q=力0也_*,n=1.,2,.3：除法：=Z×,xg(一叫.叫)bt1.xaZI1.O其中:一得定,而q由系列表达式C=Z4%,”=12确定.A-O此处.W+，但尺.=1.2 .把级数£6,r"的和函数S(X)在其收敛区间(-凡?)内是连»1-0续.3 .每级数£可产的和函数S(X)隹其收敛区间(一凡&内可机C-O且有逐项积分公式J；S(X)dsJ；/"，=之热.n=011=0十1:积分前后的收敛半径不交)例=1.+x+,v+-+xn+,IXkI.逐项枳分时在1.-xX=I处无意义.4 .'格级数ZaM"的和函数S(X)在其收敛区间上可微，I1.在收敛n-0区间I：S'(X)=；£4d=£hux-',x<R,=R.S-O/-说明：求导与积分后两AUfc的收敛半径不变.但收敛域有可能改变.公式£/=丁!一(收敛域为M<i)H-O1一彳例5求格级数S'-的和函数S(X),并求£上乜.m+1M+1.«*：(1)R=Iim国=Iimu=I.当A=T时，级数为也"-*+1力岑收Zf+1敛：当x=1.时，级数为E六发轨故原级数收敛域是一U>.r(2)当0VX|<1时,有-S(x)r=I-I=YX"=.+UMI-XJ'是.vS(x)=S()7=(p<r=-In(I-A).由于S(O)=1Ir林级数在其收敛域上连续，-1.n(1.-),-1x<O.O<<1：xI,x=O.取X=-I代入和函数可得y1.11.=5(-1.)=1.n2.(2)求解级数£，U1.+2+3d+广J的和函数n-1.S().井求级数Ef及级数£!?的和.M：1)P=IimM=Iim-=1,所以K=1.anIIAn当X=I时，发散，/x=T时,£(一1)"发散.n1.=I所以级数敛域为(-1.1).2)设S(x>=S"/1.xw(-IJ),那么1.SaMr=J；力"”三x"三-1.三xe(-U)-1.Af-I1*1S(x)=f'S()=(一),二,KW(-1.1)为所求和函(ixin1.-x(1.-x)数.3)令X=!，那么有£拈严=，所以£/=2.2 «-»2(1,尸rt,21；令K=:,那么有£(!)-=T所以£鲁=1.3 n-3(1工rt,32练习：求称级数SC的和函数S(X)：敛域-1,1)S(X)=Ind-X)<2(99.3)为(%T=.-2因S(X)=£叱=(-v11r=(1.-),=(1.-D,=tn-1.I-XI-XU-K)令X=：,原么有£(；)"T=5(1)=4.所以答案为-1.例6(00.6)设。=FSin"xcosxdx."=0.12.求£/”的和.<=0解由/=(sin"XdSinX=T(Sinx)''瑶/百为争FS吃煮,i>*1.T-科-=1.n(2+,2).那么其收敛半径R=I,在(一1,1)内5'(x)=y.t"=-,17于是S(X)=，=一1皿一此令K=也，那么2从而£/“=£'/"xcosUv=Inn0O例7(03.9)求M级数I'£(-1)"宇(凶<»的和函数/Cr)及其极值T解依题意/()=+E>y*(HV1.)一/)=1(-1)-'=-(-1)"=-A-A-IX“II十K上式两边从。到X积分,得-(0)=-'dr=-'-!-rd(1.+2)=-1.n(1.+x1)2J7+,-2由/()=I得/（八）=11.n(1.+),(<I).令AK)=。.求得唯一驻点X=O.由于Jr(X)=-E-可见/")在a=O处取得极大值,且极大位为/(0)-1.例8(05.9)求R级数S(J-1.)x2*在区间(TJ)内的和函数tr2+i5（八）.解设与。)=£彳匚：&")=£/"，M2"+1.Zf那么S(x)=Si(x)-S),x6(-I,I)=.ru-.ff.I-X(x5(x)Y=£户=2½xe(TJ),因此XSd)=1；+京岩又由于S1(O)=O.,c,、-1+-h,0<.v<1.,所以SI(X)=J2a1-0,X=0.11.1+A-1U1.()<<故S(.v)=S1()-S2(x)=<2xI-X1-jO.X=0.修习：求以卜级数的收敛区间，并求和函数:解该级数为£W/n。由32n-1.对收敛.当X=T时.耳级数£昱，收敛:当A=1时.耳级数£院丁=x知当VvI时和汲数绝收敛，所以原呆级数的收敛域为TJ设S(X)=-x211",那么当X(-1,1)时有Z?2-1S,(x)(£需产,y=S(F=<-r,=7.n112/J-IIIrdI+A所以S(X)=-dr=arcianx.Joi+/-(2)2+4+6+8+M该将级数为£2心"1由三1.IimN=如产"+'：=nm吧=K“""IwIi2r,nwn知当Vv1.时事级数绝对收敛.当X=-I时$级数之(一2)发散：X=I时,部级数发*-1.1.1./ft.所以原平级数的收敛区间为(TJ).2x(T77设S(X)=£2hx2',那么当Xe(-1.1)时，有11HS(X)=("y=("y=(-y=厂小姑，1.注意收敛区间与收敛域的联系与区别.2 .利用超级数的性质求.格级数的和函数时.求导或求枳分时前后的收敛区间不变.3 .利用鼻级数的和函数可以求常数项级数的和：求出和函数后，取X的特使代入和函数即得所求.1.对缺项后级数在求收敛半径时应设辅助变转化为需现形鼻级数说直接用正墓被数的比值判别法求收敛区间.课JB记，存在向as：1 .对缺项整级数以及通顶为(.v-x0)n的每级数求收敛半径以及收敛域问的多.2 .求呆级数的和函数,不知从何下手.不能灵活运用幕级数的性顺以及四个常用公式灵活变形找S(X)的农达式.3 .不能灵活运用和函数求常数顶级数的和.