第十六讲-平面向量的综合应用.docx

第十六讲平面向量的综合应用一、根底知识点：考向1平面向量在平面几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件：ab=t=zb<=>y2y=0.(2)证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：a-1.b=>=()<=>x2+yy2=O.(3)求夹角问题，常用公式:Xabxx2+yy2ftx+)i一+*(4)求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模IAf1.1.=4f1.=7(X2XI)2+”一>)2.(5)假设题目中出现±>或加M时，就要考虑用几何方法解决有关问题,要么在平行四边形中考察，要么在圆中考察，并且可以结合采用建立坐标系的方法解决。00用向量解决平面几何问Sg的步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向盘表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题：(2)通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题：(3)把运算结果“脑译”成几何关系.00向量与三角函数综合问逛的特点与解逛思路(I)以向量为我体考查V角函数的综合应用题目，通过向疥的坐标运算构建出:角函数,然后再考杳有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题，有时还参加参数，考查分类讨论的思想方法.(2)对于三角函数求最值问题，大都有两种形式：一种是化成S=ASin3>x+或)，=ACOSi(SK+伊)的形式，另一种是化成y=an'in2x+bain+<或y="cos+Z>CoS.v+c的形式.考向2.向量有关结论的深度总结(一)向，与三角平四心PGj(P5+P5+PQoG为AMe的重心.特别地点+而+尸E=6oP为MBC的千心：月+d)Mw0,y)是BC边卜的中线AD卜的任意向过重心:AD=(AB+AC.等已知AD是“BC中BC边的中线.内丽丽PePd.百=P为AMC的圣心：ABCosBACcosC)c0.-w)ABCmBC的ftAD：的任意向昆.过哇心.j5PC+3C与+或IAS=OoPAJSC的内心：向fit机邛+岑)U，0)所在直线过A”C的内心(是HC的用平分线所在直找).MACAB=(OBOC)BC=(OC+OA)CAQO5=P月卜I四。O?=05,=OC1.OO为AABC的外心.(二)向量与平行四边形向量的加法的几何意义是通过平行凶或形法则得到，其应用非常广泛.在平行四边形HBCD中,设,4=a.AC=b,网有以下的结论：11；血+/。=3-5=0.志过这个公式。|以把共同起点的两个向1进行合并；着M=DiC.Qj弁斯因边形为平行四边形：3+b=0)-5=C及若曰+q=-qois=o对角线相等或锚边看直,则平行四边形为矩彩：G+B)G-b)=0op=同对角战专直.则平行四边形为菱形：+q2+口©=2忖:+2埠说明平行四边形的四边的平方和等于对角线的平方和：|向TM瓯±1瓯|+山,待她,当曾同向就6oA+5M+6>a-iHf1.-i);当26反向或有6o|；J中+卜曲”而当展杯共线oi-6Wi±iMi÷S信物和实妣坡类协（三）解析几何与向量嫁合时可他出现的结论<1）给出内城的方向向屋。化后或。-（*.”打（2） OAOB'>.AB相交.等于已知Qi+OBH.4B的中点：< 3）给出PM+V-6.3?FdttP是MV的中点；（4）启出»+改=义廊+屈）,等已知RQ弓AB的中点三点共歧；< 5）给出以下情形之：ABHACi存在实效人使前人NO：若存在实数力,且+P=1.,使优=7夕。月.等r已知aac三点共线.< 6）给出凉m04±2°3.等于已知P是.5的定比分点,1为定比.VAP-PB1+A（7）给出值3后-0.等已为M413.S乙IMB是II角龄出A£J3-m<。.等Fefe乙1.MB是纯角.给出MiA而刑>0.等于已知N1.3½税用一jfi.< 8）!JH=+=1.10.苦于已为.1。足乙&/3的平分线/IR网（9）在平行门边形TBCD中.冷出（M+石）（与-4）=0.等已知d5CD是受形；< 10）在平行四边形/5CD：，.f出.通+.9-乂月-.心I.等于已知Z1.BCD1.i矩形；I1.YA1.SC中,蛤出了S'=而2=反'等尸已知。是M5C的外心（三角形外按U1.的IU、.角形的外心是三角形三边垂II平分级的交点%1，5C中.给出面+而-6.等于Ci知。是A45C的心（三角形的心是三触形三条中戕的交点）；（13）汴A/5C中.给出Q*0分-苏Od诟&.等于巳知。足&45C的零心（二角形的望心一是三角形三条高的交点）：（14）在A3C中.给出。户=Qi+*空+二£）（2cR'）,等广已知心通过MBC的内心：IWMCI（15）在"BC中.给出Qj+b3+c衣=G等己知。是MSC的内心（二角形内切IS的恻心,三角账的内心是角形三条角平分域的交点）：（16在M3C中.给出=（.15-卜等！已知3是MC中BC边的中段;典型例题:1.已知。为坐标原点，平面向城刃.而.云满足：4=2a=4.OAB=O.(2OC-ai)C-OB)=Q,则对任意6w0.2司和任意满足条件的向出衣，C-COS0Q4-2sin0OB的H大值为.2.设向量(n=cos,sin-+cos-(=0.1,2,.12).那么g)(<扇一)的值为3.(2015浙江，15,难)。八G是空间单位向量e/F=孑假设空间向星b满足bg=2”=5,且对于任意x,yR.(xe+ye2)ft-(.v0e+.w2)=1.(,ro.wR)»那么ax=,W=，g1=3. （2014.安徽，10,雄）在平面直角坐标系Qv中，向量mb.=b=1.,ab=Q,点。满足的=1.（+m.曲线C=H>="co*+bsin。，0W"V2n,区域Q=HOVrra?.r<R.假设CCC为两段别离的曲线，那么（）A.<r<R<3B.1.<r3?C.r1.<<3D.<r<3<R4. （2015山西太原一模，14）设G是4ABC的玳心，且由Sin4>G+3sin8血+37sinC-GC=0,那么角8的大小为.5. （2013.广东.10）设是的平面向量I1.a#0.关于向量。的分解，有如下四个命题:绐定向量从总存在向殳c，便=b+c;给定向量b和CB和C不共线），总存在实数2和W使。=加3：给定单位向量b和正数“，总存在单位向唬c和实数，使a=Ab+c:给定正数和，总存在单位向量b和单位向量c.使a=J）+tc.上述命题中的向员力,c和Q在同个平面内I1.两两不共线,那么真命题的个数是（）A.IB.2C.3D.46.在MSC中，AC=6,BC=I,COsJ=-.。是A=C的内心,若丽=xS5+丽.5M0x1.0y1.,则动点户的轨迹所楠篮的面例为7在AC中,AC=2AB=2.BC=Ji.尸是AC内一点，尺足划叫+阀+四|=_。然_ya一-T一,“T一J-J储-一”PAPBPBPCPCPA8 I甲面上点。引两条射线Q<.O8,P.0分别在射线0OBI.11Pp-2（AP.p与点0不敢合）,且ZAoB=工，则+隼的取仇营困星,3MW9 .已知向熊的夹角忖，p-45向H工,；的夹角为,FT=2".10 .在M）C屯北3C,94加趺千微，且初二次，能BCH懂NhTT11 W肝面上-定期U辟配不共知三瓦菰P靛沛=""（甫J曲以<O,÷X）,Hp三-三a三¾（）.A.外心B,C4心D.奉心变式1：已知。是平面上一定点AB、C是平面上不共线的三个点,动点P浅&I=山+乂和+记）,e0,+8）,则动点P的螃一定通过1%的（）.bA.外心B.内心C重心D.垂心变式2：已知。是平面上一定点£8,C是平面上不共战的三点动点P满足I="+人（寻eO.+oo）,则动点P的版YiaHBC的（）.JbJiIABcosBIAC1.coCA.旁心B.内心C重心D.垂心变大破0野面"定点JAC是平社不搬的三点,动点P满足希=O4*A（A三。工）侧劭点P的雅戈鲍XBC机）.A.外心B,内心C>D.重心人eW,8）,斯城P的机迷一定通过MBC的（）.人外心B.柚CUD跳