等差数列、等比数列相关性质和公式以及数列的求和方法.docx

等差、等比的公式性质以及数列的求和方法第一节：等差数列的公式和相关性质1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，那么称这个数列为等差数列，记：an-aa.1.=dId为公差)(“2,注：下面所有涉及，*省略，你懂的。2、等差数列通项公式：a=a(n-)d,为首项，4为公差推广公式:aau+(n-m)d变形推广：d=2上n-in3、等差中项(1)如果人，成等差数列，那么4叫做”与的等差中项.即：人=彳或24="+Z>(2)等差中项：数列怎是等差数列=2ae=an.1+(n之2)。20,41.=a+us.24、等差数列的前n项和公式:j(1+),Xzj-I)S1.1.=!=Iia,+a"2'2=-n+(«)d)n=An2+Bn(其中A、B是常数，所以当d0时，SII是关于n的二次式且常数项为0)特别地，当项数为奇数2+1时，%是项数为2n+1.的等差数列的中间项%“=包吗±”端=(2+1)4“(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项)5、等差数列的判定方法(1)定义法：假设.-*=d或1i=d(常数eV)。上是等差数列.(2)等差中项：数列4是等差数列=2。*=+J(2。2aatt=aa+a2(3)数列E站等差数列o.=M+/,(其中匕,是常数)。(4)数歹式/是等差数歹J=S*=A+3”,(其中A、B是常数)。6、等差数列的证明方法定义法：假设.-=d或,*-%=d(常数“GA")。是等差数列.7、等差数列相关技巧：(1)等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：3、"、%及S.,其中、d称作为根本元素。只要这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。(2)设项技巧:一般可设通项,=+("T)d奇数个数成等差,可设为，-2J.-d.,+d,+2d(公差为d);偶数个数成等差，可设为一,"-切,而乩“+乩”+即(注意：公差为2d)8、等差数列的性质：(1)当公差,匕0时，等差数歹IJ的通项公式/=q+(,1.1.W=d"+q-d是关于的一次函数，且斜率为公差4；前和Sn=叫+与2"=g1.+处-多是关于的二次函数且常数项为Oo(2)假设公差d>0,那么为递增等差数列，假设公差d<0,那么为递减等差数列，假设公差d=0,那么为常数列。(3)当,+”=p+4时，那么有qa,+%=,+4,特别地，当加+”=2时，那么有4+«.=20。(注:a1.+«=a,+«_)=Oi+,.2=，)当然扩充到3项、4项都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等。(4)叫、幻为等差数列，那么初1+b,4+她都为等差数列(5)假设aj是等差数列，那么S“WbS1.1.s也成等差数列(6)数列应)为等差数列,每隔k(kw项取出一项(%限,%就4皿,)仍为等差数列(7)同、也)的前”和分别为4、%,那么M=Aa以4I等羌数列“)的前n项和鼠=“，前m项和5“=n,那么前m+n项和S,=-(m+n)»当然也有a”=n.n=n，那么anj.n=0（9）求S1.1.的最值法一：因等差数列前"项和是关于”的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性”法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前”项和的最大值是所有非负项之和即当>0,d<0,由卜"*可得S“到达最大值时的值.（2）“首负”的递增等差数列中，前“项和的最小值是所有非正项之和。即当<o,JX）.由I""“）可得工到达最小值时的值.“之。或求a11中正负分界项法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前项和的图像是过原点的二次函数，故取离二次函数对称轴最近的整数时，S,取最大值（或最小值）。假设SP=Sq那么其对称轴为=华注意：S"-S=4（之2）,对于任何数列都适用，但求通项时记住讨论当=I的情况。解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：根本量法：即运用条件转化为关于和d的方程；巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量。（以上加上蓝色的性质希望读者能够自己证明，不是很难，并能够学会运用）第二节：等比数列的相关公式和性质1、等比数列的定义：=之2）,4为公比an-1.2、通项公式:an=axqn'',为首项,q为公比推广公式：q=Jrj从而得/M="3、等比中项(1)如果,A力成等比数列,那么人叫做“与人的等差中项.即：=而或A-±Jiib注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个(两个等比中项互为相反数)数列E是等比数列=«,2=«.,*4、等比数列的前n项和5：公式：(1)当q=1时'Sv=nat(2)当“工1时，S11=40二，)=忙经"q"q=_5生/=A-AW=A，炉-TV(48.A',所为常数)-q!-(/5、等比数列的判定方法(1)用定义:对任意的n,都有%=用或1=q(g为常数,(IHO)O1.J为等比数列等比中项："j=""-Mt("1.t.4w。)O”“为等比数列(3)通项公式：q=ABn(A8*0)o-)为等比数列(4)前n项和公式：Sn=A-A-8”或S“=AB-4(A8.A：*为常数)u>U为等比数列6、等比数列的证明方法依据定义：假设篙="(#。)(22,且“*)或<*=的“。叫为等比数列7、等比数列相关技巧：(1)等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、/、“、A及S.，其中/、夕称作为根本元素。只要这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。(2)为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项：q=%'如奇数个数成等比，可设为，二；(公比为g,中间项用”表示)；q.q注意隐含条件公比夕的正负8、等比数列的性质：(1)当夕H1.时等比数列通项公式=与"=AW(ABHO)是关于的带有系数的类指q数函数，底数为公比q前八项和，=-=A-A=A'Bn-A,系数和常数1.-g-q-q项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q对任何m,n在等比数列应中,有q=/:特别的,当m=1.时,便得到等比数列的通项公式。因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。(3)假设w+”=s+r(m,n,s,teN'(那么aan=a1.a1.0特别的,当n+n=2k时,得“jan,="J注：«r«.,=«2=V2-(4)列4),但为等比数列,那么数列山),伏0)。"伏"媪*(1为非零常数)均为等比数列。(5)数列为等比数列,每隔k(kwAQ项取出一项(%4M,)仍为等比数列(6)如果应是各项均为正数的等比数列,那么数列11陶-是等差数列假设应为等比数列,那么数列s.,£-邑，Su-S2jr,-,成等比数列(8)假设4为等比数歹J,那么数列4.,an,1.rt,2a21.1.,<,w.1a21.t,2j1.,成等比数列(9)当4>1时，当0<”1时，f1>0,则/为递增数列ra,>O,则%为递减数列Iqe则为递域数列，1.,<O,则<%为递增数列当q=1.时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列)；当q<0时,该数列为摆动数列。(10)在等比数列5中,当项数为2n(nwM)时sv.q(11)假设是公比为q的等比数列,那么S-*"'注意：在含有参数的数列时，假设是等比数列，一定要考虑到公比g=的特殊情况。解决等比数列问题时，通常考虑两类方法：根本量法：即运用条件转化为关于q和g的方程；巧妙运用等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量。关于等差、等比两个引申：%=A%+模式(其中Q为常数，”之2);<J=P-+p"模式(其中P为常数,W2)在这里我们以具体的例子给出,使其更容易理解：例1数列n,有q=3an.1.+4(2),那么求该数列的通项公式解超大致思路：先设q+Z>=3(11+份,那么对于,=34“+4=>勺+2=3(。小+2),那么我们就可以构造数列q,+2为等比数列，利用等比的和关性顺去解决，注遨：构造新数列的首项和公比分别是多少？还行你考虑到当1.=1.的这种情况T吗？例2数列",有"=2+2"(“2),求该数列的通项公式解题的大致思路：11=21+2"(1.2)=2=%+1=%=&-+1,相信你己经知道构造11n2112Af2Ar2"'什么数列了吧，这两个模式考试中存欢考，也比拟根皮，当然也希里通过这两个模式能让你意识到求救列中的构造出患,第三节：数列的求和方法引用别人的，稍加改良一、教学目标，I、然练掌握等基数列与等比数列的求和公式：2、能运用倒序相加、格位相减、拆项相清等重要的数学方法进行求和运算：3、熟记一些常用的数列的和的公式.二、教学重点：特殊数列求和的方法.三、教学过程I(一)主要知识：1.宜接法：即比接用等差、等比数列的求和公式求和.(1)等差数列的求和公式：St1.=""巴。=Mf1.1+笑3dnai(q=)(2)等比数列的求和公式S.=Qq(1.-4"),八(切记：公比含参数时一定要讨论)-÷(<)1一42、公式法：-2=-+2?+3?+/="(”吁川(证明利用立方差公式，A-I6(+1)一，=3+3"+1.,将用123”替换.错位相消即可整体得出)V=i,+2'+3,+/=必业一*-1.2(证明利用4方差,原理同上)3、错位相成法：比方同将差,也r蹲比,求.+也+。也的和4,裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消轲下首尾假谀千项.III1I1.It常见拆顶公式：-=:=-(-)j(j+1)nn+1n(n+2)2nn+2=()n-!=(n+1)!-zj!(2n-iX2n+1.)22m-12n+5、分组求和法：把数列的每一项分成假设干项，使其转化为等差或等比数列，再求和.6.合并求和法：uR100j-99i+982-972+2j7、倒序相加法:如求sin”+sin'2+sin'3+sinj89的和。8、其它求和法：如归纳猜测法，奇偶法等等(二)主要方法；1、求数列的和注意方法的选取：关键是行数列的通项公式：2、求和过程中注意分类讨论思想的运用；3、转化思想的场用：(三)例题分析：例I.求和：S“=1+11+111+JJ;J-7一SI1.=(.v+-)2+(X2+-)2+(x+4-)2XK-X求数列I,3+4.5+6+7,7+8+9+10.前n项和S1.1.思路分析：通过分组,直接用公式求和.解：“<=11-1=1+10+10-+IO=(10t-1)S=(10-1)+(102-1)+-+(10-I)1=I(I0+I0j+-+10")-m=11000-1)_9,9IO"t1.-9/1-1081S1.I=(r+4+2)+(.v,+-!+2)+-+(a-2''+4-+2)kXX=(x2+X*+)+(±+A+1.)+2,IX-X4.1.(I)当x±1.时,.(x2n-1.)x'i('211-1)C(x2-1.)(xint2+1)C：+；+2n=z；+2nX2-I-f2-1.X2e(X2-I)(2)当X=±1时,S“=4&=(2-1.)÷2÷2÷1.)÷1.(2-1.)+(-1.)=*tc2*+2=-A2-222f,5.1.j32、3“-.5(+1)(2j+1)3"("+1.)S11=«.+,+a1.1.=(F+2'H)(1+2+)=;",2a222622=-(+I)(5m-2)6总结：运用等比数列前n项和公式时,要注意公比夕=I或qWI讨论.2、幡位相X法求和例2.数列1.345/,-,(2-1)”"-"”工0).求前门项和.思路分析：数列各项是等差数列I.3,5,2n-1.与等比数列a",M.对应项积，可用错位相战法求和。解：Sn=+3a+5a2+-+(2n-)an-'(1)aSn=o+3<+5/+(2-1)/(2)(I)-(2):(1-u)S=1+2«+2«:+203+2<",-(2,1-1)«"_1+-(2+1.)0*+(2«-Da(1-«)当a=I时,S1,=H-3、裂项相消法求和M42例3.求和Sa=-+,+11335I(2尸(2w-1.)(2rt+1.)思路分析:分式求和可用裂项相消法求和.皿(24)2-i+i1.1,11、ft?:a1.=-=-=1+：=1+()(2-1)(2÷1)(2A-1)(24+1)(21)(24+1)22-12A÷I2n(n+)2m+I练习:求SJe=+-3+-+-aaa'a答案:("十1)2(。=1)生心上zJ2an(a-)2S1.M+4="如T)+(9A+b-+)=z4一击4,倒序相加法求和例4求证：C：+3C：+5C：+,+(2+DC：=(11+1)2"思路分析：由C；=C：F可用倒序相加法求和.证：令，=C：+3C：+5C：i+(2+1.)C：(I)那么S“=(2+1.)C：+(2"-1.)C；i+-+5C；+3C：+C：(2);C：=C：F.'.(I)+有：2S“=(2n+2)C；+(2n+2)C：+(2«+2)C；+(2n+2)C；.S11=(m+1)IC>C2+C+-+CJ=(m+1)2等式成立S、其它求和方法还可用归纳猜测法,奇偶法等方法求和.例5.数列4.%=-21.t-(-1.)J.求S1.I.思路分析：11=-2n-2(-1.)11,通过分级，对n分奇偶讨论求和。解：an=-2n+2(-)11,假设=2，”,则S1.I=S垢=一2(1+2+3+2，)+2£(-1尸S11=-2(1+2+3+211)=-(2n+1)2，=n(n+I)=2m-1.,MS=S2m.,=Sjm-A2m=-(2m+1.)2n+22m-(-1)2m=-(2m+1)2m+2(2m-1)=-Am2+2m-2=-(n+1.)'+(11+1.)-2三-n2-2-“("+I)("为正偶数)-'-n-2(“为止奇数)谓备：f(x)=a1.x+a2x2+1.tx”,且。I，%，%，4,成等差数列n为正偶数.又/()=n2,f(-)=n,试比拟与3的大小。解:/(D=4I+,+j+n=n'/(-I)=-1.+«2+«=11(6+4)_,/一Z1.2n.-an2M+art=2n'd=2.七三一/（八）=+3a-2+5x,+(2-I)x"/(g)=g+3(g/+5(g)'+(2/1-1)(；)”可求得/(：)=3-(!)1.2-(2“-1)()",；n为正偶数，.f(1)<3(四)桓固练习；I.求以下数列的前“项和S.：(I)5.55,555.5555.,(10rt-1),：I3«i=Z-7=rr:yjn+71.+I(5)1324,35况+2).；J-J-1.1i3,24,311,",T2j,i(4)a.2<.3.rwv.s(6)sin21+sin22+sin23+sin*89.999)解：Sn=5+55+555+-+55-5=(9+99+999+=(o-)+(io2-)+(i,-i)÷.+(1o-dS5()S=o+o2+,+on-11)=j-(ion-i)-j.-(1.jn(n+2)2nn+2二SM=；(_:)+(!-!)+(?：)+(”½二)232435nn+222n+1n+2f,.IJ1.+1.-yii1-=(2-1)+(3->/2)+(?+1-)=>n+1I,(4) S"="+2'+%'+nan,ccn(n+)当=1.时,当“1.时,Sv=I+2+3+曾=25=«+2az+3<r+an,aS1.t=a1+2a-+犷+-+nan'',两式相减得(1-)S=a+a2+a'+-+a-n('="1.I-O>=；(1.-a)-(5) Y5+2)=，/+2，/.原式=(F+2?+3?+，/)+2×(I+2+3+j)=川"+1心+7)6设S=Sin21+sin22+sin23+sin289.又.S=si89+sini88+sin287+sin”，89.25=89,S=*.6n-5("为奇数)2.数列4的通项N="f,mv.求其前”项和S112(为偶数)解：奇数项组成以q=1为首项，公差为12的等差数列，偶数项组成以=4为首项，公比为4的等比数列：当为奇数时,奇数琮有字顶，隅数项布券顶.=等。+6+4(号)=("DFM321-423当为佃数时，奇数项和隅数项分别有g项.耳(1+6-5)4(I-4"爪3"-2)4(2"-1)-+4-三"卜"网-2)+蛆3(“为奇数)23n(3n-2)+4(2n-)(为偶数)23四、小结：K掌握各种求和根本方法:2、利用等比数列求和公式时注意分g=I或I讨论。其实学习数列并不难，只要能熟练掌握以上根本性质和公式试活运用，多加练习,根本上能解决商中所有数列问题了。