等差、等比数列及其前n项和(教师).docx

等差数列及其前n项和(教师版)一、主要知识和方法1、收列的假拿，数列是一个定义域为止整数集N*(或它的有限子集(123.n»的特殊函数,数列的通项公式也就是相应函数的解析式。,(i)等差敷列的列，方法，定义法：4“一勺=常数(咒*)U>q为等差数列：中项公式法：2.i=a1.+(t,211eN*)<=>”“为等是数列：通项公式法：4=kn+b(wN*)。m为等基数列：前项求和法：S“=p/+q1wN*)U>q为等基数列：(2)IHtik列的Mian=at+(n-)daa+(n-m)d(3)等差中项：假设.A力成等差数列，那么A叫做。与。的等差中顶，且A=空之。2(4)IHHW1.的前和；s+1)s22I(I)等号数列任意两项M的关系：如果“是等差数列的笫项，%是等差数列的第，"项，f1.nn.公差为d,那么有a=a,v÷(11-rw)rf(2)当公差d0时，等差散列的通项公式4=4+(”-1)/=加+4-是关于"的一次函数，且斜率为公基4：前"和5.=，叫+妁二Ud=-+(,-)j是关于”的二次函数常数限0.222(3)假设公差d>0,JE么为递增等差数列，假设公差d<0,为通选等差数列，钱设公差d=0,那么为常数列.(41等差数列(a,的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列，(5)对于等差数列11,当，+”=+</时,那么有。网+0,=%,+4,特别地，当，+=2时，那么有«+un=2afr,也就是：«i+<tu=a2+1.t-=a3+<n-2如下图：%.一个,24t,an¾+¾-1.(6)假设数列“是等差数列,St1.是其前n项的和,Gf.那么S-S1.t-Si.Sit-S2k成等差数列.如以下图所示：q+42+?+ati+”+,2j+1+：+'<SIUSn-SkSM-S裁(7)设数列,是等差数列,S4j是奇数项的和.S刎是低数项项的和.S“是前n项的和.那么有如下性质：前n顶的和S“=Ss+S,:当n为偶数时，Sw-Sf1.=d,其中d为公差：当n为奇数时,那么S*-S#=«中,S*=j>SHn1.>=122SN-1.CS1.=n(其中是等差数列的中间一项)。Sq-S幺s*-s佻(8)假设等差数列IqJmJ的前”和分别为'、"，且缁=/()，那么F=AS1.=gx=(2-1.).(9)“首正”的递减等差数列中.前“项和的最大(ft是所有非负项之和：“首负”的递增等差数列中.前”项和的最小值是所彳!"非正项之和.法一:由不等式组/JNoCJtin0加“O确定出前多少项为非负(或非正)；法二：因等差数列前项和是关于的二次函数,故可转化为求二次函数的最值但要注意数列的特殊性WM(10)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项项次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原的等差数列公差的最小公倍数.注意：公共项仅是公共的攻，其项数不定相同，即研究二、典例分析:【例1】数列，满足a<=4,anF-1.(nN2),令b,二.求证：数列(bj是等差数列.ao-1.a证明：Va,.1-2=2-=21.t1."-2).,.!=""7+a=J_+1册册-22(%-2)2d-2)2%-2A1.-1.-='b,.1-b.=1.二数列h)是等差数列."1-2%-222【交式调练11设两个数列G,瓜)满足h.-小苦学二,线设旧为等差数歹1.I÷2+3÷*求证：&也为等差数列.证明由时意有a2a3a,na-誓»院,从而有a2a3a>*+<n1.)a,=b.,(n2),由D,得M=哼¼,-哼¼,1.,整理得a,=Q也±,其中d为b>>的公差(ni2)从而也“-&=5+W+%+,_砥+%="=1.s32).2222又a=b“廿2"”,a产祖登1.f产也军A=孕.像上,an.1.-at=d(n!).22222所以E)是等差数列.IM21在等差数列&中,(1) a,=33.0u=153.求瓯；O6=10.Si=5,求a,和S“(3)前3项和为12,前3项积为48,J1.d>0,求a,.Wt(!)方法一：设首项为a,.公差为d.依条件得E:,"匕，解方程组得匕I二I1.53-d44J(c*4.>=-23+(61-1)×4=217.雄二：由d=%二%,得d=H小二怔=眨七史=4,由a1=fu+n-m)d,得1=a,.-16d=153+16×4=217.”"|45-1530.*0,S6=5,松:常二解方程级得时5,d=3,÷2d=10+2X3=16,-X空=44.(3)设数列的前三项分别为a-d,a,a+d,依题您有：Vd>O.da-d=2.J2.a1=2.J("d).0.(.d)=12.卜=4.I=4(-J)u(÷<>"48'a(a2-<2)-48*d-±2【交式调练2】设以:为等整数列,SB为数列IaJ的前n项和.S也Sm,为数列图的前11项和,求T.解，设等差数列1的公差为d,那么S,=na二n(nDd1.二磊2"叫;M叫Z二+叫OIT)1.T).迤=.数列是等差数列，其首项为-2,公差为:，.T.=1.nYn.【例3】(1)等差数列4中，S11三18,¾+<,+1三*i;Jf1.=_【答案：27；(2) (06江西文)在各项均不为,零的等基数列叫中，假设为“一。；+<%=0522),那么Vi-4m=<)A.-2B.0C.1.D.2【答案：A.】(3) (08湖北)函数/(r)=2',等差数列”,的公差为2.假设/(6+”,+,+jj+)=4,那么og3(1.)/(«,)(f1.3)-./(«10)=.【答案：6】(4)等差数列的前”项和为25.前2“项和为100.那么它的前3”和为.««:225(5)项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80,偶数JS和为75,求此数列的中间项与项数.【答案5311.(6)设Iq)与是两个等差数列，它们的前“项和分别为S,和，假设区=网红，那么Tn4«-34r一671-2.-三=.答案:7-bn8-7【支式调练3】(09海南)等差数列«,的前n项和为Sn,d1.,1.+->0.Sh=38,那么，"=()A.38B、20C、IQD、9.【答案:C】(09全国理)设等差数列q的前项和为S“，假设£=72,那么/+”,+u=:【答案：.S1.,=9r5,s=8.ai+a4+%=(/+/>+6=(/+4)+%=上=24.】(3) (08陕西)(j是等差数列，a,+a2=4.%+4=28.那么该数列前10项和SH)等于(A.MB.100C.HOD.120【答案:B】(4) (06全国II)设Sn是等差数列q的前n项和，假设今=；,那么在=()aWCW得1答案2(5) (07湖北)两个等基数列j和"的前n顶和分别为4和Bn,且/=子箸，那么使得:为整数的正整数n的个数是()【答案:D】【例4】在等差数列g)中，6=20,前n项和为S“且S“fS,“求当n取何值时,S,取得最大值,并求出它的设大值.(方法-Va1=20.S,<=S,.10×20÷-d=15×20+d=-.223a1=20+(n-1.)×(-)=-n+y.a1.>=0,即当nW12时，a,>0.n>14fft.a11<0.当n=12或13时，除取得最大假，且最大值为SU=S”=12X20+亚科*(-)=130.法二同方法一求得d=g.Sn=20n+9U-(-1)=-/粤n=-卦”§丫+笔.32366G1.2/2Wn£»k.当n-12或13时,S.有最大值.且最大值为SU=S1.k130.方法三问方法一汨<=-.又由Sn=Sn,得a>+au+aj+a><ta=O./.5a3=0,即a：>=0.当户12或13时，Sn有最大值,且最大值为SMSmI30.【支式调练4】等基数列瓜中，aVO.SkS,：,该数列前多少项的和最小？解由条件S,=S；,可得9a+"d=12a吆Id,即d=-±a.由a,<0知d>0,即数列(a,为递增数列.2210方法一由H=q+5-彳叫得"而“"”【解得IOWnW1.1.1-±n0IO，当n为10或11时，SI,取最小值，；.该数列前10项或前11顶的和最小.方法二VS1.=Sj.ao+a1.1.+a1.i=3a,1.=O.adO".公差d>0,从而前10项或前H项和最小.方法三.4小”；3的图象所在抛物税的对称轴为*=誓=10.5.又new.a<0,(a.)的前10项或前11项和破小.½H由Wna计炉+!"-=)n,结合d=-a,得Sn=D.11+f21a'.n=-n-21Y÷±1.a(a,<0),由二次函数的性原可知n=1.5时，&WM,故n=1.或I1.时"取得以小值.三、课后作业：(一)选M1.某等差数列共有10项.其奇数项之和为15.偶数项之和为30,僚么其公差为()().2答案C2 .等差数列伯的前三项分别为a-1.,2a+1.,a+7,那么这个数列的通项公式为()1,=1.n-3B.a,=2n-1.Xn-2,=2n-3答案A3 .(OB全】)等差数列出)满足a>+=4,a>+a,=10,那么它的背10项的和&等于(答案CI.数列a,b.m,n和x,n,y,m均成等差数列，那么21-2",的但为()答案C5 .在等差数列a.)中.假设a.a,<a1.1.)1.2=120,那么a."a"的值为()答案C6 .等差数列&的前n项和满足S三t=Sn,以下结论中正确的选项是()“是S”中的最大值”是Sn中的最小值m=0“=0答案D(二)填空7 .(083理)设S.足等差数列瓜的前n项和.a；.=8.S.9,«；么S1.答案72&致列4、bn都是公差为I的等差数列,其首项分别为a,、b,且$+b产5,a,、b.设a=%(nGK),蜃么数列IcJ的谛10项和等于.答案85(三)解答J99.数列E中,a总，a,=2-1.-(心2,小即)，改列瓜)满足&=一(neW).'<n.-求证：数列h)是等整数列:求数列瓜中的最大项和最小项,并说明理由.(1)证明I因为n=2-i-(n2.nN).b.心0«->!二，Z.!二1tfo-,唳Tj所以当nN2时.b,h,=-!aU-,-1.-1又b产_=-1所以,数列依:，足以为首项，以1为公差的等龙数列.u-I22(2)ff>(IK1.)知.b,-n1.那么丁设函数N)=1.+J,易知f()在区间(8.D2bn2-7Ix-I2和(g.8)内为减函数.所以当n-3时.a,取得最小值1：当n=4时.a,取褥最大值3.IO.等差数列的奇数项的和为216,偶数顶的和为192,首项为I,项数为奇数，求此数列的末项和通项公式.M：设等若数列吟的项数为2m÷1.,公差为d,那么数列的中间项为a.奇数项有时1班偶数项有m项.依题意，有S1(B+Da=216s«=ma.：=192+,得W二坐，解得.m-8,二数列共有2mT-17项,把m-8代入.得时24.m192又.a"11=2an.a产2a-a尸47,fid=ii=y.a,=1.+(n-1.)×y=23""s(ne1.,n17),I1.公差大于零的等基数列瓜卜的前nJ和为S1,且满足：a=1.1.7,¾H-a*=22.(1)求通项4；(2)假设数列缶.)满足匕=旦，是否存在非零实数C使得&为等差数列？钗设存在，求/!+<,出C的值：假设不存在，请说明理由.M由等差数列的性质得,小+=as+a,=22.所以a,、a,是关于X的方程x：-22x+1.17=0的解，又公基大于零，所以a=9,a1=13.易知&=1,d=4,故通项为a,=1.+(nT)X4=4n-3.(2)It1.(I)知St=-+S)=2n-n,所以氏=旦=生二2.2+c方法一所以-7!一.-/-.-2bFb/b,.R¥1Uc=1.I>r2+c3÷<2当C=-T时，b,=*1.=2n,当ne2时，b,-b,尸2.故当C=-T时，数列bj为等差数列.n-2等比数列及其前I1.项和(教师版)一、主要知识和方法(I)等比数列的判断方法：定义法上1.=则为版)，其中严QMM(I或等比中项罚：虫=2(n2).44.(2；等比数列的前和特别提醒：等比数列前"项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判酬公比，/是否为1,再由4的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比4是否为1时，要对q分4=1和4/1两种情形讨论求解.(31等比中项:假设&A办成等比数列,那么A叫做。与b的等比中项.提醒：不是任何两数都有等比中攻，只有同号两数才存在等比中项，且有两个±J而.(1)等比数列任意两项间的关系：如果%是等比数列的第项，明是等号数列的第，“项，f1.mn,公比为q，那么有/="ng"'"(2)等比数列Ei的任意等用肉的项构成的数列仍为等比数列.(3)对于等比数列n当，"+”=p+q时，那么彳i41q,，特别地，当，+=2p时，加么书(J<I)I=<1；.也就是：“I="2(J.="3"1.t-2如下图：'。2，"第二M"-I,M"f1.jan-1.(4) .假设4是等比数列，且公比那么数列S,Sy-S11,Sq-S”，也是等比数列。当4=-.且为隅数时，数列51,52“-511,51-52”一”是常数数列0,它不是等比数列”如以下图所示：3+"2+尊+4+”+1+:+”2t+2*1+二+"3A,SkSA1.SXSM-S”(5)假设1.>0,q>,那么MIJ为递增数列：暇设JVO#>1,那么“为通减数列：假设4>00<q<1.,那么a为递减数列：线设q<0.0<4<1.,那么«,为递增数列:假设q<()那么为按动数列：假设4=1,那么q1为常数列.当qH1.时.S"=3q2=*+b.这里+>=0.但"hO.>hO,这是等比数列前项和1.-g-q公式特征.据此判断数列«,是否为等比数列”(7)在等比数列”“中，当项数为偶数2“时，Sa=qS,it项数为奇数2一1时，S舟=4+qS%.(8)数列)既成等差数列乂成等比数列.那么数列1q是非零常数数列,故常数数列4仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。3.有关等差、等比数列的结论两个等差数列(an)与,)的和差的数列a.b,(a,-h,)仍为等差数列，两个等比数列Ej与瓜)的枳、两、倒数祖成的数列k，.b.)、金卜*_仍为等比数列，(3)三个数成等差的设法：a-d,a,a+d;四个数成等差的设法；a-3d,a-d,a+d,a+3d(1)三个数成等比的设法：aq,a,aq;四个数成等比的错误设法：aq,aq1aq.aq'(为什么？)(5) SJ为等差数列，JE么卜"0是等比数列。(6)(b.)(k>0)是等比数列，那么HogbJ(CO且CND是等差数列，二、典例分析一【例1】a为等比数列，a,=2,aa,=g,求瓜)的通项公式.解；方法一设等比数列N的公比为q,那么q0,a=上=工，a,=aq=2q,.2+2q=9解得q=-=3.qqq33当q=J时.a÷18.a,-18×(1.),r,=-=2×3jn.333n-当q=3时，ai=；,.ac=jx3"'=2X3"'.1=2X3""或a,=2X3"'.方法二曲机=2,得aa=4,又那么耻,a,为方程x：-第x+4=0的两根,解得"W或"33,a,=4,=63当a1.=；时,q=3,a,=a；q'=2X3''.当a：=6时，q,an=2×3'"a,=2×3,'hKa,=2×33,.【交式调练1】等比数列Iaa1.中a+%=66,a?%1=I28.S.=126,求项数n和公比q的值.筹，.a是等比数列.aan=a2a4.66,产2或,产64N31%1”64一2线设a=2.an=64,那么2<f=64.q"=32qtS.<)_.>,26,解得q=2.于是n=6I-qI-qI"，drSM又也适合上式，.c-g)”【交式调薛2】设数列值才是等差数列，a,=6.当*=3时,请在数列'中找一项"使得a.a：,a.成等比数列;(2)当a=2时,假设自然数n.11j,n1.,(teK)满足5VmVE<VmV使得a，,a；,'”,0,是等比数列,求数列nJ的通项公式.M>(1)设限)的公差为d,那么由a.=a,+2d,得d=警=：,由a.=。；，即33+(n-3)=6解得ma,a,a“成等比数列.(2)Va,=2.a；-6.d=f1.=2.二当nN5时,8n=a+(n-5)d=211-4.又a1.a“a.t,-.e_.成等比数列.那么q=-=3,j,=a1.3,.t=1.,2.3,'Qy2'又3=2,-1,.2,-4=a,3'=63',.,.2n.=23,"+4.即代=3v,+2,t=1.,2,3,.【例3】在等比数列CaJ中,a+az+a,+a,+a5=8且，+-!-1.+-1.+J1.=2,求a,.a1.。2a4aS»1方法一设公比为q,显然qK1.,.(aj是等比数列，.!,也是等比数列，公比为2.IanJ<1“川3=81.-g由条件得-1.(I-Jr).解得a；q'=4.a(a,q2)=4,a,=±2.½-由得:-1.J1.+-1.+-1.+-1.-/+t+S+4f1.-“F+3+"4+<-WdIa2a3«4ai0|叫«2«4</；a1.<4a=4.,.a>=±2.【交式御底313.在等比数列中,a,也二324,a,a-36.求a；电的值:(2)在等比数列(&)中,a1.as=8,求a：aaaa的(ft.解：(!)由等比数列的性质知,ar,a,+a,a+a.也成等比数列,那么(a,-a,)：=(a,+a：)(a,+a,).a,+a,F.(2)Va1a=a;,.,.a>aa,=a;1=8,a1.=2,XVa：a,=aa,=a5»aa.aa=a:'=32.【例4】函数f(x)=(xI)2,数列a是公差为d的等差数列，数列bn是公比为q的等比数列(q1.),假设a=Rd-),a3=f(d+1.>,b=ftq-).bj=f(q+1.),(1)求数列1%出“)的通项公式：设数列cj对任意的自然数n均有I*+口.+求数列(c11前n项和Sn.ftIb2M(1.)a=(d-2)2,aj=d2.aj-a=2dWdj-(<i-2>2=2d,解之得d=2；.ai=0.an=2(n-1.)又b=(q-2尸，b)=q1.bi=b)q?即q?=(q-21°q"解之得q=3b=.b=31(2) =(ra+1kr,w1.-4=4n.J=4n-3o,S11=C1+C2+C3+.+Cn=4<x30+2x31.+3x32+.+nx3n,)S5；=1.×30+2×3+3×32+.+n×3n135,-1.×3,÷2×32+3×3'+.+nx3n-2Sn-1.+3+32+33+.+3n-,-nx3=2"-3"nSn=2113n-31,+1.【交式调练4】等差数夕UMI的首项a=1.,公差d>0,F1.第二项,第五项，第I四项分别是等比数列bj的第二项,第三项,第四项.求数列出与t1的通项公式：设数列Cn)对任意正整数n,均有Q+3+父+£a.«ant1.,求c+c2+c3+6。KI的值.瓦瓦仇bi*由题意得(a+d)(a+Bd)=(a+4d)2(d>0)解得d=2.a=2n-hb,=3"当n=1.时.c=3当位2时.与=/,-q,.c=Fs"故g=23"'""',"c"1.2-y-'(rt2)c1.+c,+t1.0=3+2×3+2×31+23W=33%三、课后作业：(一)、逸M1.如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么A.b=3,ac=9B.b=-3.ac=9C.b=3.ac=-9D.b=-3,ac=-9答案B2Ia/是等比数列.”2.a；-：,那么aa/aaaa.等于()A.16(1.-4n)B.16(1.-2n)C.y(1-4*)D.y(1.-2n)答案C3 .(OSffft)设瓜)是公比为正数的等比数列，假设=1.,a,=1.6,那么数列%的曲7项的和为(A.63B.61C.127D.128答案C4 .其设数列瓜J的前n项和Sn=3f数列A1.为等比数列,那么实数a的值是(A.3B.1C.0D.-1答案85 .等比数列一前n项的枳为T”假设a,a.“是一个确定的常数,那么数列TmTioT17.“中也是常数的项是()A.T,uB.T,»C.T1,D.T答案C6 .等比数列EJ中，a1*a=30,a>+a1.=120,那么a,+等于()A.240B.±210C.480D.±480答案C(二)、填空题7 .一个项数为物数的等比数列,它的偏数项的和是奇数项的和的2倍,它的首项为1,且中间两项的和为24,那么此等比数列的公比为一项数为_1鲁案288 .设等比数列局的前n项和为S“&=!.317,那么通项-=,答家卷2'-1.(-2)(三)、解答9 .数列a,的前n项和为S“.f1.Sn=1.<a.-1.).求MK(2)证明：数列®)是等比数列：求a,及S“解Va1=S1=ICE),.a产-1.又aE*S2=1.(aD,a：=1.3234(2)证明VSn=I(a,-1.),S,.1=S1.I),两式相减，得新产也“；a,即编.产-；晶,.数列国是首项为6'公比为W的等比数列(3)解由(2)得a.=-；<-1.)*,=(-1.),10 .数列(&)中,a=2m=3,且aaJ是以3为公比的等比数列,记b,=aw+a>(11).求a,a,的伯；(2)求证：版是等比数列.(1)M'."a")是公比为3的等比数列，.a,a,=aa3-=23*(2)证明.3aaJ是公比为3的等比数列，.aa.H,a,即品.产：通”.,a,a>.a“，a】，与a：,a,a,，a)，都是公比为3的等比数列.，加尸2加二33'1.bn=a,÷a=53.姐.=*.=3,故伯.)是以5为首项，3为公比的等比数列.%53,11 .设数列(A的前n项和为Sn,且(3F)S"2ma.=m+3(n),其中m为常数,f1.三-3,m0.(1)求证：品是等比数列；(2)假设数列版的公比q=fOn).数列b满足也=a,b=jf(b,)(nGN.n22).求证：(为等叁数列,并求E.证明1)1.h(3-m)Sn+2ma,=m÷3>得(3f)S2ma,+3.两式相减,得(3F)a.1.=2<na,m-3,，况=-0(n31).，a,是等比数列.an113(2)由(3F)SI+2ma=m-3,解出a=1.,b1=1.q-f(m)-工1£!且n22时.k-2f(b-J-工-.b.b.,*3b.-3b.推出,m，322/>n.t+3bbn.1.3.4是以1为首项、!为公差的等差数列.4=i+"1.=手.b.=-工."J3b33"212.(OeHJUX)设数列的解n项和sn=2v2n,(1)求a“a”(2)证明：“2%)是等比数列：求®)的通项公式.(I)M因为a=S,2a=S1+2,所以a,=2,S=2.由2a=S,-2"知2eSt+/-2"”,得,i=S,+2.所以fc=S1+2i=2+22=6,Si=8.a,=S：+2'=8+2'=16,S1=24,a<=Ss+2'=4Q.证明由题设和式知*11-2=(S.+,)-(S.+2)=2'-2n=2n,所以a.2aj是首项为2,公比为2的等比效列.解a.-(a.2a.1.)2(an2&切+2"'32a)÷2'a,=(n*1.)2nICnM("1g)I假设a=64,an=2,那么64q1.2*r=2.q*=±g由Sn='r,!.-»|26解得q=；,n=321.-qI-q26【例21数列&)的前n项和为S1,且对任意nTWa,S=n.设b,=a,-1.,求证；数列h)是等比数列；设5=a,且a=a-a.,(n>2).求c.的通项公式.(H证明：由a+S=1.及a=S得a1=；.又由a11+Sr=n及a,'-Sn.1=n+1.得a.i-aJa”.；=1.,.,.2a,.1=a,1.2(an1-1.)=an-1.,即2b,=b11.数列为是以b,a,-1.=-1.为首用j,1为公比的等比数列.(2)Mt方法一由(1)知2*,=a+1.2a,=a,E(n2),2a,-2a,=a.-a.1.,.2c,.=c.(n£2).又c=a1=-1a；-ai+a2=2,.'.a：=-.cz=-三-,c：=，c：.244242.数列（八）是出项为:，公比为:的等比数列.c,=1.(1)"'=<1)".雄二由4=号)("'=(».1.)+,