线性代数公式大全.docx

1、行列式1 .”行列式共有M个元素,展开后有”!项可分解为2"行列式：2 .代数余子式的性质：、%和的大小无关；、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0:、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为M|：3 .代数余子式和余子式的关系；”(J(-1.)'"AiAI=V4 .设”行列式。：构D上、下翻转或左右翻转,所得行列式为。,.那么Q,=(-1)*Fq:将勃醺时针或逆时针旋转90,所汨行列式为"，那么"=(T)21F0;拘。主对角线朋转后(转盥J,所存行列式为。、，那么R=O；将。主副角线阴转后,所得行列式为Q,那么5 .行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘枳：、副对角行列式：制时角元素的乘积(-1.)k;、上、下三角行列式(=>)：主对珀元素的乘枳；»M-I、|，|和|/|：副对角元素的乘枳X(T)Fi:、拉普拉斯展开式，C.：卜同网,(B优翡S1.IMe1.、范的求行列式：大指标减小指标的连乘积：、特征值：6 .对于”阶行列式|小，恒有：WE-AI=+t(T)*SJI,其中S，为阶主子式:7 .证明IA1.=O的方法：、IAI=-IAI：、反证法；、构造齐次方程组Ar0,证明其有非零解；、利用秩，证明r(G<":、证明。是其特征值：2、矩阵1. A是w阶可逆矩阵：=IAFO(是非奇异矩阵)：Or（八）="(是满秩矩阵)oA的行(列)向fit组线性无关：Q齐次方程组Ar=O有非零解：<=>VfteR,.Ar=b总有唯解：OA与B等价：。A可表示成假设干个初等矩阵的乘枳：oA的特征伯全不为0:«A'A是正定矩阵：=A的行(列)向量组是K的一组基：oA是R"中某两组基的过渡矩阵：2 .对于“阶矩阵A：4=A=AE无条件恒成立；3 .1.),=(A,),(,)r=(A,F,(A,)r=(r)(AB),=B,At(AB)BA'(AB1.,=1.A,4 .矩阵是我格，推导符号为波浪号或箭头：行列式是数值，可求代数和：5,关于分块矩阵的Hi要结论，其中均A、B可逆：'A假设4=4.那么：<A,1'IAITA1.IA1.-IAhfA-n、AT=&'"JoWo图-主对角分块),IWT)一副对角分块),o(拉普拉斯),1:)./“，蜀一批普拉斯)3、矩阵的初等变换与线性方程组1.一个八”矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是睢一确定的：Fe':;C/U,等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类：标准形为其形状晟荷单的矩阵：对于同型矩阵A、B.假设CG=r(砌。AB：2 .行最筒形矩阵：、只能通过初等行变换城也：、每行首个非0元素必须为1：、每行首个非0元素所在列的其他元本必须为0：3 .初等行变换的应用；(初等列变换类似，或转商后采用初等行变换)、假设(4.E)'(E.X),那么4可逆，I1.X-A"、对矩阵(人少做初等行变化，当4变为E时，8就变成A",B|：(A.B)E.B)i、求解线形方程组：对于n个未知数"个方程Ax=b.如果(A=(Ex).那么A可逆,且X=A%：4 .初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换.由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵：A、A=4.左乘矩阵A，4乘A的各行元素：右乘，4乘4的各列元素;、对调两行或两列，符号E(i.j),且E(i.j)'=E(jJ),例如：I=I：'?WZ1v、倍乘某行或某列，符号E(i（八）),HE(Uk)Y1-E(<(一),例如：k-(AwO):*J*1I'"、倍加某行或某列，符号顼"(*),且E(4*)>'=£("(-AD，如：I=I(AhO):矩阵秩的根本性质：、0Mr(4.；)Smin：、r(A)=r():'收设AB.那么r（八）=r(8):、假设P、QUJ逆，那么丹川-(以”(A。)=nPAQ):I可逆矩阵不影矩阵的秩、max(r(4>,r<B)11A.B)r（八）+r(B):()、r(A+)r(4)+rt)；(X)、r(t)<min(r(),r<)：(5K)、如果A是m"电阵.8是”f矩降,且AA=0.那么：(去)1、"的列向猎全部是齐次方程组AX=O解(转四运豫后的结论):Ikr(4)+r()11、假设八、8均为"阶方阵，那么r(A3)r(4)+r(8)-”:一:种特殊矩阵的方幕：、秩为I的矩阵：一定可以分解为列矩阵(向量)>行矩阵(向)的形式，可采用结合律:1ac',、型如；01b的矩阵：利用二项展开式：bQJ二展开式：(+M"=Ca"+C<f&+U"'+Cg"=力Uaev”：,11注：1、(°.6广展开后有/1+1项：I1.C'=爪-DM-E+I)=#u，=C=123mm(n-m)n*111、组合的性侦：OC-C1=C+C,NC=2"匕=水;：H利用特征值和相似对角化：伴随矩阵：r()=w、伴随矩阵的秩：MA')=r（八）=«-!：r(4)<11-1.、伴随矩阵的特征（ft:CI（AX=2XM=同A,nA=g:、A三-41=关于人如阵秋的描述：、r（）=n,A中有”阶子式不为0，”+1阶子式全部为0:（两句话）、r（八）<M.4中有“阶子式全部为0：、r（八）2",4中有"阶子式不为0:规性方程组：Ax入其中A为mx”矩阵,那么：、，”与方程的个数相同，即方程组Arb«m个方理;、”与方程趾得未知数个数相同，方程组/5=6为N元方程：10.线性方程组Ar=。的求解：、对增广矩阵5进行初等行变换（只能使用初行交换：、齐次解为对应齐次方程组的解：、特解：自由变量赋初值后求得：由“个未知数E个方程的方程如构成“元战性方程：1.1.x1+1.,x,+1.nx,三fr,%向+a:;x:+2,x=b.1x,+-,xj+.-x,三m(b,数）A；f1.J=B（全部按列分块,其中广OAr=A（向fit方程.A为，乂”矩降.卅个方程州个未知1.x1.+2x.+,x,=f1.'线性表出）有解的充要条件：11）=r（A.t<n（M为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1 .m个"维列向量:所组成的向量组a：q.a、.、a“构成"X，”矩阵A=（.a）：£m个”维行向量所组成的向量组8：稗£./：构成mx”电阵B=fi，:£,含有有限个向属的有序向班组与矩阵一一对应：2 .、向fit组的线性相关、无关OAr=O有、无非零解：（齐次线性方程组）、向属的税性表出OAr=b是否有解：（线性方程组）、向组的相互战性求示OAX"是否有解：（矩阵方程）3 .矩阵A与叫.行向量级等价的充分必要条件是：齐次方程组心=0和Z=0同解：（，,“例14）4 .（A'A）="A）:（Ro1.例5 .”维向量线性相关的几何意义：、畿性相关Oa0s、.A跷性相关OaA坐标成比例或共规（平行）：，畿性相关Oa共面：6 .雄性相关与无关的两费定理：假设a。：，,线性相关那么,6.6.,.,必线性相关：般设o,。：.。,线性无关,那么4.0j.Ot-必线性无关：（向量的个数加加减减二者为对偶）快设，维向埴姐A的斑个向量上添上”-，个分量，构成“维向量组力：假设八跳性无关，那么"也雄性无关：反之假设8线性相关，足么A也线性相关；（向加祖的维数加加减减）简有之：无关组延长后仍无关.反之.不确定：7 .向麻殂A（个数为，）能由向Jft组"（个数为S）线性表示，且A线性无关，那么rfs（二版定理7）；向麻组A能由向后组B线性去示，那么"A）"（8）:（4定理3）向燧组人能由向Ift组设性表示OAX=/"j解：<=>r（八）r（A.）（心定理2）向麻组A能由向m组8等价Or（八）=K8）="八1.4定理2推论I8 .方阵A可逆o存在有限个初等矩阵匕.,，使A="4；、矩阵行等价：A-BPA=B（左乘.尸可逆）OAr0与0同解、矩阵列等价：-B<Q=B（右乘，Q可逆）：、矩阵等价：-BPQ=H（P,Q可逆）：9 .对于矩阵A与纥.：、假设A与8行等价,那么A与"的行佚相等：、假设A与B行等价，那么Ar=O与肽=O同解,且A与B的任何对应的列向发组具有相同的线性相关性：、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩：、矩阵A的行秩等于列秩；10-假设A>“8,“=C_.那么：、C的列向麻组能由A的列向麻组规性发示，8为系数矩阵：、C的行向fit组能由B的行向fit组线性表示.A'为系数矩阵：（转?D11 .齐次方程组以r=0的解一定是AHr=O的解，考试中可以亶接作为定Ji使用，而无明：、48r=O只有零解=>Kr=O只有等好：、r-0有非零解nAr0一定存在非零解：12 .设向量组%,:也也，也可由向泉组AI以线性表示为：（A“19结论（fr1.¼.,）=（a1.;.at）KC=K）其中K为sr,H.A戏性无关,那么4组线性无关Or（K）/：（8与A的列向1.fi具有相同线性相关性）（必要性：r=r（R）=r（AK）r（K）.nK）r.r（K）=r：½it:反证法；注：当r=s时.£为方阵,可当作定理使用：13 .、对矩阵儿一存在。，AQ=ErOr（八）=析、0的列向量线性无关；（心）、对矩阵儿.存在4PA=E.Or（八）=”、P的行向筮线性无关：14 .a.a:.a,线性相关。存在一殂不全为O的数口&.使得A,q+Aa+*4=O成立：（定义）»（1.,.,>&=0有等零解.即Ar=O有非零解:Org.a,）<s,系数成阵的秩小于未知数的个数；15 .设mx”的矩阵A的秩为，就么“元齐次找性方程组Ar-O的解集S的秩为：r（三）=11-r;16 .假设炉为心=»的一个解,都品Cy为Ar=O的一个根底解系,那么品“线性无关:（4“题33结论5、相似矩阵和二次型1 .正交矩阵OArA-或A'T（定义），性质：、A的列向用都是单位向好，且两两正交，即"：=；=/»；、假设A为正交矩阵，那么A-'*也为正交阵，且=±:、黄设A、4正交阵，那么4也是正交阵：注意：求解正交阵,千万不要忘C密特正交化H单位化：2 .施密特正交化：（&.,a,）-3仇-.IbrbJbr=ar-bt；'IfrpAI（,Ibf-M3 .对于件通方阵，不同特征值时应的特征向量线性无关；对于实对称阵.不同特征值时应的特征向显正交：4 .、A与B等价OA经过初等变换褥到8:<=>PAQ=H,P、Q可逆；c=>rtA）=r（>.4、“同型：、A与8合同OCrAC=6,其中可逆；。，心与，/Jx有相同的正、负惯性指数：、八与H相似OP'AP="5 .相似一定合同、合同未必相似：假设C为正交矩阵，那么C'AC="nAB,（合【可、相似的约束条件不同，相似的更严格）：6 .八为时称阵，那么人为二次型矩阵：7 .“元二次型XrAr为正定：OA的正帼性指数为“；OA与E合同，即存在可逆矩阵C,使C1.C'=7?：=A的所有特征值均为正数：OA的各阶顺序主子式均大于0:=011>O.A>O:宓妥条件I