与胡不归求折线和最短有关的题复习讲义.docx

与胡不归求折线和最短有关的题复习讲义本节内容主要讲解胡不归问题即求PA+2PBg<1类型的最小值的方法.模型胡不归模型有一则历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了.人造诉他，在弥留之际，老人在不断涌哺地叨念：“胡不归？胡不归?”早期的科学家瞥为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路发（如下图JA是出发地，B是目的地；AC'是一条驿道，而驿道靠目的地的一恻是砂土地.为了急切回家，小伙子选择了直线路程AB.但是，他忽略了在释道上行走要比在砂土地带行走快的这一因素如果他能选择T合适的路绳尽管这条路线长一些，但是速度可以加快）,是可以提前抵达家门的.那么，这应该是哪条路线呢？显然，根据两种路面的状况和在其上行走的速度值，可以在AC上选定一点D,小伙子从点A走到点D,然后从点D折往点B,可望最早到达点氏用现代的科学语言表达，就是：若在骚道上行走的速度为V一在沙地上行走的速度为V1,即求/，/+受可转化为黄加+组以其中券定值）的最小值这样我们抽象出如下模型：场景：如图，A、B为定点，P为I上的动点，求nPA+mP81.或PA+PB（<1»的最小值.步骤：第一步：将所求线段和改写为PA+P8的形式©<1）；第二步：在PB的一侧，PA的异侧，构造一个角度u,使得S1.na=%j第三步：过点A作第二步所构造的角的一边垂线,该垂线段即为所求最小便；AS第四步：计算即可.落选伊噂例】.如图.已知1.XOY=60。,点A在边OX上.OA=2.过点AfAC1.Oy于点C以AC为一边在UOy内作等边AABC点P是A/18C围成的区域（包括各边）内的一点过点P作PDi1.oy交OX于点D.作PE0X交0Y于点E设OD=a,OE="则a+2b的取值范围是./解析+2b可以转化为2（a+b）,求+2b的取值范围就转化为求+b的取值范围,所以关键是如何转化作出0D.解过点P作PHOY交于点H.：PD。丫,PE0X.二四跳EODP是平行四糜.NHEP=NX0Y=6(r.EP=O1.>=a.RsHEP中,EPHFO°,.EH=p=g.a+2b=2Qa+b)=2(EH+EO)=20H.当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值=0C=10A=1,即a+2b的最小值是2:当P在点B时QH的最大值是：1+；湖（a+2b的最大值是5,2a+2b5.例2.（2020新张）如图在ABC中2A=9（F,B=6（r.AB=2,若D是BC上一动点则2AD+DC的最小值为解析2AD+DC可以转化为2（AD+广。）求2AD+DC的母小值就转化为求AD+汐。的最小值问题,可知满足胡不归模型.解如图作NBCE=30。CE与AC在BC两供1.过点D作DF1.CE于点F.过点A作A1.UCE于点H.在RtCDF.ZBCE=30o,.DF=CD.则由“垂线段最短”可知,AD+DF的展小值为线段AH的长,BPAD+）。的最小值为线段AH的长.在RtABC.外在RtACH,ZACH=ZACB+ZBCE=30o+30n=60o,二ZCAH=30o.CH=AC=×2y3=®AH=6CH=百X5=3.+：C。的最小值为3.-2AD+DC=2(AD+CD).2AD+DC的最小值为6.精选练习1 .如图P为的形ABCD对角线BD上T点.若AB=2“则AP+BP+CP的最小肋AP+BP+CP_第2题图2 .如图.NHC在百角坐标系中，AB=AC,A（0,26）,C（ImD为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A-DTC,点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为I.解:Y正方形ABCD为轴对称图形.AP=PC.AP+BP+CP=2AP+BP=2（AP+抑）.二即求（AP+：8P）的展小值.连接AC.作NDBE=30。.交AC于点E.过A点作AF_1.BE.垂足为点EAk交AC于点M、点M就是所求的AP+BPYP最4时点P所在的位置.在R1.PBF中,.ZPBF=30o.PF=IBR点F在BE上运动.APSF的最小值就是求点A到亘线BE的距掰,也就是AF的长，二当P点与Mm合时AP+户最小.AP÷i8P的最小值即为AF线段的长.-7pVZBAE=450.ZAEB=600.：.AO=BO=®,OE=,BE=当,则AEAO+OE=y2+y.BU继3Jc根据面积法,1AEB0BEAF,求出AF=竽.则AP+BP+CP=2（AP+BP）=2F=2+6.故答案为企+后.2.答案为（f）.