专题07 空间向量与立体几何（解答）（解析版）.docx

nBE=O,nPC-O.设Ii线ACjT：1：IBEF所成的也为0.则“土卜鼎因为EFfiPC，设平面砌'的法向/为”=(工乂)则行设E(2O),则S£=(/-220).乂PC=(O2-2),所以“；：二j'=°令x=2,Wy=z=2故平面跳尸的个法向N>ji=(22.2).当且仅当$=-3，=1时取,=乂0°4。490°.所以伊6460°.综上所述，直线ACUT1.h:BEF所成角的最大值为600.2.(2024,浙江宁波模拟预测,在空间四边形A8CD中,AB=BC=BD=AC=2,AD=DC=2.(I)求证:平面A。CJ.平面ABC;(2)对地线8。上是否存在一点£,使得白城与平面ACE所成角为30。,若存在求出点的值，若不存在说明理由.【答案】(1)证明见解析存在，器3t分析】3)取AC的中心。，连可证明D1.CRR1.AC,DO1.OB,根据戏面粘1与曲面垂直的判定定理即可证明:：2)以。为。点,8.8.8为在宜坦分别为x.y.z轴建立空间直角生标系,求出A。与平面ACE的法向h；i的坐标,即可求解.所嗜3.(2024.浙江三模)已如四面体A-8CCM8=AC=8C=e=2.AC=1.(2)若8。，26，求直践八8与平面4C。所成角的正弦的.【答案】(1)证明见解析噂【分析】'1>根据题.Q."J'力8D1.A,8D1.CM,结合线面垂Ji的判定定理分析:正明:<2)方法1：根据题息可知：平面BCD1.平面Aaf.作辅助线,可知AH，平而BCzX利用等体积法求B到平IfiiACD的距离为.”台线I=U夹角的定义分析求解:力法2：根据,也意可知：丫：向BCD，平面CM.作州助纹，可知AH1-zf118CD.建系，利用空间向砥求线面火角.连AM,CM,iAR=AD=BC=B1.).'WBD±AM.BD±CM,又因为AwCeW-W.AV/.CMTi1.1.ACM.因为CU¥ItiiACM,所以AC1BD则Aj,-g,*j,8(6,),C(,1.,)Q(-6,),可行AC=1J-gm=(6叫.八8=g.-gj.设平面AeD的一个法向班为万=(Ky,z),则0M=T-4'=°,(mX=3+v=0令KI.则门赤.二一3.可得力；«.6-3).设r：线AB号平面八CO所成角为O.WWdMB4扁=孺=*所以底践AB1J平面ACD取成/面用的正弦成为噜.4.(2Q24浙江杭州三模如图，己知三梭台ABC-AIBC，八=BC=CA=AA1=BB1=2,A4=4,点。为线段A国的中戊，点D为线段OA的中点.B(1)证明：电线AO平面"C：(2)若平面BCC1B11平面ACC1A1,求直线AA与平面BCC1B1所成城面向的大小.【答案】(1)证明见解析；【分析】取A8也点W,利用平行四边形的性附证明A。0的,从而利用戕向*行的判定定理壮明即可:<2法I(浮系)：利用楮形性侦证匚A"1."W,建立空间H角公标系，设C(>(1-C5),jsina),利用平面CG4J平面ACGA求行C停。制,再利用线面角的向«公式求解即可;法2期合法）：连接CA,送，取AG中点Mii½C,C,.8/交点明根据面面矢口的性侦定N!.结合我面角的定义得/AVC即为所求,在直角：角形中求解即小法3（:余弦定理:延长GUAA，8”交于点.匕根据三余弦定理求解即叽【详解】（1）取Ab中点.M,连接CMwe,则cwc。，故c.r共面,I1.I-AAf'-JOD平行且相等得，OZMM为平行四边形,AD/OM.囚为AD<z平面"S，OMUT1.fHOCC1,所以ADTtfiiOCG.<2）法1（建系）：连接0A,因为雨8。.UZM=用。2.所以BAOB1为甲行四边形,故OBB12.乂点.D为线段0A,的中点，所以A。J.A。,中AD/OMf：Ao1OM.枚以。为原点，OM-OAy为X,丫轴正方向，乖自T1.f1.BB,Ai向上为二壮正方向,建立空间直角坐标系工则(3.1.o),A(0.X0).,(0.2.0).(3.1,0),因为八8=BC=GA=2,八8的"I点M,所以B1CM.ZAB1.OM,CMOM=M,CM.OMU平面CWO,所以A1.i±平面CWd又ABu平而A88,A,所以平面CAQI平小A88,A,设NCMO=.CW3.WiC(3(1.-cos),0.sin).设平面ACGA的法向於为，4=(牛人2,).AC=(-/CoSa.T,/sina),Ae=(O(I-CotSa).-2,7JSina),J-Ir,cos<z-y1.+3z1sin«=0R1.+cos则't,、/r,取号=1.则X*.Z3-：.yfixi(1-cos6r)-2y1.+3z1Sindf=O*n则平面ACGA的法向价为，%=(|,6/巴：设平面8CC4的法向枇为A=(x2,y,z2).-/cos.1./Sina).8C=(G(I-CoJia).2,干Sina).->3A>costt+y23z2sina二OXr2(1.-s)÷2>+>3z2Sina=O取勺=1,则门=一#.31.+cosaSina小HfMCCS的法向Q为巧(.？4)因为Tf1.i-BCC1B11Tid：ACC1A1.所以n1n0.!x1.+3x(-3)÷1.1.1.1.=O.,sinasina卬3coa+2cosa-1=O,肝R；COSa=gukcosa=-1.(勺去).放q平,().平%=("卜记方线M与平面8CG5所成线面向为仇AA=(61.0)，m"°=刍二季ijg即在线人儿3平面HCGQ所成纹面加£.法2(堞合法i1.C.eg,取AG中点M则CN=AAI=I=A4=C,AiG41ICC1,由平面BCC1B11.平面ACeA.CC1=平面BCCtB1.平面ACC1A1,CAiU平面ACC1A1,故CAJ.-fBCC1Bi.H1CaIU1BCC1B,.B1CA.A1.C.Z1.I1.fi1CA,C,分i1.C=A1.C=Ji.延长GaAA.58交于点匕则所求线而角即ZAyc,而SinZAVC；处叵.所以SinNAyC-A1V24枚点线AA与平例8CG8,渐成纹面地的大小为法3（三余弦定理）：先证三余弦定理：设A为平面E点，过点A的H戏八。在平面上的射影为AB,Ac.为平而内的条1线，令NQAC=8,ZOAR=1.,BAC=z,则这：个加存在个余弦关系；COSe=C8苗8$仅其中。,和4只能是钱知,称为三余弦定卉，又称用小张角定M1.证明:如上图，自修。作OBiABJF也过BqBC1Aere,连接0C,囚为ORITifi)«.ACu'；'冏,所以08_1.AC,ZBC±AC.BCCQB=B.BC.OBc'111.CBO.月以ACJ.'冏CHO.乂OCUT-f1.；CHO,所以AC_1.OC,则cosZOAC=-,cosZOA8=/,cos/8AC=%.所以c>sZOACcosNQA8cosZBC.第cos。=COSaCOS%.延长CC,AA.8,8交)点忆则/8VA=NavG=NSVG.I1.1.T1.I1.iBCC,Bt1平面ACCA.用：余弦定河价COSNBAa=COSNGMCOSZC1Vfi1.所以cos,zc1vA=：,所以coszc1VA=号1.f<,>rtA1'jTh8CC罔所成线面向为/05=jN5.(2024浙江金华三模如图,四棱椎。-八灰7)中，四边形八8(7)是菱形，ZBCj,AfiP是正三角形.G是48CO的JR心，点F满足AP=3FP求证：柘平面BCP：若CP=B,求直线SG与平面Ab所成角的正弦曲.【答案】证明见解析【分析】(I)粮抿求心的性做可得尸G2C，即可根据线线平行求证,<2)限如线线.H可得殴血乖忆进而可烟VyC()P1.yBP.根据余弦定理以及勾股定理求解反吱.即可利用等体积法求解长度,利用线面知的几何法来解，或者建立空间出角坐标系.利用法向法与直线方向向量的夹用求解即可.【佯解D如图，遥接AcBD.交点为”,则M虺BD的中点.因为G於ABCD的用心，所以CG=2GM.乂M是AC的”'点.所以AC=3GC.IhAP=3FP知F在设段八。匕IIAP=3FP.所以FG"PC.而打；«T1.fKBCP，PCU平面BCP.所以柘平面BCP.A.+o=o-坐%+0+；%=02-幸所以.cos<m,BG从而':我I7.而BCP所成用的弦值冬6.（23-24高三下,浙江金华阶段练习如图,在三棱柱A8C人8£中.ZA8C是边长为2的正三角形.侧面8用GC是矩形，AA=A8.（I）求证：三极锥A-ABC是正三极锥：（2）若；.梭柱48C-4“C；的体枳为20，求力践AG与平面AA"/所成角的正弦伯.【答案】（1）证明见解析立3【分析】（）>根据组面垂直的判定定理及性防定埋，证明A。，平面ASC即可:<2）建立空间百角坐标系,利用向量法求线面角正弦即可.【详解】（1分别取八8,Be中点D.E,连接8,AE交于点O,则点。为正：角形A8C的中心.面为夹角他因和图形即可求解.【详解】如图.取AG中点，连接8,Q"OQ,OO,.则由到意B1.BHAAyI1.Oo八I.Ba=AAI=OO1,故四边形BiBoOi是行四边形,所以R1.O1.fRO|：B1O1=BO,故R1O1HOD.B1O1=OD1所以四边形禺QOO是平行四边形,It1.B1.OffO1.D,又K,01.AtDCt,Q。U平面AB.所以乌。平而Ag.(2)由题息叮如AeBD,OB1阚柄，门，故可建立如图所示的宽间直角坐标系。一冷2.则i1.题©：4(0,-2.0),D(I,O,O),C(O,2,O),(-I.O,O),B,(.O.23.乂M=CG=明=(,o.2j),所以因-OC+CG"484(0.2.0)+(1.0.2J)(1.2.2#).O1.O+½O+8B1.=(0.2,O)+(1.O.2)-(1.-2.2?).即4(1.-2.24)(1.2.26).所以4G=(20).(C1=(1.0.23).图=(0,-22母DC,=(.2.2i).设TifijAOG的一个小向4为，"=(%»").m1B1C1m1CC1mH1C1=x2K=OmCC=x1.+2小入=0取芭=26，则Iit=(2百.M,-1).设平面RCC1B1的一个法向盘为rt=(.t2.y,.,),妞M1.DOin!Z>A-io-22.(2024浙江密兴模在如图所示的几何体中,四边形A8C。为平行四边形，¾_1.平面A8CQ姑QD,BC=2A1.i=2PA=ZZABC=M).(I)证明：平面PCOJ.平面PAC：若PQ22.求平面PeQ与平面。CQ夹角的余弦(ft.【答案】(1)证明见解析寻【分析】法，先证明COJMC,再证明8,平而/>AC,利用面面就H的判定定理得证:法建立空间直角坐标索,利用向求法求出平面FC。和平面PC的法同丁三明:<2)法、过CP作CEPE分别平行于AAAC,连结QE,什MJQC交QC于尸点，连结E尸,证明QC1.EF,说明NW中为平面PCQ1.j平面DCQ的夹角,求解得答宴:法：.建系求出平面DCQ和彳间PCQ的法向8t利用向量法求解.【详解】(1解法：.BC=2AB=2,ABC=60.6.ABCV-AC2=AR2+RC'-2ARRCcosZABC-印AC'=1.+2：-2x1.x2x1=3.C-3B'+AC2=BC-.A/W1.AC.BfCD=>CD1.C.PEUAC.:.PE1-'1f1.CDQE.乂因UV向CDQE.PE±QC,又PF'QC.PE.PFf!PEF交;P.QC1平'PEF.又EFUiFiftiPEF，:.QC1EF,.NW话为平面PCQ与平面"CQ的夹角或其补角,t!PC'p,PC=2,QC=i,P0=22.cos/CPQ=2=,2×2×228.sinNCP0=率，由等面积法怦得PF=哥，X,PE=3dccPE30I3?:、snPkE=-T=.；coszfPFE=-T=PF65731所以平面PCQ与F面DCQQU的余弦值为包.31<2)价法.；在Fft1.梯形ADQP中,解得QD=3,小图建、工空间由角坐标系,P(（三）.1).C(6o).(2(I,3.3).d(-I.V.0),平面OC。的法向址为IC(.3.),乂CQ4T.0.3).CP(Oja1).、C¢,=O-x,+3z,»=0设平面PCQ的法向靛为2=(q.%zj,则：_,叫=0，CP%O"+Z1.令X=1,冰色天：W5.z2：力，.%=(3JJ.I,JJ).设平面PCQ与平面。CQ夹角为，.23.(2024,浙江绍兴二模)如图,在三极椎P-ABC中,AB=A.C-2.Z.CAB6O3.BC1.P.所以NASo=o(2)因为Q61.WQ.所以。WIM/).ZZW1.CD.QCCM)=O.DGAGu平面ABCD.所以EM.'BCD.取AO中点E,连接户£,设PM=h.设多而体ABCDP。的孙枳为V,则V="我中包-e“+%帔懵P-CMM=3匕用“"r¼f-cww=3/m÷½mnp->r.vSaem*"+三fcSbi改”.mXh=S.3I1.CG15n.51.1.211.15X力+-25AEAf×n-uw×=-X×2x1.×sn-=-.333232髀得P.W=h=.建立如图所示的间区角登标系,则A(-3.2.0),(-3.1.,).c(3,-1.,).Wo,).>(3j).Q(-61.3J),M(OOO).1小r而08的一个法向Mi=(Iq0).所以CD(0.1.0),PD-(3.0.¼)设平面PCDtf一个法向优加=(X,y,z),VAK刎。°.取/H=(3.0.1).所以C8，=所以fi1.1.)PAD与平面RWO夹角的余弦优为亚.IO26(2024浙江模拟预测)如图，一知JE三核柱八8。-446.八8=7?4.。£分别为核44.8。的中点.说，i=(x.y,z)为平面PA型的法向例，则':'=；：；.0令丫=2,得分=(2-f.22),显处Ti1.1.BEI)的法向壮为"I=(QQ1.).殳T：1.i|PDE'iT1.1.ABED的夹角为。.则COSo=ICai5.mI=1J1=T,解得，=I或r=3.I"I1.m1.(2-r)+4+43所以观段房的KI或3.32.(23-24高三下.浙江开学考试)如图，四极椎P-ABCD中，平面%C1平面ABCO4尸八C为等边三角形.ADNBC,8CJ_CD8C=2e=2AD.”是棱¾的中点.(I)证明：PB1.MC,(2)求平面月仍与平面PCD所成角的余弦伯.t答案】(I)证明见解析立7t分析】(D根据余弦定理、勾股定理的逆定理，结合面面垂直的性质定理、4面垂直的性质进行求解叩可：<2)建立空悯直角坐标系,利用空间向Ift夹角公式进行求解即可.【佯解】II在梯形ABar3设8C=2C0=2AD=2w,IIIADHBC.IiC1.CD=>AD1.CDAC-J<F+a2=1.，ZDAC=ZAC1.f=：,AR2=AC2+CB2-2AC-C?cos=2«2+4r-2S;-2«-=23.即Afi2+Ad=BC?,所以可御ABAC.又平面AeeDIiV-1.hPAC.-IfJAfiCDC平面PAC=AC.ABc、:面ABCD.所以ABqsI-IfiiPAC,ABC.平面RW,所以平面¾±T-Ifi1.PACZ等iU-PC.M是杭PA的1卜点.所以MC1PA.T-1.f1.；PABC,rf)iPACPA.MCCfiPAC.所以MC1-IfH.PBU平而PAB.KiPB1.MC.(2)取AC中点。,易钥1.CC,所以OPJGiABCC,4(,-2.),P(,O,6)./I.j(-2,O.o).(44JI1.1.（1）yx,r,iftiPAB的个法向铝是CM乂IX'=(2,2.),CP=(0.-2.设=(.".z)是平面PC。的法：必；，it-DCOj2x+<f2v=O则=二V1.nCPO-2y+6z=0令2-1.可得”=(-4.6，1)，厂.nCM-yfyf1.所以EE=耐=而=一不故'1'血PB1jT：HIPCD所成角的余弦位为也.733.(23-24高三下浙江,开学考试)如图,多面体A8C?)”中.四边形与四边形ACa>均为宜角梯形.已知点BCE.F四点共面,且AD_1.B,AD1AC.证咻<i)平面AeC平面DEF；<ii)多面体八收7)""是：棱台：若48=AC=AD=1.DE=DF=2.BC=日求平面HCEF与平面DEF所成角的余弦值.【答案】(1)(i)证明见解析：GD证明见解析立3【分析】(1"i)田线线平行褥到线面平行,进if得到面面平行:Gi)II1.面面平行得到线线平行.即BCHEF.作出辅助线.证明出直线E8=C%相交于点土.故多面体ABCDE是:校台:<2)由勾股定理逆定理得到线线垂贪，从而建立空脚立角坐标系,得到平面的法向量,求出两平面的夹角余弦值.【详自¥】I)四边形4曲与四边形AC田均为C1.角梯形,AD1.AB.AD1.AC.ttiARHDE.ACUDF.囚为ABaTf:DEF-DET1.fi:DEF.所以ABHDEF,同理可得ACH平面DEF，W为AB.ACUinABC.ABoAC=A,所以平由:ABCH平面DEF:<ii)III(i)1.T!AC/-hiDEF.乂aC.E.F四点共画.平面ABCn平面BCEF=BC,平面DEFC平面BCEF=EF，取BCHEF.由F四边形ABED与四边形ACFD均为白用悌形.i1.AD1AB,AD1.AC,故BE与DE不乖直且夹角为锐角,CF':DF不乖InI夹角为锐角,所以5E.CF为相交百纵延长两也线相交于点，,所以HWQ线电,Het1.fHCF,ZBETIfi1.AfifiD.CFcT1.fi1.ACFD.H1.f1.ABED./T1.f1.iACFD.ZTi1.1.；ABEDCTf:ACFD=AD.Hg.AD.故线EftFC.DA川交干点H.故多而体ABCDEF是我台：H(2)因为A8=AC=1.8C=O故人8：+AC2=ac2.则A8AC.WDE-DF.乂八。，八8.八。_1.八C.敬AD1.DE.D1.M.以Q为坐标原点,5EQHDA所在一线分别为X,y,Z轴,建立空间H角坐标系,因为AD=I.DE=DF=2,葭O(QO.0).£(10.0).F(0.2.0),(1.0.1)./«-WE=(.1；V,2)(1.0,-1)=X-:=0设平面BC卬的法向M：为，”=(Sy二).肥(：，、mBF=(x,y,z)-(-1,2,-1)=-x+2y-z=0=1,则n=1,>=,*V(U,1.),平面DEF的法向此为A=(OO1.),34.(23-24高三上浙江宁波期末)如图，在四校锥A-fiCOE中,AEJ.底面HCDE.BE1.HC,BE1.DE,AE=RE=4,BC=3.DE-5.>*,：F(1.DE.阶-3,过点E作好的或找交AD于点G.(I)证明：AF平面8EG；(2)求平面BEG与平面AC"Km的余弦值.【答案】(1)证明见解析【分析】(I)根据鹿1结合线面垂出的判定定理和性质定理分析证明I<2)建系，利用空间向埴求线面夹角.【详解】(1>因为A£_1.平面Sa)E."Eu平面CDE,所以A£J.8£.乂因为酩上比，I1.AEDE=E,所以8EJ.，面人££),I1.AFc平面MF，所以BE工AF.而EGAF.IBEEG=E.BE.EGU丫面BEG.所以AFJ平而MG.<2)"：图，以E为原点.EftED.E4方向分别为xyz轴正向,建立空间力的坐标系E-xyz.W1.4(0.0.4),e(4.a0)./>(a5.0),C(4.3.0),F(0.3.0).由(1)知,平面MG的个法向*为Ak=(OAY),itAD5Y4;*0h-CD=-4+2>=()设T1.1.!.'ACD的一个法向不为”=(.t.y.Z).因为AD=(0.5.-4).CD=(-1.,2.0),则令y=4,.11V=2,=5,可汨”=(24,5),设平面BEG1jT1.fiiAa)的夹角为,则cos。=IcoS<,叶扁=康二等.!IPr-I1.IiBEG:)IK1.ACD11J夹角余弦值为巫35.(23-24将三上浙江嘉兴期末等边三角形A8C的边长为3.().。分别是边AB和AC卜的点,且AP=2AO=2,如图1.符-A"/，沿8折起到AOP的位置,连结八队Ae.点0满足AQ=2QC,且点。到平面81，"的距离为1,如图2.(I)求证：内平面八四：(2)求平面ABC*j平面1.OP夹角的余弦值.t答案】U)证明见解析李【分析】"坐标法：曲题意可得AoJ平面8CPO,则以。为原点如图建空间自用坐标系。一»,利用空间向地证明即可：几何法:取OB中点S和线段Ab靠近点B的三等分点厂连结5T,SH70,可证得四边形STQP为平行四边形,则ST/PQ,再利用线面平行的判定定理可证得用论:<2)坐标法：利用空间向IS求解即可：几何法：延长BeOP交于点R在第AK，作。DJAK,连结BD可得，BDO为面角B-AR-O的平而角.在RtJ?OD中求懈即可.【详解】(D证法I(坐标法K因为AQ二IQC.,i,到平面BbO的力俱为所以点儿到平面SCQp的密寓为I.W为Ao=I,所以AtO1面BCPO.囚为08,0PUY面BCPO,所以AOJ08.AiO1.OP,在JoP中，OPzOi+AP:-2OPwsZOAP1.+4-2×1.×23.所以OP'+AO'=AP1.所以OP_1.AQ.所以OP工OB.所以以。为原点,以OBQPQAt所在的直线分别为工工Z轴建立空间在角坐标系.如图所示.则A(0.0.1),8(2.0.0),P(,3,),C所以p0=05'1-乂平面型Q的法向!1.!41U=（0.1,0）,111) PQn=O,纹/Qa-IIiiAbo.所以收平而AQ.取08中点S和线段A8*近点8的三等分点r,连结S7；SP.IO.内为AQ=2«,AP=IAO=I.所以7Q8C.SP=TQ=C.所以SP丁。.所以四边形STQP为平行四边形.所以STI/PQ.乂STU'fnABo.PQ1f;)BO.所以也平面ABO.<2)解法I(坐标法)；平面儿。尸的法词V/1=（1.0.0）.设YmAHC的法同3%=（HF工），BCIB半。A8=(20,T).W=?.2=23.1!JMj=(3.I,23).设平面A&C与TihiAoP夹角大小为O.则c°e=nJ=今叩邛而ABC与平面A1OP夹角的余弦伯W.解法2几何法:延长8C.OP交于点七连结AK作OD，AR连结80.因为OP1.OB.AyO1OB.OPAyO=O.OP.AyOU平面ACW,所以80/平面A1OR,因为AR.OD平面AOR,所以8。J.AR.BO1.OD.DO1A1R.OBOD=O.OH.OD<=OR1.).所以ARd.,向OBD.因为BDa':而OBD,所以1.K1BD.所以NSDO为：而角8-A&-。的面角.记为.d'f"3A0R中.OA1.J1.OR=OBtanW=2小，!JA1R=AyO,+OR:=M.所以。O=出13；M为08=2.圻以IiD=>oiir7or=j+Q=京.如平面ABG川而A。尸夹角的余弦值为立.