二次函数的图象与性质复习讲义.docx

第一节二次函数的图象与性质复习讲义知识结构导图定义二次函数的图象与性质图象变换解析式开口方向顶点坐标TS式对称轴顶点式对称高IN核心考点1 .二次函数的定义一般地，形如y=Y+以+c(a.b.c是常数.且a0)的函数,叫做：次南½.注：函数关系式必现是整式.自变量X的取值范围为全体实效，口最高次数是2.a是二次项系数,b是一次项系数,C是常数项,写各项系数时包括他前面的符号.二次项系数a不等于0.2.二次函数解析式的表示方法-,股式:y=ax2+bx+c(a.b.c为常甑a0).顶点式:y=a(x-h>+k(ah.k为常数,a*),其中(h.k)为顶点坐标.(3)交点式(两根式):y=a(x-x1)(x-x2)(K0"1,必是效物线与X轴两交点的横坐标，即一元二次方程x2+bx+c=O的两个根).注：任何二次函数的解析式都可以化成般式或顶点式，但并非所有的：次函数都可以写成交点式，只彳柚物税与X轴有交点，即b2-4ac0时,岫物线的裤析式才可以用交点式去示.二次函数解析式的这二种形式可以互化.3.二次函数=和-=(的图般和性质函数y=a(x-h户k(aC)y=ax1÷bx+c<aO)图象a>0a<0a>0a<0d1yU4yZXfh性顷开口方向向上向下向上向下对称轴x=hx=hX=-b2aX=-b2a原点坐标(h.k)(h.k)(-bx.4ac-z2)(-½a.4ac-a2)y½X变化的趋势当x>h时,y协X的增大而增大：当XVh时,y随X的增大而减小当x>h时,y班X的增大而减小：当x<h时,y随X的增大而增大当x>W2a时,yKix的增大而增大：当x<-bx时.yK1.X的增大而减小当x>-b2a时,>第X的增大而减小：当x<-b2a时.y朋X的增大而增大被大(小Mfi当X=h时.y最小值=k当X=h时,y最大值=k当x=-bara时.y最小伯=4acN当时，y1.大fFacN4.二次函数解析式的确定根据已知条件确定：次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据SS目的特点,选择适当的形式.才能使解题简使.一般来说.有如下几种情况：(1)已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式.(2)已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)依，一般选用顶点式.(3)己如抛物线与X釉的两个交点的横坐标，一般选用交点式(两根式).(4)己知拗物线上纵坐标相同的两点，附选用顶点式.5.二次函数图象的变换(I)二次函数的平移变换平移规律：上加下减、左加右减.上下平移变常数.左右平移变x例如，将抛物城y=Y+bx+c向左平移m个单位，再向上平移n个单位，y=(x+m)z+b(x+m)+c+n.将附物线y=(x-h)z+k向右平移m个舱位,再向下平格n个单位.得y=a(x-h-m)2+k-n.(2)：次函数的对称变换关于X轴对称y=ax2+bx+cy=-axt-bx-c.他物纹y=a(x-h)2+k关于X轴对称后，如到的他物线是y=-a(x-h)2-k.关于y轴对称y=ax2+bx+c.y=ax2-bx+cMitS,y=a(x-h)2+k关于，轴对称后.得到的他物线是y=a(x+h)2+k.关于原点时称y=x2+bx+cy=-ax2+bx-c.抛物城y=a(x-hY+k关于原点对称后，得到的他物战是y=-a(x+h)=f-k.关于顶点时称他物线y=ax2+bx+C关于顶点对称后,得到的她物税是y=-ax2-bx+c-.撇物践y=a(,x-八>+k关于顶点时称后，得到的柿物戏是y=-a(x-h)2+,关于点(m.n)对称枪物线y=a(x-h/+k关于点(m,n)Xj称后,得到的抛物线是y=-a。+八-2m)?+2n-k.注：时于填空和选择鹿，利用口诀写出解析式.对于解答的.求她物线的对称他物统的友达式时,一般先确定除他物税(或表达式已知的他物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称微物城的表达式.平移时，抛初战的开口方向和形状一定不会发生变化，因此a永远不变：对称时，岫物线的形状一定不会发生变化，因此Ia1.永远不变.1,二次函数图象与系数的关系11洪：首先判断a.b.c,再来判断不等式，最后代入特殊伯，等fit代换不等式.常见符号判断:(IW：看开口方向.b：看对称轴''左同右异”.对称轴在y轴左例,则a.b问号;若在右恻河a.b异号.(3)c：后与y轴交点的位置.(4)=b2-40c;看图象与X轴交点的个数.(5)划断a+b+c,a-1.>+v.4a+2b+c.i-2b+4c的符号.需要代入特殊值，把x=1.x=-I.x=2.n=-g代入.提示：如果判断(+c)2-bz的符号，可以根据平方差公式因式分解后再划断.6)判断2aib的符号，需要把而称轴与±1作比较；2.根据二次函数表达式比较大小可以根据点到对称轴的距离和开口方向直接到断(血筒图>：在图2-1-1中,IIId1.<d*则y1<yz；在图2-1-2中.由%<公则yx>y2.3,抛物我对称轴的使用(看到纵坐标相等要想对称轴)(I)对于抛物线上两个不同点Pi(X1.y)和P2(2.y),则P1,P2两点关于对称轴对称.对称轴是号.点A(x,y)关于对称轴x=m对称的点的坐标是(2mx,y).4.求.次函数y=ax2÷b2+C的最值的方法（1）若自变质X的取值范围是全体实数，则函数在顶点处取得最大值（或描小值）,即若a>0.当X=-1.ytfsi1.=若a<0.当X=一辆.ya,tt芝卢（2）若自变埴的取值施国是X1.SXSX71若X=一5在自变域取值范附x1xh内.如图2/3当X=一点时,y版旧=12泮;当=t时.>大-0x?6xc-若X=一5不在自变Ift取值范附Xixx2内.如图2-1-4,当.x=大1时y相能等=*+bX+c;当x=x2时.>aa*"gc.例1.（货州毕节中考）一次函数y-ax+HaWO）与二次南数象可能是（）人昨三,C检测1.（湖南张家界中考在同一平面直角坐标系中，函y=ax2+bx+c（a0）在同一平面直角坐标系中的图PjVD/PI数.y=r+b与y=x2-bx的图象可能是（）".小例2.当X=3时，二次函数的最大值是I.旦图您与X轴两交点之间的距离为2,求这个二次函数的解析式.检测2.已知二次函数过点A(2.-16).B(-2.0).C(6.0).且函数的最小值为-16,求此二次函数的解析式.例3.(四川达州中考)如图21.5所示,已知二次函数y=z+b+c(0)的图象与X轴交于点4(一1，0),与y轴的交点B在(0.-2)和(0,-D之间(不包括这两点)，对称轴为直线x=1.下列结论:abcXk4a+2b+cX);4ac-b2<Xa;ctrde4<<b>c.其中含所有正确结论的选项是()33图2-1-5A.(DB.(D®®C.©©D.检测3.（山东枣庄中考）已知二次函数y=ax2+bx+c（a*0）的图象如图274所示,给出以下四个结论:abC=O.a+b+c>O,a>b,4c-<0.其中正确的结论有（）A.I个B.2个C.3个D.4个例4.（浙江舟山中考）二次函数y=-（X-I）2+S,当mWXn且mn<0时.>的最小值为2m.最大值为2n.则m+n的值为（）腐B.2C.2D*检测4.（四川雅安中考）在二次函数y=X2-2x-3中,当OX3时.y的最大值和最小值分别是（）A0,-4B.0,-3C.-3,-4D.0.0例5.若他物纹y=X2+bx+C与X轴只有一个交点,且过点A（m.n）.B（m+6.n）.Un=.检测，（四川资阳中考）已知二次函数y=K+bx+c与X轴只有一个交点，旦图象过（x1.m）,B（r1+n，m）两点,则m.n的关系为（）A.m=B.m=nC.m=n2D.m=n2