相似经典题型.docx
1、如图，ABC是一块直角三角形余料，NC=90。，AC=6,Bo8,现在要把它加工成一个正方形零件,试说明下面哪种加工方法利用率高？解:方法一：当所截的正方形的边在ABC的直角边上,如图1,设正方形CDEF边长为X,那么CD=DE=X,AD=AC-CD=6-X,.DEIIBC,AADESACB,.煦四，即6-*二±,即得=M,ACBC687即正方形CDEF边长为名；7方法二：当所截的正方形的边在ABC的斜边上，如图2,作CMJ_AB于M,交CD于N,ab=V62+82=10,.1cmab=1acbc,22CM=×24,105设正方形DEFG边长为X,那么DG=MN=x,CN=%-x.5.DGIIAB,.CDGSCAB,24.理即工与一，解得X=磔，ABCM1024375.24_120>12073537ABC的面积为48,D,E分别是边AB,AC上的两个动以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG.求正方形DEFG的边长；采用方法一利用率高.2、如图，在锐角三角形ABC中，BC=12,点(D不与A,B重合)，且保持DE1.1.BC,(1)当正方形DEFG的边GF在Be上时,(2)设DE=x,ABC与正方形DEFG重叠局部的面积为y,试求y关于X的函数关系式，写出X的取值范围，并求出y的最大值.解：(1)当正方形DEFG的边GF在BC上时，如图(1),过点A作BC边上的高AM,交DE于N,垂足为M.Sabczz48,BC=12».,.AM=8»DEIIBC)ADESABC».DE-AhIj'BC=AN,而AN=AM-MN=AM-DE,/.128解之得DE=4.8.当正方形DEFG的边GF在BC上时，正方形DEFG的边长为4.8,(2)分两种情况:当正方形DEFG在ABC的内部时，如图(2),ZkABC与正方形DEFG重叠局部的面积为正方形DEFG的面积，*/DE=x».,.y=x2此时X的范围是0V48当正方形DEFG的一局部在ABC的外部时，如图(3),设DG与BC交于点Q,EF与BC交于点P,ABC的高AM交DE于N,*/DE=x,DEIIBC,ADESABC,即理"，而AN=AM-MN=AM-EP,BC-AM.EP,解得EP=82x.1283所以y=x(8-2x),BPy=-22+8x,33由题意，x>4.8,且xV12,所以4.8VV12;因此ABC与正方形DEFG重叠局部的面积需分两种情况讨论，当0Vx4.8时，ABC与正方形DEFG重叠局部的面积的最大值为4.82=23.04,当4.8VV12时，因为尸-22+8,所以当X=-8c=6时,32×(-分ABC与正方形DEFG重叠局部的面积的最大值为二次函数的最大值：y4u=2x62+8x6=24；因为243>23.04,所以ABC与正方形DEFG重叠局部的面积的最大值为24.3、在平面直角坐标系中，OA=I2cm,OB=6cm,点P从点O开始沿OA边向点A以2cms的速度移动;点Q从点B开始沿BO边向点。以IemZS的速度移动.如果P、Q同时出发，用t(三)表示移动的时间(0t6),(1)当t为何值时，四边形PABQ的面积为30cm2；(2)当t为何值时，APOQ与AAOB相似.【解答】解：(1)OA=12,0B=6,由题意,得BQ=IXt=t,OP=2×t=2t.OQ=6-t.30=1.AOB-IxOPxOQ=Ix12×6-1.x2t(6-t),2222解得t=3+5,或t=3«当t为3+3,或t=3-«时四边形PABQ的面积为30cm2；(2)1、假设POQSAOB时，区="，OBOA整理得：6-t=t,解得：t=3,所以当t=3时，APOQ与AAOB相似.2、假设POQ-AOB时QQ：OA=OP:OB即(6-t)：12=2t:：6整理得：15t=18解得：t=1.2,所以当t=1.2时,APOQ与1.AOB相似.综上所述：当t=3或1.2秒时，APOQ与AAOB相似4、正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直.(1)证明：RsABMsRsMCN；(2)设BM=X,梯形ABCN的面积为y,求y与X之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；(3)当M点运动到什么位置时RtZkABM-RSAMN,求此时X值.【解答】(1)证明：在正方形ABCD中，AB=BOCD=4,NB=NC=90。，AM±MN,/.ZAMN=90o,/.ZCMN+ZAMB=90o.在RtZkABM中，ZMAB+ZAMB=90,/.ZCMN=ZMAB,.RtABMSRsMCN.(2)解：.RSABM-RtAMCN,.鲤普!，即4二8,MC-CN4-X-CN2.T-X+4xCN=2y二S桥形ABCN=(X+”.+4)424=-1x2+2x+82=-1(-2)2+10,2二.当点M运动到离B点的长度为2时，y取最大值，最大值为10.(3)解：NB=NAMN=90°,.要使ABMSAMN,必须有坐用!，AM-MN由知细=MMNMC.ABAB丽而/.BM=MC,当点M运动到BC的中点时，ZkABMsAAMN,此时x=2.方法二：过点M作MP_1.AN,垂足为P由题意可知AM为NBAN的角平分线.BM=MP由题意可知NM为NANC的角平分线/.MP=MCABM=MC，当点M运动到BC的中点时，aABMsAMN,此时x=2
