几种经典初等不等式的证明及应用.docx

几种经典初等不等式的证明及应用搞要：本文主要是先介绍了不等式的研究背景、研究方法和研究内容。在研究内容上主要研讨了几种经典的初等不等式，在不等式中主要介绍了均值不等式的定理的证明及其应用，其次介绍了柯西不等式的定理证明以及在取值、最值和空间几何上的应用，然后介绍了Jensen不等式，AJensen不等式中不仅探讨了定理的证明，也可以通过使用Jensen不等式去研究证明不等式和函数的鼓大值与最小值。本文主要通过对这三种初等不等式的研究，可以更加油是地理解这三种沏等不等式的证明方法及其应用。关僦词：初等不等式：证明与应用：村四不等式：JenSen不等式：1绪论11研究背景数学经典初等不等式的发展首先起始于欧洲的几个国家，欧洲的几个国家中每个国家在不等式的研究上都有所建树，并且都很成功，他们影响了世界各国对经典初等不等式的重视程度，好多国家都开始集中精力召集人才来研究经典初等不等式“所以当前，数学研究者遍布世界各个国家，他们都对经典不等式的理论和研究感兴趣。20世纪70代以来,全世界每四年召开一次一般不等式(Genera1.IneqUa1.ities)的国际学术会议，在德国召开，并出版专门专业的会议论文集。经典初等不等式的研究成果丰富，研究成果水平很高。当然，随着科学技术的发展，我国也马上将经典不等式的研究推向高潮1每一个经典不等式都有自己的魅力，体现出数学的美妙。陶行知主张“教学做合一”也就是理论和实际结合，那基本初等不等式其中的应用也是比较广泛的，涉及的领域多种多样。例如军事、医学、教育等等。1.2 研究目的和意义在研究了经典初等不等式后，了解了不等式的基本性质，充分掌握经典初等不等式的定理的证明以及它们的应用,为今后继续去研究其他不等式性侦及证明,对经典初等不等式也有r更深丛的理解“本篇论文一开始就探究经典初等不等式与其证明和应用。感受到经典初等不等式的证明与应用，以培养认知水平为出发点，设计了一系列经典初等不等式的问题,通过体会不等式的证明方法,感受不等式结构中殖含的价值。经典初等不等式是不等式的重要组成部分，有很重要的意义,不等式理论在数学理论中占的地位可想而知也是非常全要的，它渗透到数学的每个领域，因此对不等式理论的发展历史有一个清晰的认识是很有必要的。在提高数学能力方面起主要作用。因此，研究经典初等不等式的证明及其应用有很重要的现实意义.1.3 本文研究的主要方法和内容本文研究经典初等不等式的主要方法有理论法和文献资料法，收纳法一通过其他些大量的例子来归纳出经典初等不等式常见方法和问题给H1.具体实例：文献资料法一以到图书馆、典藏室、知网查阅等形式J'解知识，以便对课膻更好的补充。2均值不等式2.1均值不等式的基本定理与推论定理I(均值不等式)：若“，h,a>Q,h>Q,则W疝,当且仅当=时取“=”号.注：上述定理也可表述为两个大于零的数的算术平均数大于等于它们的几何平均数。4证明：在/+2MQJ)WR)中，a+b=(Ta)*+(7>)27b=2>j(ib,iab，2(当I1.仅当G=的，BIJa=时，等号成立)。推论I：若x>0,则.r+42(当且仅当X=I时取"=”号)：X若XW0,则x+!22或x+!-2,即X+1.2(当且仅当X=I或X=T时取XXX“二”号)。推论2：/+62匆四1；"(i)2;(竺32222W(a+b)2>Aab.证明：Va2b2Zab，'-2(«:+2)0'+2ab,2(a2+b2)(a+bf,，,<d+Z>2).a+b。2.竽2痴，.(空尸之血。由得/+如红，；.史也之("e)一222(4ha2+b22ab.,.i+b2+2abAab，(a+byAab。推论3：-It：中。证明：设fx=1.ogaxia>1.v>O),则八X)=-J<0,故f(.r)在定xIna义域上是凹函数，因此有以J(x)(力取4*(fc12.n)，有i-1.I-IR；(Ioga+1。9×2+,+*)*；+*z+即口OgQ(XI与¾)I”.；Ui+>+-+j亦即IOga(M*2-*)IOgttxn(x1+*2+Xj因为>1»故有1.*j*FjiX2xa(x>0,i=1.2,n)*2. 2均值不等式的应用2. 2.1在求最值问题方面的应用首先把式子简单化为般均值不等式的形式，然后利用均值不等式的定理进行解答。例1假设一个数列怎，它的前项和SrI=I+2+3+n,求f(n)=三(m+32)S11.i的最大值.解：S1.i=1+2+3+fnn(n÷1)»<,1.J(+1)f(='，2=2("32电"%+i)5+2)5+32)("2X"32)2=A=I÷34h÷64zj+64+34nvn+342Jn+34=16+34=50.f(n)-,当且仅当”=竺，即=&=-8舍去)时，取“=”号,50n./()的最大值为小把题H中的式子进行变形，由ab(4)2然后求题目中的最值。例2己知,h.w>O,>O.且”+力=1«(1)求石IT+石TT的最大值：(2)求h?的最小值：ah解：(I)将67T+/77T平方后。可以用题给条件和均值不等式求出最值：(J2“+I+21.+1)2=2(+)+2+2J4H)+2(。+份+1=4+240+3,因为“，方都是正数，a+b=,所以"(空2)2=1.24/.UZ1.+1+42b+1尸81O<2÷1+2Z>+12&,当J1.仅当，=/，=；时，(077+石1T)a=2.(2)符0+方和!2相乘，然后出现均值不等式形式可求出最值：abvtbe(0t+<),+6=1，,2=也+2g+初=3+&现3+2、庐=3+2右，ahabahbu+=1.当且仅当方为，即=ab；二时'H=3+2日根据三角函数把三角形的ffi转化为边相关的，然后根据均值不等式解决问题.例3在ABC,内角A,B.C的对边分别是a,b,c.7；tantanC+tanCtanB=2tanAtanfi.求E了的值：/+Zr(2)若c=2,求48C的面积的最大值。解：由己知得巫!史£+毡屿9=2史整理得cosAcosCcoscosCCOSACoSBsin(A+B)CoSC即C2=2abcasC，2sinAsmm.2a.-.C=.即SmC=2su八COSC.sinC所以C?=a'+b'-ci.a'+b'=2<-=-<.«'+/>2(2)由三角函数中余弦定理及由变形化筒后可得21./2,八ai+bi-C2a1+b-Ic=-(4+b).cosC=-o21.ab4ab2(当且仅当=时等号成立)因为A8C的面枳为1.HSinC,又川/时+护)=4(当且仅当a=0时等号22成立)，SineM立(当I1.仅当“=时等号成立)。2所以AABC的面积最大值为:44=604)2) 2.2在求取值范困问题方面的应用首先运用函数性质求出函数解析式，然后分离变忌，把常数项放到边，然后进行求解取值范围。例4假设存在函数/(x)对物,y,MyCR均有/(x+y)-八田=。+2"1)成立，J1.1./(D=O求/：(2)求/")：(3)当0<x<2时，不等式/(x)>at-5恒成立，求。的取值范围。解：(1)令X=I,)，=O,得/(I+0)-/(O)=(I+2xO+1)-1=2.a/(O)=(1.)-2=-2.(2)令.y=OJ(x+O)-/(O)=(X+2x0+Dr=/+x,.f(x)=x2+x-2,3) )f(x)>敬一5分离变量后化为x，+x-2>ax-5.ax<.r2+x+3.'xE(0,2).a<'->+x+当XG(0.2)时，1.+x+2之1+26，当11仅当x=W,即X=G时取等号，由XX3e(0,2)(1.+x+-)m1.n=1.+23,/.<1.+23,X2.2.3在比较大小问题方面的应用把所有要比较大小的数都尽量化为和这个不等式有关系的能进行比较大小的式子。例5假设>O,.y>O,且XH)，则下列四个数中最小的一个是()（八）-(-+-)(B)2Xy+V©<D)层一解：./(Ob=>阻=不能选（八）。2vx/2xyZxy5yrXv1<1<1.,.,不能选(C),然后开始比较(B)和(D)O÷r2历网令X=1,3，=2则(B)中的结果等丁；,(D)中的式子最终等F-j1.,二(D)选项中的式子的值兑出来是最小的。3柯西不等式3.1柯西不等式的基本定理与证明定理2(Cauchy不等式)：设有两组实数q,/.«及也.也.为任意实数，则不等式：(£>也尸(fX)(g>2)成立，当且仅当子=等=F时取I=I»=1.r=1.½4d等号。6证明：证明柯西不等式的方法多种多样，我总结J'以下三种。(I)判别式法：令f(*)=(a1xb1)2+(a7xbf)2+(OWXbw)2得：f(x)=(12÷ajz÷+aw2)x2-2(a1b1+a22>2÷+<h1.1.)x+(b12+b22+由/()OWOBP:=4(a1b1+a2b2+4<ha)2-4(a124a22+<2)(b1242÷+hz)0(2+a,?+b>2+,+(ab+awb.)2(2)配方法:j-()2I-I三2-V.1/-IJT/-I4f1.2+-2A)/M1./-II-Iy-1M1.J-I=7A-A)2.不等式成立。2r=)-(3)数学归纳法：”=I时，a；M=(a)2，不等式成立：如果“=a-i时，不等式成立，令SI=ZWS=Z1，;$=Zm,有I-I/-II-IJ-Ists2s“=时，£«£6;=(S1+«xs,+忧)=SS>+S辰+SW+«>；-I-1.Si+为也JS1.S2+(a也尸NS；+2。也邑+(也-=(S,+a也-=(Z以力"o综上,W11eN,Vai,¼e,C/1.,2,n.均有(£他尸金打以力汇)。I-IUr-3 .2.1在不等式证明中的应用通过对要证明的式子进行特殊变形，然后巧用柯西不等式.例6设是A8C内的点，X,.y,Z是P到三边.c的距离.R是A8C外接圆的半径，证明y+*+v总必+b-2°证：由柯西不等式得：4 +6+6=v+yfby+Jcy(i.x+by+c记S为ABC的面积，则av+by+cz=2S=2喋=嗡所以GGG修楞符端E7。11113.2.2在求变量的取值范围方面的应用首先两边平方化为我们熟悉的柯西不等式类型，然后进行计算。例7如果不等式7+J7W77,在和y取任何值的时候都成立，求%的取值范围.解：根据不等式得知，k0,可以将已知不等式进行变形F(2x+y)(«+正根据柯西不等式得牛+血巴旧.整理得22去2x+y)(J7+63777>7÷7,所以A的取值范用太当，也就是火w(f,+>)。3.2.3在解方程中的应用数学中有一些方程组直接解是非常复杂的，但是运用柯西不等式后就可以直接求出方程的解了。,，29例8在实数集内解方程组+z=4-8x+6y-24z=39解：由柯西不等式得：(xj+z2)(-8)2+62+(-24)±(-8x+6)，-24z)2,(x2+)尸+z2)(-8)2+6-+(-24)2=392.(xi+/+z2)(-8)2+62+(-24)1=(-8x+6y-24z)2.1.1.11xyz«.6918-86-241326133.2.4在最值方面的应用对于一些展开比较复杂的二元方程中，充分利用柯西不等式可以直接求解最小值。例9求实数X,>的值，使得U-1)'+(X+y-3尸+(2+y-6)?达到最小。解：ci.bG/?.«(>,-1)+.t+)-3)+c(2.v+y-6)为常数.即：S+2c)x+(+,+c)y+(-劭-6c)为常数，此时b=-2c,a=c可令C=】，而(I2+22+1.2)(y-1.)2+(3-y)2+(2x+y-6)2(y-1.)+2(3-x-y)+(2+v-6):=1叩：(y-1.)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2-.6当口仅当)，-1=上守=2乂+>、-6即*=乐)，=：时，等号成立。2263.2.5在空间一点到平面距离上的应用利用柯西不等式解决几何上难以用一股理论知识来求解的问题。例10求三维空间点P(x0,y,z°)到平面:Ar+By+C+D0的距离表达式。6J解：设P1(x1.,yt,1.)是平面a:A.r+y+Cz+D=0上一点，则Ar1+By1.+Cz1.+D=O.则IPq=y(xn-x1.f+(y<1-y1.)2+(z0-z1)2的最小值就是，到平面的距离。由柯西不等式,得：v'*+B2+C2Pt=y(x0-x1.)2+(y0-y1.)2+(zn-z1)2IA(Ao-XI)+(y1)-y1)+C(Z1)-Z1)|=|M+SV"+C。+。即也堪比色二0,仅当作，平面。时取等号即点PyQMZI)到-+b2+c2平面a:Ar+By+Cz+D=O的距离表达式是d=IAXU+'%+Cz0+D.A2+2+C2同理令z=O在利用柯西不等式时，可得点到直线Ax+小+。的距离IAz+By0+Dja=.=OA2+B24Jensen不等式4.1 JenSen不等式的基本定理与证明定理3(Jcnscn不等式)：假设/为区间/上的凸函数，对于Vie>00=1.,2,11)r-1.,有:I-IfU×t+?x?+÷.)<A)+1J(m)+>(xh)对于凹函数，上述不等式反向。特别地，诸4皆取1.就得：若/为区间/上的n凸函数，则对任意的xie=1.,2.,n都有2安.4空*Z等号当且仅当&=必=”=*时取到，凹函数亦反向。8证明：当=1时，故得证。假设=A时结论成立，当=八1时，令人=吆曳工丝如，则*1(IrrUS1)XJqIM.'>M。八：02k2k'-kC=JJ!W,于是kAA)=管了誓9Mgp+/(XZ)+*)1+:/(x*)+/(4)+，(4)+/j=Af(*)÷)+)+÷)+(-w所以/S言(/(Xi)+)+)+h)1当旦仅当电=必=X.时取等号，综合上述证明，对于一切>0meZ,结论是恒成立的。4.2Jensen不等式的应用4.2.Uensen不等式在概率中的应用利用JCnSCn不等式来证明概率中的相关结论。例I1.设/*)是凸函数，。是一个离散型随机变量，E表示数学期里，则有f(E)Ef().3证：设皆的分布列如下4X2PP1.P1.p其中诸P,>0,且E>=1,则/©有分布列I=I/«)/(&)/(-V2)gPP1P1.Pn于是，岁的数学期望埼=SpW，/(g)的数学期望£/"&)=S>J(R),根据JC1.1$Cn不等式知/(之化XjSP;/(XJ),即/(EG硕6)。I=I4.2.2利用Jensen不等式证明不等式在三角形中或衣还是在其他地方,只要有能用到JenSen不等式，都可以直接使用，并且可以直接证明出来。例12在ABC中,有：(1) sin+sin+sinC；2(2) cos-+cos-+cos-2222证：(1)设f(x)=sin.O<xv乃，则f"(x)=SinxV0,/(x)为(0.，)上的凹函数，由Jensen不等式得：A)+/(8)+/(C)3/(>±：±。).代入即sin+sinZf+sinC3sin-=:32(2)i(x)=cosx,0<x<y,则/(X)=-CosxvO,冢幻为(0,B)上的凹函数,由Jcnscn不等式得：g()+g(3+g(g)3身J).222OREJcos-+cos+cos<3cos-=。222624.2.3用Jensen不等式证明均值不等式如果用来证明一连申不等式的，可以先构造方程，然后运用JenSen不等式证明。例13设i>011=12,.n)则Ya1.atOn<f'M15产F：F证：设/（八）=InXf(x)=-1.>(),则f)U(+<x>)上为凸函数,由Jensen不等式得：“右二s心心"(就代人即得I,<Jai2*a:以及,(itz2)</(i)*()*aw)代人即得YaIa2二<"七：F设B(X)=X=g(x)=2>0,则g(r)为R上的凸函数,由JenSen不等式得9日止±9)型122电匕型出代入整理得心尸卜，丁34.2.4Jensen不等式在求函数的最值中的应用观察式子，构造函数和运用JenSen不等式的方法，两种方法结合，来求解题目中的最值间必。例14设,b,c,dG/T,且+Z>+c+d=,8028，求/+/+/+小的最小值.解：由于X)=/是(-oo+)上的凸函数，于是由JensCn不等式，有:Iz2心，f,、/«占O+c+d、，一(Cr+Zr+1÷*)(Y44.-.a2+fr2+c2+<2-(«+/>+<+J)2=-×8O28=2007,44故M/+C*+<户的最小值是2007,5结论本若陶行知思想，不等式不断推进和改革，教学也不断成熟化，文章主要围绕：种经典初等不等式的定理证明和应用来展开，虽然这.种经典初等不等式定理是确定的，但是它的应用具有较强的灵活性和技巧性，应用所涉及的知识面广，当然解题的方法也因题而异，对培养学生.思维的灵活性和深刻性有着重要的作用。参考文献1蔡玉书.战学奥林匹克不等式的证明方法和技巧(上)M.尔沆：哈尔加工业大学出板社，2011,(10):478-479.射价成.杨春波.看汉液.不等式探恬M.长沙：沏向科学技术出总社.2015.11.(09):174-177.3胡克.弱析不等式的若干问题M,大汉：大汉大学出板社，2007.3,(01):4-5.4卢迎春.曾庆逸.初抿均值不多式在教学解题中的应用J.中学教学参考.2018.(11):25-29.5罗仕明.李柳青.对“均值不等式的八种证法”再思考J.白城师范学院学报，2017,31(06)：47-53+60.6蔡浜新.柯西不寻式的推广与应用J.保山芋医学报.2013,32(05)：26-30.7熊鹦.例谈JenSen不等式的应J.成宇学睨学报，2007,(03):27-28.8刘飞茂.Jensen不等式及其立用J.云曲氏族学院学报.2003,(03):148-151.9左玉洪.切比官夫不多玄.及其应用IJ1.长百工业大学学报.2012,33(06)：712-71410又利民,成福伟.切比雪夫不等式应用几例J.承德民旗肝专学报,2008,(02):3-4.11黄M.¢0华强.轲西不等式的证叨及应用J.数学学习与研究，2018.(03):108-109.