人教版八年级上册 13.4 将军饮马模型浅解 讲义.docx

将军伙马问题将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题(轴对称是工具，最短距离是题眼).所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴时称。而的短距离是腿眼，也就意味若归类这类的睡口的理由。比如题目常常会出现线段a+b这样的条件或者问题。一旦出现可以快速联想到将军饮马问题，然后利用轴时称解题。将军饮马故事“将军饮马''问题是数学问题中的经典题目，主要转化成“两点之间线段最短问题”原题：如图，一位将军，从A地动身，骑马到河边给马饮水，然后再到B地，问怎样选择饮水的地点，才能使所走的路程水短?AB模型一，一条定直线，同例两定点在宜线1的同例有两点AtB,在1.上求一点P,使得PA+PB值小.殷做法：作点A(B)关于直线的对称点，连接A'B,A'B与直线交点即为所求点.A'B即为最短距离。理由：'为A的对称点，所以无论P在直线任何位置都能得到AP=A'P。所以PA+PB=PA'+PB。这样问题就化成了求A'到B的最短距离，干脆相连就可以了.例一：某供电部门打算在输电主干线1.上连接一个分支线路，分支点为M,同时向新落成的A、B两个居民小区送电。已知两个居民小区A、B分别到主干线的距离AA1.=2千米，BB1.=I千米,且A1.B1.=4千米。(1)假如居民小区A、B位于主干线1.的两旁，如图(1)所示，那么分支点M在什么地方时总路途及短？最短线路的长度是多少千米？(2)假如居民小区A、B位于主干线1.的同旁，如图(2)所示，那么分支点M在什么地方时总路途最短？此时分支点M与A1.的距离是多少T米？,AB'模型二：一条定直线，肯定点，一动点如图，已知直线1.和定点A,在直线K上找点B，在直线1.上找一点P,使得AP+PB值最小。做法：做A点关于1的对称点A'点，I再过A,点做AB垂直k于B点，交1于P点，此时AP+PB值最小。理由：对称后，AP=Ap点到直线k的一k最短距高为垂线段AB,故AP+PB的最小值为一2.aA'BYr模型三，肯定点，两条定直线yI如图,在NOAB内有一点OA和OBIa各找个点M、N,使得APMN周长最短(感眼儿一股做法：作点P关于OA和OB的对称点P1.、P20连接PIP2。P1P2与0A、OB的交点即为所求点,P1P2即为最短周长。pia理由：对称过后，PM=P1.M,PN=P2N。所以、/PM+PN+MN=P1.M÷P2N+MNo所以问题就化成了求P1.到P2的最短距离，干脆相连就可以/°模型四：两定点，两条定直线/7P如图，点P.Q为NMON内的两点，分别在0M,Z1.tON上做点A,B.是四边形PAQB的周长最小。一般做法：分别做P,Q点关于0M,ON的对称Y点P',Q',连接PQ,分别交0M,ON于A,B两点，p2此时四边形PAQB的周长最小，最小周长为PQ-PQ,理由：做完对称后，由对称性可知,PA=PA,QB=Q'B.P',A,B,Q.四点共线时，四边形PAQB的周长等于P*A+AB+Q>B+PQ=PQ+P'Q练习题：1.如图，点P是/AOB内一点，点M,N分别在()A,OB上运动，若A()B=30度，0P=4,则三角形周长的最小值为多少。2.如图，正方形ABCD的边长为8,M在DC上，且DM=2,N是AC上一动点,则DN+MN的最小值是多少？3.如图所示，在边长为6的菱形ABCD中，ZDAB=600,E为AB的中点，F是AC|)GP为Be上：点上动点，则EF+BF的最小值是多少？4.如图，A8C中，BC=4,过点P作PD/AB,交AC于【）。连结AP,问点P在BCM可处积最大？AEB