实验报告材料四线性方程组地求解-迭代.doc
实验项目名称 线性方程组的求解迭代法一. 实验目的和要求1 掌握Jacobi迭代方法，Gauss-Seidel迭代方法，SOR迭代方法的编程思想，能够分别用分量形式和矩阵形式编写相关程序。2 观察SOR迭代法中松弛因子变化情况对收敛的影响。3 了解Hilbert矩阵的病态性和作为线性方程组系数矩阵的收敛性。二. 实验内容和原理编程题2-1要求写出Matlab源程序(m文件)，并有适当的注释语句；分析应用题2-2，2-3，2-4要求将问题的分析过程、Matlab源程序和运行结果和结果的解释、算法的分析写在实验报告上。2-1 编程注释设 对下述求解线性方程组的Matlab程序添上注释语句，其中和分别为线性方程组的系数矩阵和右端向量；为迭代初始向量；为容许迭代最大次数，为迭代终止条件的精度(容许误差)，终止条件为前后两次迭代解的差的向量2-X数。1） Jacobi迭代：2） Gauss-Seidel迭代：GaussSeidelmethod(A,b,x0,Nmax,eps)3） 松弛迭代：SORmethod(A,b,x0,Nmax,eps,w)2-2 分析应用题利用2-1中的程序来分析用如下迭代法解线性方程组：的收敛性，并求出使的近似解与相应的迭代次数，其中取迭代初始向量为零向量。1Jacobi迭代法；2Gauss-Seidel迭代法；3松弛迭代法松弛因子依次取1.334，1.95，0.95。2-3 分析应用题考虑方程组，其中系数矩阵为Hilbert矩阵，选择问题的维数分别为2、3、5、10，并通过首先给定解再定出右端的方法确定问题，解的给定可以使用函数定义，并取迭代初始向量为零向量，迭代误差为，编写程序：其中n为Hilbert矩阵的维数，分别构造求解该问题的Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代，看它们是否收敛。2-4 分析应用题解线性方程组的解向量，取，其中为任一非零的六元向量；编写程序输出结果：认真观察之，能发现什么有趣的现象？【MATLAB相关函数】n 提取(产生)对角阵v=diag(x)假如输入向量x，如此输出v是以x为对角元素的对角阵；假如输入矩阵x，如此输出v是x的对角元素构成的向量v=diag(diag(x)输入矩阵x，输出v是x的对角元素构成的对角阵，可用于迭代法中从A中提取D。n 提取(产生)上(下)三角阵v=triu(x)输入矩阵x，输出v是x的上三角阵；v=tril(x)输入矩阵x，输出v是x的下三角阵；v=triu(x,1)输入矩阵x，输出v是x的上三角阵，但对角元素为0，可用于迭代法中从A中提取U。v=tril(x,-1)输入矩阵x，输出v是x的下三角阵，但对角元素为0，可用于迭代法中从A中提取L。n 矩阵特征值b=eig(A)输入矩阵A，输出b是A的所有特征值。n X数n=norm(x)输入x为向量或矩阵，输出为x的2X数；n=norm(x,p)输入x为向量或矩阵，当p=1, inf时分别输出为x的1，无穷X数；n Hilbert矩阵h=hilb(n)输出h为n阶Hilbert矩阵三. 操作方法与实验步骤包括实验数据记录和处理2-1 编程注释设 对下述求解线性方程组的Matlab程序添上注释语句，其中和分别为线性方程组的系数矩阵和右端向量；为迭代初始向量；为容许迭代最大次数，为迭代终止条件的精度(容许误差)，终止条件为前后两次迭代解的差的向量2-X数。1Jacobi迭代：function X = Jacobimethod( A,b,X0,P,Nmax,eps)%A和b分别为线性方程组的系数矩阵和右端向量；x0为迭代初始向量X0；Nmax为容许迭代最大%次数，eps为迭代终止条件的精度(容许误差)，终止条件为前后两次迭代解的差的向量2-X数%P=1，2，inf或fro.%输出的量：系数矩阵的的值和有关雅可比迭代收敛性的相关信息与AX=b的准确解jX和近似解X n m=size(A);for j=1:m a(j)=sum(abs(A(:,j)-2*(abs(A(j,j);endfor i=1:nif a(i)>=0 disp('请注意：系数矩阵A不是严格对角占优的，此雅可比迭代不一定收敛')returnendendif a(i)<0 disp('请注意：系数矩阵A是严格对角占优的，此方程组由唯一解，且雅可比迭代收敛')endfor k=1:Nmax kfor j=1:m X(j)=(b(j)-A(j,1:j-1,j+1:m)*X0(1:j-1,j+1:m)/A(j,j);end X,djwcX=norm(X'-X0,P); xdwcX=djwcX/(norm(X',P)+eps); X0=X' X1=Ab;if (djwcX<eps)&&(xdwcX<eps) disp('请注意：雅可比迭代收敛，此方程的准确解jX和近似解X如下：')returnendendif (djwcX>eps)&&(xdwcX>eps) disp('请注意：雅可比迭代次数已经超过最大迭代次数Nmax')enda,X=X;jX=X1',end2Gauss-Seidel迭代：GaussSeidelmethod(A,b,x0,Nmax,eps)function x = GaussSeidelmethod( A,b,x0,P,Nmax,wucha )%输入的量：线性方程组AX=b的系数矩阵A和b，初始向量x0，X数的名称P=1，2，inf或'fro.'，% 近似解x的误差精度wucha和迭代的最大次数Nmax。%输出的量：以系数矩阵的对角元构成对角矩阵D、A的上三角形矩阵U，但对角% 元为0、A的下三角矩阵L，但对角元为0和有关高斯-赛德尔迭代收敛性的相关信息与其AX=b% 的准确解jx和近似解x。D=diag(diag(A);U=-triu(A,1);L=-tril(A,-1);dD=det(D);if dD=0 disp('请注意：因为对角矩阵D奇异，所以此方程组无解.')else disp('请注意：因为对角矩阵D非奇异，所以此方程组有解.') iD=inv(D-L);B2=iD*U;f2=iD*b;jx=Ab; x=x0;n m=size(A);for k=1:Nmax x1=B2*x+f2;djwcx=norm(x1-x,P); xdwcx=djwcx/(norm(x,P)+eps);if (djwcx<wucha)|(xdwcx<wucha)returnelse k;x1'k=k+1;x=x1;endendif (djwcx<wucha)|(xdwcx<wucha) disp('请注意：高斯-赛德尔迭代收敛，此A的分解矩阵D，U,L和方程组的准确解jx和近似解如下：')else disp('请注意：高斯-赛德尔迭代的结果没有达到给定的精度，并且迭代次数已经超过最大迭代次数Nmax，方程组的准确解jx和迭代向量x如下：') x=x'jx=jx'endendx=x'D,U,L,jx=jx'3松弛迭代：SORmethod(A,b,x0,Nmax,eps,w)function x = SORmethod( A,b,x,Nmax,wucha,w )%输入的量：线性方程组AX=b的系数矩阵A和b，初始向量x，X数名称P=1，2，inf，或'fro.'，% 松弛因子w，近似解x的误差精度wucha和迭代的最大次数Nmax。% 输出的量：谱半径mH，以系数矩阵A的对角元构成的对角矩阵D、A的上三角矩阵U，但对角% 元为0、A的下三角矩阵L，但对角元为0，迭代次数i，有关超松弛迭代收敛性的相关信息% 与其AX=b的准确解jx和近似解x。D=diag(diag(A);U=-triu(A,1);L=-tril(A,-1);jx=Ab;n m=size(A);iD=inv(D-w*L);B2=iD*(w*U+(1-w)*D);H=eig(B2);mH=norm(H,inf);for k=1:Nmax iD=inv(D-w*L);B2=iD*(w*U+(1-w)*D); f2=w*iD*b;x1=B2*x+f2; x=x1;djwcx=norm(x1-jx,inf);xdwcx=djwcx/(norm(x,inf)+eps);if (djwcx<wucha)|(xdwcx<wucha) disp('谱半径mH,A的分解矩阵D,U,L和方程组的准确解jx，迭代次数i如下：') mH,D,U,L,jx=jx',i=k-1,returnif i>Nmax disp('迭代次数已经超过最大迭代次数Nmax，谱半径mH，方程组的准确解jx，迭代次数i如下：') mH,D,U,L,jx=jx',i=k-1,endendendif mH>=1 disp('请注意：因为谱半径不小于1，所以超松弛迭代序列发散.') disp('谱半径mH，A的分解矩阵D,U,L和方程组的准确解jx，迭代次数i和迭代序列x如下：') i=k-1,mH,D,U,L,jx,else disp('因为谱半径小于1，所以超松弛迭代序列收敛，近似解x如下：')end2-2分析应用题利用2-1中的程序来分析用如下迭代法解线性方程组：的收敛性，并求出使的近似解与相应的迭代次数，其中取迭代初始向量为零向量。1Jacobi迭代法；2Gauss-Seidel迭代法；3松弛迭代法松弛因子依次取1.334，1.95，0.95。解：1>> A=4 -1 0 -1 0 0;-1 4 -1 0 -1 0;0 -1 4 -1 0 -1;-1 0 -1 4 -1 0;0 -1 0 -1 4 -1;0 0 -1 0 -1 4;b=0;5;-2;5;-2;6;X0=0 0 0 0 0 0'X=Jacobimethod( A,b,X0,inf,0.0001,100)请注意：系数矩阵A是严格对角占优的，此方程组有唯一解，且雅可比迭代收敛k = 1X =k = 2X =k = 3X =k = 4X =k = 5X =k = 6X =k = 7X =k = 8X =k = 9X =k = 10X =k = 11X =k = 12X =k = 13X =k = 14X =k = 15X =k = 16X =k = 17X =k = 18X =k = 19X =k = 20X =k = 21X =k = 22X =k = 23X =k = 24X =k = 25X =k = 26X =k = 27X =请注意：雅可比迭代收敛，此方程组的准确解jx和近似解x如下：X =2)>> A=4 -1 0 -1 0 0;-1 4 -1 0 -1 0;0 -1 4 -1 0 -1;-1 0 -1 4 -1 0;0 -1 0 -1 4 -1;0 0 -1 0 -1 4;b=0;5;-2;5;-2;6;x0=0 0 0 0 0 0'x=GaussSeidelmethod( A,b,x0,inf,100,0.0001 )请注意：因为对角矩阵D非奇异，所以此方程组有解.k = 1ans =k = 2ans =k = 3ans =k = 4ans =k = 5ans =k = 6ans =k = 7ans =k = 8ans =k = 9ans =k = 10ans =k = 11ans =k = 12ans =k = 13ans =x =3)当w=1.334：A=4 -1 0 -1 0 0;-1 4 -1 0 -1 0;0 -1 4 -1 0 -1;-1 0 -1 4 -1 0;0 -1 0 -1 4 -1;0 0 -1 0 -1 4;b=0;5;-2;5;-2;6;x0=0 0 0 0 0 0'x=SORmethod( A,b,x,100,0.0001,1.334 )谱半径mH,A的分解矩阵D,U,L和方程组的准确解jx，迭代次数i如下：mH =D = 4 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 4U = 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0L = 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0jx =i = 0x =当w=1.95：>> A=4 -1 0 -1 0 0;-1 4 -1 0 -1 0;0 -1 4 -1 0 -1;-1 0 -1 4 -1 0;0 -1 0 -1 4 -1;0 0 -1 0 -1 4;b=0;5;-2;5;-2;6;x0=0 0 0 0 0 0'x=SORmethod( A,b,x,100,0.0001,1.95 )谱半径mH,A的分解矩阵D,U,L和方程组的准确解jx，迭代次数i如下：mH =D = 4 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 4U = 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0L = 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0jx =i = 0x =当w=0.95：>> A=4 -1 0 -1 0 0;-1 4 -1 0 -1 0;0 -1 4 -1 0 -1;-1 0 -1 4 -1 0;0 -1 0 -1 4 -1;0 0 -1 0 -1 4;b=0;5;-2;5;-2;6;x0=0 0 0 0 0 0'x=SORmethod( A,b,x,100,0.0001,0.95 )谱半径mH,A的分解矩阵D,U,L和方程组的准确解jx，迭代次数i如下：mH =D = 4 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 4U = 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0L = 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0jx =i = 0x =2-3分析应用题考虑方程组，其中系数矩阵为Hilbert矩阵，选择问题的维数分别为2、3、5、10，并通过首先给定解再定出右端的方法确定问题，解的给定可以使用函数定义，并取迭代初始向量为零向量，迭代误差为，编写程序：其中n为Hilbert矩阵的维数，分别构造求解该问题的Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代，看它们是否收敛。2-4分析应用题解线性方程组的解向量，取，其中为任一非零的六元向量；编写程序输出结果：认真观察之，能发现什么有趣的现象？四. 实验结果与分析
