考点31 直接证明与间接证明.docx
考点31直接证明与间接证明一、选择题1. （2014山东高考理科T4）用反证法证明命题：“己知,6为实数，则方程V+仆+b=O至少有一个实根”时，要做的假设是（A,方程./+"+/,=0没有实根.B、方程F+ar+8=。至多有一个实根.Cs方程/+仆+/，=0至多有两个实根.D、方程.d+r+"=0恰好有两个实根.【解题指南】本题考查了反证法，从问题的反面出发进行假设.一元二次方程根的个数为0.1.2.因此至少有个实根包含1根或两根，它的反面为0根.【解析】选A.“己知为实数，则方程/+&+=0至少有个实根”的反而是“方程/+心+=0没有实根.”故选A.2. （2014山东高考文科T4）与（2014山东高考理科T4）相同用反证法证明命题：“己知.b为实数，则方程/+r+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）,方程/+心+/，=0没有实根.B、方程/+依+=0至多有一个实根.C、方程/+心+/，=。至多有两个实根.D、方程.d+r+A=O恰好有两个实根.【解题指南】本题考查了反证法，从问题的反面出发进行假设.一元二次方程根的个数为0.1,2.因此至少有个实根包含1根或两根，它的反面为0根.【解析】选A.“己知”为实数，则方程V+t+=0至少有个实根”的反面是“方程/+r+,=0没有实根.”故选A.二、解答题3. （2013北京高考理科T20）已知“”是由非负整数组成的无穷数歹力该数列前项的最大值记为人“，第项之后各项“7,%.2的最小值记为Brtfd11-A11Bn.(1)若m为2,1,4,3,2,1,4,3，是一个周期为4的数列(即对任意WH,写出”I，12，小，心的值：(2)设d为非负整数，证明:a=-d(f1.=1.,2,3)的充分必要条件为为为公差为d的等差数列：(3)证明:若=2,a=1(=1,2,3-),则。的项只能是1或2,且有无穷多项为1【解题指南】(1)根据&的定义求.(2)充分性：先证明a,J是不减数列，再利用定义求d1,:必要性：先证明SJ是不减数列，再利用定义证明等差.(3)可通过取特殊值和反证法进行证明.【解析】(1)4=A-4=2-=,W=A-R=2-=,J,=Ax-B,=4-1=3,4=AI-8,=4-1=3。(2)充分性：若(叫为公差为4的等差数列，则为,+(“-I*因为“是非负整数，所以(j是常数列或递增数列.所t¼,=a1.,=at+(n-1.)J»-a.1.=+nd,所以4=A,-B*=d(n=1.,2,3,).必要性：若%.=-</(=123,)，假设6是第一个使得<0的项，则a1.aiat_ji.1.>at,所以t=a*_”Biat,所以d、=At-B,=&_1_Bak1x>0，这与da=d0矛盾.所以0,是不减数列.所以4,=An-纥=a*-=-d'即H=d'所以也是公差为d的等差数列.（3）首先MJ中的项不能是0,否则4=4-0=2,与已知矛盾.以）中的项不能超过2,用反证法证明如下：若UU中有超过2的项，设可是第一个大于2的项，4,中一定存在项为1，否则与4=1矛盾.当“时，an2,否则与4=1矛盾.因此存在最大的i在2到kT之间，使得q=1.,此时4=4-g=2-8,42-2=0,矛盾.综上6,中没有超过2的项.综合，中的项只能是1或2.下面证明】有无数个，用反证法证明如下：若为最后一个1，则4=A-8,=2-2=0,矛盾.因此1有无数个.4. （2013北京高考文科T20）给定数列a”a?,，a.对i=1.,2,n-1»该数列前1项的最大值记为Ai,后n-i项ai.,a,.2,at,的最小值记为B“d,=1-B1.（1）设数列W为3,4,7,1,写出d”d2,心的值.（2）设a,a2,，an（n>4）是公比大于1的等比数列，且a>0.证明：d"d”de是等比数列。（3）设山，d2,CU是公差大于0的等差数列，且d>0,证明：a1,a2,an-是等差数列。【解题指南】利用的公式,求d1,d2,d3的值.(2)先求出&的通项，再利用等比数列的定义证明dJ是等比数列.(3)先证明an是单调递增数列，再证明即是数列aj的最小项，最后证明W是等差数列.【解析】(1)4=A-4=3-1=2,J,=-B,=4-I=3,4=%-风=7-1=6。(2)由壮4)是公比大于1的等比数列，且a>0,可得k的通项为外=4«2且为单调递增数列。于是当A=2,3,”1时，%=.怨、-叫,=q为定值。九%-可“q_%q-因此d,山，一&1构成首项4=4-生，公比q的等比数列。(3)若d,d2,，d,是公差大于0的等差数列，则0<d1.<d2<<d11,1,先证明a1.,a2,，an.,是单调递增数列，否则，设区是第一个使得akak.1成立的项，则Ak=At,BhWBh因此CkT=AkB-2Ak-Bh=dk,矛盾.因此a,az,，a,是单调递增数列.再证明a11为数列aj中的最小项，否则设ak<aKk=1.,2,，nT),显然k1,否则d1=A1-B1=a1-B1.a-a1=O,与di>0矛盾.因而k22,此时考虑dk-=Ak-B1.1.=a1.-ak<O,矛盾.因此,4为数列4中的另小项.dt=AkB,=at-an(k=1.2.n-1.),于是ak=dk+an,从而，a-是等差数列.
