13-2专题7.1 复数的概念【七大题型】）公开课教案教学设计课件资料.docx

专题7.1复数的概念【七大题型】【人被A版<2019)【题型1复数的分类及辨析】2【即型2根据更数的相等条件未参数】3题型3复数的几何意义】6即型4复数的向量表示】7【帔型5共轨发救的求解】9即型6亚数的模的计算】IO【SS型7更数的模的几何意义】11，举一反三【知识点I敷系的犷充和便敷的IK念】1.数系的扩充与复数的相关播念(I)史数的引入为了解决/+1=0这样的方程在实数系中无解的同魄，我们引入一个新数i,规定：F=I,则是方程M+1=0的根：实数可以和数i迸行加法和柒法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立.在此规定下，实数与i相加.结果记作+i:实数与i相乘.结果记作员：实数”与加相加,结果记作“+历,注意到所有实数以及i都可以写成“历(“力WR)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中.(2)发数的概会我们把形如“+加3力CR)的数叫做蛀数，M1I1i叫做虚数瑕位.全体更数构成的集合C=(+>i力CR叫做货数集.这样，方程M+1.=0在更数集C中就有解x=i了.(3)电数的表示史故通常用字母二表示，即二=+E力GR).以后不作特殊说明时，女数Ao+历都有,eR.其中的“与h分别叫做复数：的实部与虚部.(4)班数的分类对于更数。+历,当且仅当加O时，它是实数：当且仅当”;k0时,它是实数0：当尻()时,它叫做虚数：当“=0且MO时，它叫做纯虚数.显然.实数集R是复数集C的真子集.即R争C更数+历可以分类如下：.A实数M=O)zI虚数(A0)(当=0时为纯虚数)复数«1、实数集、虚数集、纯虚数维之间的关系，可用图丧示.2.复数相等在&数集C="+加MR)中任取两个数“+历，<+di(Ae<eR),我们规定；“+柝与c+rfi相等当且仅当=cRb=d,即当且仅当两个发数的实部与实都相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等.Cf1.fi1.复数的分类及辨析】【例I】(2023高一课前预习)在2+7,抖8+5i.(1-3)i,0.618这五个数中，绳虚数的个数为()A.0B.IC.2D.3【解髓思路】根据狂数的定义,M数的分类判断.【解答过程】(1-75万是纯虚数,2+疗.0.618是实数,8+Si是虚数.故纯虚数的个数为2.故选：C.【变式皿】2023全国高一专胭练习)下列关于我数x+i的说法一定正确的是(>A.是虚数B.存在X使得x+i是纯虚数C.不是实数D.实部和虚部均为I【解题思路】根据曳数的定义、复数的分类,逐项判断即可.【解答过程】由复数x+1.当X=T时，x+i=0为实数，故A、C不正确；当X=O时.X+i=i,故B正确：由于X的取值未知.故D惜误：故选：B.【变式1-2(2023下高-课时练习下列四种说法正确的是(>A.如果实数=b,那么。一5+(<1+8)1是纯湿数.B.实效是现数.C.如果=0.那么z=+bi是纯虚数.D.任何数的倡教次鹏都不小于零.【解也思路】根据红数的概念及分类，逐项判定.即可看求解.【解答过程】对于A中,a=b=O.那么。-6+(<1+b)1=0丸所以人错误：对于B中,由复数的概念.M得实数是复数.所吸B正确:对FC中，若=O1.ife=。时，ti8z=+bi=0R,所以C不正确；对于D中，由虚数单位产=-3可得D惜误.故选：B.【变式1-3】(2023下湖南长沙<一校考阶段练习)已知i为虚数单位，下列说法正确的是()A.若/+1=0,则X=IB.实部为零的发数是纯康数C.Z=(*2+1»可能是实数D.复数z=2+1的虚部是I【衅时思路】根抠复数的概念即可求解.【好答过程】Ax=±i,说法不正确：B.实部为零的父数可能虚部也为零,从而是实数.说法不正确：C当X=I时，Z=GZ+1»是实数,说法正确:D.发数Z=2+i的虚部是1.说法不正确.故选：C.【型2IUR震数的相等条件求IHn【例2】(2023全国校联考模拟预测)己知XG-9=1.-yi.其中X，F是实数，i毡虚数单位，则x-y()A.IB.2C.3D.4【解也思路】由史数相等的条件列方程组求解出XJ,从而可求出*-y的值.【好答过程】由遨或Ag-3=1.-yi,所以x-y=1.故选：A.【变式2-1】2023下全Bb高一专题练习)已知,bWR,H.a1+0=3+2/,则b=(>A-IB.IC.2D-4【解磔思路】利用复数相等列方程组，由此求得立【解答过程】由于a-1+i=3+2bi,所以-；3=：二V11=26<6=2故选：C.【变式2-2(2023全国高一专题练习)若Z=-3-4t',z2=(n2-3m-1)÷(n2-m-6)i(m,nR).且Z=Z2则m+n=A.4或OB.3或OC.2或OD.-2或O【解题思路】由复数M1.等的充要条件可得M-3m-1=-3且M-m-6=-4,再求解即可.【解答过程】W:E1.1.Z1=Z2,Wn2-3m-1=-3.且M-m-6=-4.解得m=2.n=±2.所以m+n=4或m+n=0.故选：A.【变式2-3】(2023下山西阳泉高一统考期末)已知发数Z=m+(4m2)i,zz=2coW+J+3sin)i,(m,eR),¾三¾.贝以的取值范阚是()a-11.b-7C.-.+o>)D-11.71【辞即思路】利用复数相等可褥和三用函数的平方关系可犯1=4(sin"再极据正弦函数的取值范国与二次函数的性侦可得义的取优范围.【解答过程】M数Z1.=m+(4-m2)i,z2=2cos0+(久+3sinO)1.(mff0R).I1.Z1.=Z2所以,m=2cos则入=4一<kos20-3sin=4sin20-3sin=4(sin0-jV-<4-m2=A+3sn«/因为OeR,所以S1.nOW-1,1,当Smg=*%mu,=-当A=-I时，k=7所以人的取值他围是卜2,7.故选：B.r知火点2复敷的几何意义】1.复数的几何意义处平面对应对应根据或数相等的定义,可得更数z=a+历<>有序实数对36).而有序实数对(必<>平面I1.处坐标系中的点，所以我数集与平面H角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.如图所示.点Z的横坐标是”.纵坐标是从更数+历可用点Z(4)表示,这个建立了比角坐标系先表示复数的平面叫做更平面，轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.（虚轴）b除原点外,虚轴上的点都e表示纯虚数rZz÷i（实轴）实物上的点痛及示实数（2）女数的几何意义与点对应由上可知.每一个复数,有复平面内唯一的一个点和它对应：反过来,亚平面内的每一个点,有唯一的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的即复数三=+>i<>复平面内的点zb,这是双数的一种几何意义.（3）亚数的几何意义与向段对应在平面直角坐标系中，辟一个平面向地都Ur以用一个有序实数时来表示，而有序实数对与奴数是一一对应的.这样就可以用平面向量来表示出数.如图所示，设IX平面内的点Z表示双数二="+历，连接OZ,显然向埴"Z由点ZMt确定；反过来，点Z（相对于原点来说）也可以由向依QZ唯确定.因此,红数集C中的数与能平面内以原点为起点的向fit是-一对应的（实数0与零向Ift对应）,即复数aa+历而应T<>平面向衣OZ这是复数的另一种几何意义.向麻OZ的模r叫做女数+新的模或绝对值，记作闭或s+>i.如果=0，就么z=+>i是一个实数“，它的模等于划（就是a的绝对值）.由模的定义可知，z=+W三+P（r>0,reR）.3.共第复数（I）定义一般地，当两个女数的实部相等，墟都互为相反数时，这这两个如数叫做互为共规或数.虚都不等于0的两个共蜿复数也复数2的共挖复效用£表示,即若三三0+加,则二=Q阮特别地，实数”的共挽笈数仍是"本身.（2）几何意义互为共流肛数的两个复数在复平面内所时应的点关于实轴对称（如图）.特别地,实数和它的共柜发数在复平面内所对应的点重合,且在实轴匕-b4Z2ta-bi性质削.实数的共轼红数是它本身，WJz=EozWR.利用这个性质可证明一个更数为实数.4.现数的模的几何意义红数”+历S.GR的模IZI就是笈数="从在复平面内对应的点Z3M到坐标原点的印离.这是笈数的模的几何意义.2)发数-在双平面内对应的点为Z,r表示一个大于0的常数，则满足条件z=r的点Z纲成的集合是以胤点为圆心，为半径的阅，旧表示圆的内部，因表示圆的外部.SS3复数的几何怠义】1例32023上山西高二统考学业考试)在复平面内，表示现数Z=1T的点所在的象限是)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解密出路】狂致z=1.-i在我平面内时应的点为(1,-1),得到答案.【解答过程】复数Z=1-i在我平面内时应的点为(1,一1),该点所在象限为第四象限.故选：D.【变式3-12023匕宁夏吴忠高三吴忠中学校考阶段练习)在复平而内.爱数Z和(2-i)i表示的点关于虚轴对称，则复数：=(A.1+21B.-1+21C.-1-2iD.1-21【解题思路】根据复数的几何意义求解即可.【解答过程】由题意可得(2-i)i=2i-i2=2i+1对应的点为(1,2),该点关于正轴对称的点为(-1,2),所以或数Z对应的点为所以Z=-I+2i.故选：B.变式3-2】2023上黑龙江,高二统考学业考试)ft!?.生平面内点P所表示的IX数为(每个小方格的边长为1)()A. 2+21B. 3+iC. 3+3iD. 3+2i【解憩出珞】根据数的坐标去示分析判断.【好答过程】由庵意可知:点P的坐标为(3,2),所以史平面内点P所表示的发数为3+21.故选：D.【变式3-3)(2023河南郑州统考模拟预测已知Z=(1+i)m+(3-1)在复平面内对应的点位于第四次限,则实数m的取值范围是()A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1.,+)D.(-,-3)【解也思路】根据已知条件，结合更数的几何意义得出对应点的坐标,即可求出实数m的IU值范围.【解答过程】耨Z=(1+i)m+(3-i)能理化简可得Z=m+3+(m-1.)i.所以或数/在更平面内对应的点坐标为On+3,m-1.).由点位于第四象眼可御二J.解得一3<m<1.所以实效m的取信范It1.是(-3,1).故选：A.【题型4复数的向表示】【例4】<2023下.高一课时练习)向量芯=(2,-3)对应的复数为()A.2-3iB.2+3iC.3+2iD.-3-Zi【解题思路】由St数的几何意义即可郎解.【解答过程】由复数的几柯意义知:星F=(2,-3)对应的复数为231.故选：A.【变式4/】(2023下河北张家口高一校考阶段练习)已知我数Z1.=I-i,Zz=-1.+2i(i为虑数单位在复平面内对应的点分别为48.将向量瓦着点。(。为更平面内的原点)逆时针旋转90,得到向盘历.则历+而对应的复数为()A.-1+2iB.21C.31D.1.-2i【解题思路】依送意可得4(1,-1),B(T,2).t元与闻B万？=(1,T)关于X轴对称.即可求出炉的坐标,从而求出况+而.再写出其对应的更数即可.【解答过程】依题息可得A(1.,-D(-1.,2),OB=(-1,2).由图知，向R优与向埔丽=(1.-1)关于X轴对称，：瓦=(1/)，OC+OB=(1.r1.)+(-1,2)=(0,3).所以而+冠对枝的史数为3i.故选：C.【变式4-2】20”下高俅时练习)在发平面内.。是原点,向盘函对应的复数为5+3i.砺与赤关于y轴对称，则点B财应的更数是()A.5-3iB.-5-3iC.5+3iD.-5+3i【解也思路】由对称性结合红数的几何意义得出点B对应的更数.【解答过程】设向景而对应的复数为+bUa.b),对应复平面的坐标为(a,b).闪为向IR而时应的亚数为5+3i,所以万?时应复平面的坐标为(5.3).因为而与而关于y轴对称，所以=-5,b=3.即向我而对应的复数为-5+3i.因为点O为坐标原点,所以点8对应的曳数是-5+3i.故选：D.【变式4.3】(2023北京东城统考：模在更平面内，。是原点，向北次对应的庭数是-1.+i,将次绕点。按逆时针方向旋转；，则所得向限时应的复数为()A.-V2B.-2C.-1D.-I【解题思路】由级数的几何息义站合图象可得.如图,由题意可知次=（T,D亚与X轴夹角为:n.绕点。逆时针方向旋猊后Z到达X轴上Z1.点，乂I西I=pz=2.所以Z1.的坐标为（-,0），所以两时应的女数为-故选：A.«95共IB1.Uft的求解】【例5】（2023上北京南仪高三校考期中）在兔平面内,Z对应的点的坐标是（1,5）,则Z的共施攵数方=（A.1+3iB.1.-3iC.-1.+5iD.-1-3i怦即思路先根据我数的几何慰义写出U数Z：再根据共柜复数的定义即可得出结果.【解答过程】因为tfz对应的点的坐标是,5）.所以Z=1.+5i,则，=1-3i.放选：B.【变式5”】2023上广东江口高：校考阶段练习）设,bR,i是虚数单位，若发数+i与-1+M互为柒轨史数，则实数更数.b的值为（）A.Q=-1,b=1B.a1,b=-1C.=1.A=ID.=b=-1【解牌出路】由共筑更数的概念也接求解即可.【解答过程】因为更数+i与-1.+bi互为共施立数.所以二卜故选：B.【变式52】2023下新疆喀什高一统考期末）设复数z=3-4i,则Z的共挽复数的模为（）A.7B.IC.5D.25蚱即思珞根据共较发数的定义汨出Z的共槌更敬,即可根抠复数的慢的求法得出答案.【解答过程】Uftz=3-4i的共观立数为7=3+4i.则其模闾=32+42=5.故选：C.变式5*3】2023下湖南长沙,高二校考期中）在近4式C。中，点A,8,C分别对应复数4+1,3+41.3-53则点。对应笈数的共转复数是<>A.2-3iB.4+8i4-8iD.1+4i解题电路】利用复数的几何意义及平行四边形的性质H第即可一【蟀铮过程】用题立可得A（4J）,8（3,4）,C（3,T）.设由43C。的对地线的交点为MaM,3），点。的坐标为（x，y），'_4+3_3tX由中点坐标公式得"mWnyxj-Vm-2所以点0（48）,即点。对应的兔数为Z=4-8i.故其共规M数N=4+8i.故选：B.SS6震数的模的计算】【例6】2023匕浙江绍兴高三校考阶段练习）已知亚数z=1.+2i（i为虚数单位）.则IZ1.=（）A.IB.4C.3D.5【解曲思路】根据复数的模氏公式直接求蚱即可.【解答过程】由题息可得：IZ1.=I7T=5.故选：D.【变式6-11（2023下,河南高三校联考阶段练习）设复数Z在复平面内对应的点为（0,）,若=2,则=<）A. 2iB.iC.±2D.!2【解腮出路】根据发散的几何意义可得z=i,再根据史数的模即可求解.【裤答过程】因为复数2在复平面内对应的点为（0,）,所以z=i.因为闺=2,所以存=2,解得=±2.故选:C【变式62（2023下北京大兴高一统考期末）已知在攵平面内复数2对应的点的坐标为（一3.4）,则因=<）B. 4C. 5D.42【解题思路】根据我故的几何意义得出发数z,再根据M数的快的计算公式即可得价.【解答过程】因为在发平面内发数:对应的点的坐标为(-3,4),所以Z=-3+4i.z=9+16=S.故选，C.【变式6-3(2023高一课时练习在复平面内,里数z=2-mi(mWR)对应的点位于第四象限，且团=4,WJm=(>A.-23B.43C.2D.23【群四思路】根檀氏公式求徨m=±2b,又史数二所月应的点位于第四望取.则m>0,即可求解【蚱答过程】由复数的统的定义及z=4,用=4解褥m=±25又在复平面内，或数Z所对应的点位于第四象限，m>O.*.m=2V5.故选：D.«97复数的模的几何意义】【例7】2023全国高一专电练习)已知复数Z满足z+221|=2,且双数Z在复平面内的对应点为M.(I)确定点M的集合构成图形的形状：(2)求IZ-1+2”的堆大值和最小值.【解曲思路】(I)根据或数模的几何意义确定点M的集合打成图形的形状.<2)根据发数模的几何意义，结合【堀的几何性政求掰正确答案.【解答过程】(I)设复数-2+2i在复平胤内的对应点为P(-2N).则IZ+2-2i=z-(-2+2i)=IMP1.=2.故点M的集合是以点P为BI心,2为半径的圆,如下图所示.<2)设复数I-21在复平面内的对应点为QQ,-2),则IZ-1+2i=IMQMU下图所示,IPQ1.=«1+2)2+(-2-2)2=5.M>1.z-1+2i的最大值即IMQ1.的最大值是IPQ1.+2=7：z-1.+21|的最小值即IMQ1.的最小值是>Q-2=3.【变式7-1】2022下高-课时练习已知复数Zi=2+i,Z2=|a|+(b?+3b-3)i：(I)若Z=Zz求实数,6的(ft：(2)若女数z=x+yi(x,yeR),F1.湎足IZ-Z1.1.=1,求”数Z在复平面内所对应的点(x,y)到(一2,4)的距离的最大值.【解题思路】(1)根据亚数相等即可求解:<2)先畸定”数Z在我平面内所时应的点的轨迹，再数形结合即可求解.【解答过程】(I)因为Zj=Zx所以,由Ia1.=2解得+2.I1.1.h2+3b-3=I,(b+4)(b-1)=。解得b=-4或b=1.故实数的值为±2.实数b的值为b=-4b=1.(2)因为IZ-Zj=1.所以(x-2)+(y-1.)i=1.Wtt(x-2)2+(y-1.)2=1.即如数2在攵平:面内所时应的点Z(x,y)的轨迹是以A(Z1.)为WI心，半在r=1的睡,如图所示：所以数Z在M平面内所对应的点y)到P(-2.4)的拒离的Ai值为P1.+r=(2+2)z+(1.-4)z+1=6.【变式7-2】2023卜广东江门高一校考阶段练习)若z=x+yi(x,yR),I为止数单位,在复平面内Z所对应的点为Z,且z+2-2i=1.,<1)求满足上述条件的点Z的集合是什么图形并I1.求该图形的方程；(2)Iz-2-2"的最小值.【好跑思路】“)由复数的几何意义可褥复数Z对应的点Z在以Zo=-2+2i对应的点ZO为上心，I为半号的网匕从而可写出其方程.<2)由复数的几何点Z".Rz-Z-ZiI&示Z点到2+2网应的点4的啕其兄小值是IAZoI-I【解答过程】(1)由z+2-21=1得z-(-2+21)=1.因此M数Z对应的点Z在以Zo=-2+2i对应的点ZO为EQ心，I为半径的网上，方程为：(x+2)2+(y-2)2=1如图所示.(2) tty=z-2-2i,则y是Z点到2+2i对应的点4的距离.又MZO1.=4.二由图知nin=MZoI-I=3.【变式7-3(2023下广东东莞高一统考期末)设复数z=x+yi,=x0+y0i,记复数Z与ZO分别对应复平面内的点Zay)和ZOa6y1.>).<1)根据更数及其运算的几何意义，求Z和根两点间的距离;<2)己知IZ-ZO1.=r”为正实数)表示动点Z的集合是以点Zo为圆心，r为半径的IR1.那么满足条件1<z-(1+i)<3的点Z的集合是什么图形？弁求出该图形的面积.【解题照路】(I)求出IZZo1.=ICro-r,-则，即得解:(2)z-(1.+i)=1表示的动点Z的篥合是以点(1.1)为网心、1为半径的网,方程沱-(1+巾=3表示的动点Z的集合是以点<1,I)为圆心、3为半径的概,即得解.【裤答过程】解：(I>或数Z=X+yi,z0=x0+y0i.分别对"应向JAOZ=(X,y),OZ0=(x0.y1.>)所以IZZO1.=OZ-6=(x0.)-(XJ)I=IaO-X,%-y)1.=J(XO-X)Z+(>-y)z(2)由感知方程IZ-(I+i)=1表示的动点Z的集合是以点(I.1)为眼心.I为半径的网.方程IZ-(1+O1.=3表示的动点Z的集合足以点(1,1为Ia心、3为半径的即，放不等式1z-(1.+1)|3表示的动点Z的班介足以点(1.1为同!心.半径分别为1和3的两个KI所形成的If1.1.环形图形(含边界)，所以该圆环形图形的面枳为5=ff32-zr-1.2=8n.