2024人教九年级上册第二十一章 一元二次方程知识精讲原卷.docx

【单元复习】第二十一章一元二次方程（知识精讲+考点例析+举一反三+实战演练）知识精讲第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程知识点元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），井且未知数的最高次数是2（二次）的方程,叫做一元二次方程，注意一下几点：（1）只含有一个未知数：（2）未知数的最高次数是2：（3是整式方程.知识点二一元二次方程的一般形式一般形式：ax+bx+c=O（a0）.其中，ax是：次项，a是：次JS系数；bx是一次项，b是一次项系数；C是常数项.知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的伯叫做一元二次方程的解.也叫做一元二次方程的根.方程的解的定义是解方程过程中骏根的依据，21.2 降次一一解一元二次方程21.2.1 配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x=a（a2O）的方程，根据平方根的定义可解得X=J",x=一石.（2直接开平方法适用于解形如X=P或（mx+a）=p（m#0）形式的方程，如果p>0,就可以利用直接开平方法，（3）用直接升平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个,它们互为相反数：零的平方根是厚：负数没有平方根.（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：移1如使二次项系数或含有未知数的代子的平方项的系数为1:两边宜接开平方，使原方程变为两个一元二次方程：解一元一次方程，求出原方程的根.知识点二A己方法解一元二次方程通过用成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次，把一个一元:次方程转化为两个一元一次方程来斛，配方法的一般步臊Ur以总结为：一移、二除、三配、四开。< 1）把常数原移到等号的右边：< 2）方程两边祐除以二次项系数：< 3）方程两边都加上次政系数半的平方，把左边配成完全平方式；< 4）若等号右边为非负数.直接开平方求出方程的解。21.2.2 公式法知识点一公式法解一元二次方程（1）I-地，财于一元二次方程ax+bx+c=O（aO）,如果b-4ac>0.届么方程的两个根为-b±2-4acX=2。,这个公式叫做一元二次方程的求报公式，利用求根公式，我们可以由元二方程的系数a,b,c的例直接求得方程的斛，这和解方程的方法叫做公式法。(2)一元二次方程求根公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax+bx+c=O(aO)的过程-(3)公式法解一元二次方程的具体步骤：(1)方程化为-搬形式：ax+bx+c=O(aO).一般a化为正值：(2确定公式中a,bfc的值.注意符号：(3)求出b-4ac的伯：(4>b-4ac>O.则把&b,c和b-4ac的值代入公式即可求解,?b-4ac<O,则方程无实数根。知识点二一元二次方程根的判别式式于b-4ac叫做方程ax+bx=O(a*O)根的判别式,通常用希腑字母农示它.RP=b-4ac.一元：次方程ax+bx+c=O(aO),>0.方程ax+bx+c=O(aO)有两个不相等的头数根；一元二次方程ax+bx+c=O(aWO),=0,方程ax+bx+c=O(aO)有两个相等的实数根；一元二次方程ax+bx+c=O(aH0),<0.方程ax+bx+c=O(aO)无实数根：21.2.3囚式分解法知识点一因式分解法解一元.次方程(D把一元二次方程的一边化为0,而另一边分解成两个一次因式的积，进而气化为求两个求一元一次方程的耨,这种解方程的方法叫做因式分解法。(2)囚式分解法的详细步骤：1移顶，将所有的顶都移到左边，右边化为0；2把方程的左边分解成两个因式的税,可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式：3令每一个因式分别为零得到一元一次方程：4就元次方程即可得到原方程的解.知识点：用合适的方法解一元次方程方法名称理论依据适用莅困F1.接开平方法平方根的怠义形如X=P或(mx*n)=P(PmO)配方法完全平方公式所有一元二次方程公式法配方法所有一元二次方程因式分解法当ab=0t则a=0或b=0一边为0,另一边易于分解成两个一次因式的枳的一元二次方程.21.2.4一元二次方程的根与系数的关系天,元：次方程x+px+q=O的两个根为Xx则千fx+x=-prxx=q.bc若一元二次方程ax+bx+c=0(aH0)有两个实数根XX则有x+x=.。rxx="22.3实际问题与一元：次方程知识点一列一元二次方程解应用膻的一般步骤：(1>f:是指读懂遨目.弄清题意.明确哪些是已知量,哪些是未知量以及它们之间的等量关系.(2设：是指设元，也就是设出未知数,(3列：就是列方程,这是关键步滕,一般先找出能步表达应用趣全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个S1.就得到含有未知数的等式.即方程.(4)解：就是解方程,求出未知数的他.(5)%：是指桧骁方程的解是否保证实际问题有意义，符合时懑，(6)答：写出答案，知识点二列一元二次方程解应用题的几种常见类型(1)数字问题三个连续整数：若设中间的一个数为X.则另两个数分别为X-1.X+1.三个连续偈数（奇数：若中间的一个数为X,则另两个数分别为*2,x+2三位数的去示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为abc,则这个三位数是100a+10b+c（2）增长率问题设初始量为a.终止量为b,平均增长率或平均降低率为X.则经过两次的增长或降低后的等量关系为a（1±X>=b.（3）利涧问题利润间超常用的相等关系式有：总利润=总销售价总成本：总利润=单位利润X总的密出：利润=成本X利润率（4）图形的面积向SS根据图形的面积与图形的边,高等相关元索的关系,将图形的面枳用含有未知数的代数式表示出来,建立一元二次方程.考点例析【考点1】元次方程【例1】（2022全国九年级期末）把一元二次方程（x-3）2=5化为一般形式后,二次项系数为（）A.1B.2C.3D.5【答案】A【分析】利用完全平方公式将一元二次方程化荷为a2+bx+c=0.再找出:次项的系数即可.【详解】解：Y（x-3）2=5化为般形式为M64=0,.：次项系数为1,故A正确.故选：A.【点瞄】本题主要考查了一元二次方程的一般形式解时的关键是将方程（x-3>2=5化为般形式.【例2】（2022全国九年级期末）己知方程优-3）,m+3x+2=0.当A=一时，为一元二次方程.【答案】1【分析】根据兀次方杵的定义得亍/-3/Onk"=2,学侔唧uj【汴解】根捶;Sfi1.得,-30I1.A-1.=2.解汨k=1.,故答案为：【点瞄】本题考查一元二次方程的定义，只含有个未知数并且未知数的蜃高次数是2的整式方程叫元二次方程，熟知定义电解应的美键.【号点2】解元二次方程【例3】（2022全国九年级期末）已知关于X的一元二次方程仅-1.）x'+2x-2=0有实数根.则Jt的取值范困是）.B.C.A>彳且&*1D.Ar-H.I2222【答案】D【分析】根业；元二次方程力实数根的条件：次项系数不为0.根的判别式大于等于0：即可进行解答.【详解】解：.三Jr的几(*-1.)f+2x-2=0仃实数根,1-1*0.=22-4(-1.)×(-2)0斛得：且人".故选：D.【点脐】本题上要考查一元二次方程有实数根的情况,熟练地掌握根的判别式在不同情况下根的情况足冬他的美槌.；,4c20时，元.次方程行丈数根：化：则，无丈次根.【例4】(2022江苏九年级期末)关于X的元二次方程22+4mx+m=0行两个不同的实数根X”Xz-且M+E2，则rn=.Io【答案】JO【分析】根据IQ,系数的三系得到X1.+X2=2mx*2=g内山xZ+X22=z.<X1+X2)J2Io2xg=,即可得到4m2-m=,然后解此方程即可.1616【详斜】滔：根据虺亚“x+xz=2m,xxgx+x*=j161X1.*×2>2-2X1X2=.Io4m2-m=-.16I3m=grn2=Q=16m2-8m>0.m>jm<0时.m二J不合返包.O故答案为：O【点睛】本题考杳了根与系数的关系，若xi,XZ是元：次方程ax"bx+s(a0)的两根时，bcX1+X,=.X1.M=-.aa野点3实际问理与元二次方程【例5】(2022全国九年级期末)某农机厂一月份生产零件50万个.第一季度共生产零件182万个.设该厂二、三月份平均每月的增长率为X,僚么X满足的方程是().50<1.+x>z=182B.50+50(1.+x)+50(1.+x>2=182C.50(1.*2x)=182D.S1.kSO<1.+x)+50(1.+2x)z=182恪案】B【分析】设1'均每月的增丫期.月份生产零件50(1.+x)方个，三月份生产零件50(1+xf万个,由此可得出方程.【详解】解：设二、:力份平均每月的增长率为X,则二月份生产事件5(X1.+x)个,:月份生产专件50(1+."个，则得：50+50(1+)+5(XI+x>2=182.故答案为：B.【点盼】本典主要考饵了求平均变化率的方法.若设变化前的心为a,变化后的能为b,平均变化率为X,则经过两次变化后的数量关系为W1.±x*=8.【例6】(2022全国九年级期末)如图.在宽为20m.长为32m的布形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分,余下的部分种上草坪.耍使草坪的面枳为540m2,则道路的宽为.【答案】2m#2米【分析】设遒路宽为X米.由'F移法把草坪而枳转化为矩形，根独;矩形面积=540列方程求解即可.【详解】解：利用平移,限图可转化为下图,设道路宽为X米根据题意得：(32-x)(20-x)=540解得:x1=2.X2=5O(不余即意.舍去)x=2.故答案为：2m(1.tft本题考1了一元二次方程的应用,这类题目体现了数形钻合得思想,利用平移把不提则的图形变为规则图形，即可列出方程，求出答案.另外还要注意解的合理性，从而确定取舍.举一反三一、选择题1. (2022全国九年级期中)把方程F=2(-3)化成一般式/+”“+”=0.则iE确的是()A.m=2.=6B.«=2n-6C.tn=-2.=6D.m=-2.r-62. (2022全国九年级期末)若关于X的方程2-2x+=0有实数根，则m的取值范附为()A.m£1.B.ntiC.m>1.D.zr<1.3. (2022全国九年级期末)某农业基地现有杂交水稻种植面积36公顷.i划两年后将杂交水稻种植面积增加到48公顷，设该农业基地杂交水稻种位面积的年平均增长率为X，则可列方程为()A.48(1+x)2=36B.48<1.-x)2=36C.36(1+x)2=48D.36(1-x)?=48二、填空题4. （2022全国九阡级期末）若m是方程X1.Ir+1O的一个根.则3/”：-9,”+2022的位为一5. （2022江九年级期末）若关于X的一元二次方程/-3+A=0的一根为2,则另一个根为6. （2022,全国九年级期末）2019年元旦节期间班上数学兴趣小组的同学互发微倍祝贺.每两个同学都互相发一次,小明统计全组共互发了90次微信，那么数学兴趣小组的人数是多少？女数学兴趣小组人数为X人，则可列方程为.三、简答题7. （2022江苏九年级期末）已知关于X的方程（m-3）尸=x=3.试问：（1.）m为何伯时，该方程是关于X的一元一次方程？（2）m为何伯时，该方程是关于X的一元二次方程？8. （2022江苏九年级明末）已知关于X的一元二次方程2-（m+3）x+3m=0（1）求if：无论m取任何实数方程总有实数根：（2）若等腰：.角形的我中边为4另两边地这个方程的两盘，求m的值.9. （2022全国九年级期末）某校准备在块长为25米，宽为20米的长方形花园内修建一个底部为正方形的亭子（如图所示），在亭子四周脩四条宽度相同，凡与亭子各边垂直的小路，亭子边长是小路宽度的，倍,花园内的空白地方铺草坪,设小路宽度为X米.（2）若草坪面枳为440平方米时,求这时道路宽度X的值.实战演练一、选择题（共6小题）1. （2022全国九年级期末）若关于X的方程（川-2）1.-'+4x-7=0是一元二次方程，则m的值为（）A.n2B.n=±2C.m=-2D.z=22. （2022全国九年级期末）已知X=-1是一元二次方程z-x-m=o的解则m的伯为（）A.1B.-1C.2D.-24r+33. （2022江苏九年级期末）若分式7的值为。.则（）（X-I）（X-2）A.x=1.或x=3B,x=3C.x=1.D.x1.ftx24. （2020全国九年级期末）若关于X的一元二次方程k-6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范用是（>A.k<1.B.kv1.H,k0OC.kQ1.D.k>1.5. （2022全国九年级期末）杨倩在东京奥运会女子10米气步枪决赛中夺得冠军,为中国代表团揽入首枚金牌,随后杨倩同款"小黄鸭”发卡在电商平台上爆单.该款发卡在某电商平台上7月24日的销量为5000个，7月25口和7月26I的总销址是30000个.若7月25日和261较前一天的增长率均为X,则可列方程为(>A.5<MX)(+x)2=3(XKWB.54XX)+5WX)(I+x)+5(X0(I+x)：=3(XKX)C.5000(Irf=30000D.50(I+x)+50(1+x)'=3006. (2022全国九国级期末)某品牌电动自行车经销商1月至3月统计,该品牌电动自行车1月销售150辆，3月销售216辆.设该晶牌电动车销代版的月平均增长率为X，根据遨意列方程得()A.150(1-2a-)=216B.15O(1.-.v)2=216C.I5(1.+Zv)=216D.150(1.+x)2=216二、填空题(共6小题)7. (2022江苏九年级期末)关于X的方程(-1.)f-3x+3=0是一元二次方程，则a的取值范用是.8. (2022江苏九年级期末)已知m是一元二次方程.d-3x+1=0的根,则代数式病-5W-I的值为.9. (2022江苏九年级期末)若m,。为一元：次方程F-2-2=O的两个实数根，则("i+1.)("+1.)的值为.10. (2022江苏九年级期末)已知阳、公是一元二次方程f-4x-1.=()的两实数根，则代数式K+M-4_.11. (2022全国九年级期末)劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入,建改校园农场，该农场一种农作物的产出两年内从300克增力I倒363克，则平均每年增产的百分率为12. (2022全国九年级期末)特殊时期.m疾控专家提盛广大巾民，乘坐电梯切莫大意,务必做好个人防妒措施.如图所示，某商场在厢式电梯地面铺设了醒目的隔离带，提酬颐客乘坐电梯时持足第的空间距离,M少接触.电梯地面部分为一个长为190cm,宽为ITOCm的矩形地面，己知无隔离话区域空白部分的面枳为29700cn,若设1.离带的宽度均为Nm,筋么X满足的一元二次方程是.1三190cm十-ImE二、简答题(共6小题)13. (2022江苏九年级期末)已知关于X的方程(m-1)x“(m-2)x-2m+1.=0.(1.)m为何值时,此方程是一元一次方程？求出该一元一次方程的解：(2)m为何伯时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.14. (2022全国,九年级期末)把下列方程化成一般形式.并写出它的二次项系数、-次项系数以及常数项.(1) (2-1.)<3x+2)=2+2:(2) (22-a)(22+.0=(3+.t)2.15,(2022全国九年级期末)已知关于X的方程(m-6)-x=3,试何：(IJm为何伯时，该方程是关于X的一元一次方程？(2)m为何值时，该方程是关于X的一元二次方程？16.(2022江苏九年级期末)综合与探究：如果关于X的一元二次方程储+W+c=0(a0)有两个实数根，且其中一个根比处一个根大1,眼么称这样的方程是"邻根方程".例如；一元二次方程V+x=0的两个根是x,=0,S=T,则方程：V+x=O是"邻根方程(1)通过计算.判断下列方程是否是"邻极方程Jx2+x-6=O:2/+20.(2)已知关于X的一元二次方程V-(m-21x-2m=0(m是常数)是“邻根方程”.求m的他.17,(2022全国九年级期末)在刚网过去的"五一”假期中，某超市为迎接"五一"小长假购物高潮，经销甲、乙两种品牌的洗衣液,市场上甲种品牌洗衣液的进价比乙种品洗衣液的进价每瓶便宜10元，该超市用6000元购进的甲种品牌洗衣液与用8000元的进的乙种品牌洗衣液的感数相同.(1)求甲、乙两种M牌的洗衣液的进价：(2)在锚竹中，该超市决定将甲种品牌的洗衣液以绿腋45元的出，昨天固定传出100瓶：但调包发现，乙种品牌的洗衣液等粮田价50元时,每天可官出140瓶，并H.当乙种品牌的洗衣液斑腋售价每提高1元时.乙种品牌的洗衣液称天就会少客出2瓶,当乙种品牌的洗衣液的每瓶样价为多少元时,两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元？18.(2022全国九年级期末)某水果商场羟销一种高档水果，原价斛克128元，连续两次降价后每千克98元,若短次F降的百分率相同.(1)求每次下降的百分率：(2)若该水果每千克盈利20元，每天可存出500千克.住市场诩查发现,在进货价不变的情况下，曲场决定采取适当的涨价措值，若每F-克涨价1元，11括华量将减少20克.现该商场要保证销件该水果的天盈利9000元，且要减少库存,那么每千克应涨价多少元？微信扫码，打开小程序，手机查阅，随时随地找资源！!微信扫码，打开小程序，手机查阅，随时随地找资源！”版权声明21世纪教育网WWW-（以下简称“本网站"）系属深圳市二一教育股份有限公司（以下尚称“本公司”）旗下网站，为维护本公司合法权益，现依据相关法律法规作出如下郑重声明：一、本网站上所有原创内容，由本公司依据相关法律法规,安排专项经费.运鸳规划，组织名校名师创作完成，著作权归属本公司所有.二'经由网站用户上传至本网站的试卷、教案、课件、学案等内容，由本公司独家享有信息网络传播权，具作品仅代表作者本人现点，本网站不保证其内容的有效性，凡因本作品引发的任何法律纠纷,均由上传用户承担法律责任，本网站仅狷义务协助司法机关了解事实情况。三,任何个人'企事业单位（含教白网站）或者其他蛆织，未经本公司许可，不得使用本网站任何作品及作品的组成部分（包括但不限于复制、发行、表演、广播、18息网络传播、改编'汇编'翻译等方式），一旦发现侵权，本公司将联合司法机关获取相关用户信息并要求侵权者承担相关法律责任.四、一旦发现侵犯本网站作品箸作权的行为,欢迎予以举报.举报电话：4006379991举报信息一经核实，本公司将依法追究侵权人法律责任！五'本公司将结合广大用户和网友的举报，联合全国各地文化执法机关和相关司法机关严厉打击侵权盗版行为.依法追究侵权人的民事、行政和刑事责任！特此声明!深圳市二一教育股份有限公司