2024年二次函数知识点.docx

二次函数知识点一、二次函数概念：1 .二次函数的慨然一般地,形如F="+h"c（db,（'是常数.“X0）的函数,叫做二次修数.这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数。w,而b,c可认为零.二次函数的定义域是全体实数.2 .二次咕数.V«*+fet+c的构造特性：等号左边是函数，右边是有关自变mx的二次式，X的最诲次数是2.,b,c是常数，。是二次项系数,是一次项系数，C是常数项.二、二次函数的基本形式1 .二次函数基本形式：y=的性质:a的绝对值越大，抛物馍的开口越小。”的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0>0向上(0,0)y轴x>0时，y随的地大而增大：XVO时，y随X的增大而减小：=0时，."i址小值0.<j<0向下(0.0)轴x>0时，y随X的增大而然小：a<0Ui.y随X的增大而增大：X=O时，”祝大值0.2 .y=m'+c的性质:上加下诚。“的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上C)）轴.v>OBt,.y防K的增大而地大：x<0时，y随X的增大而减小：X=O时,y行最小（ftc.a<0向下(0,c)y轴x>0时.vBOx的增大而及小：XVO时.v地X的增大而增大：X=O时，."你大值八3.y="(f)*的性柄:左加右减.。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质«>()向上（力，0）X=hx>BJ.y1.的增大而增大：x<B1.vX的增大帝减小：K=%时.）,有最小值0a<0向下S，o）X=hx>时，y1.的增大而减小：XV时，y«1.X的增大而增大：.r=力时，y彳1最大值0.4. y“（X-力+£的性质:a的符号开门方向顶点坐标对称轴性质«>0向上(*)X=hx>，时，Mix的增大而增大：A<HhYX的增大而减小：X=万时，干H1.J小件«<0向下(M)X=ht>j时，）,随X的增大而减小；X<htyK1.月的增大而增大：工=力时，y有垃火假"三、二次函数图象的平移I.平移环节:措旌一：将抛物线解析式转化成顶点式.v="x-行+,确定其顶点坐标（“，）：向右（心0）（¾（>¥格It1.个月也向(*>0)(<0平移阳个单位向右仍>0）1或左（KoJ】平移四个中位向上（Q仍或向下伏】平移因个值位IIHy=0rJ向上（Q0）【或下<大<0）】平移四个单位*2!J<2>保持附物线y的形状不变.将其段点平移到（儿Jt）处详细平移措施如下：r=(-研IHi(AM)I(<r<O)平移因个象位2.平移规律在原有函数的基础上“力值正右移,负左移:Jt值正上移.负下移”.概括成八个字”左加右减.上加下减”.措施y=t'+>+1沿y轴平移:向上（下）平移M个单位,y=ax2+bx+c变成y=(ix+bx+c+(或y=<x'+ftx+c-/n)<2)y=+五r+c沿轴平移：向左(右)平移”1个单位，y="+8+c变成y=a(x+m'+b(x+m)+c(或y=a(x-m)+b(x-in)+c)四、二次函数y-<j（-）,+火与y+x+c的比较从解析式上看，y=”（x-Af+«与,y=d+加+c是两种不一样的体现形式，后者通过配方可以得到前花即y=+M'=-A.=.五、二次函数y=+,>x+c图象的画法五点绘图法：运用配措旗将二次函数y+fer+c化为顶点式y（x-）2+8,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标.然后在对称轴两侧.左右对称比描点画图.一般我们选用的五点为：顶点、与y轴的交点（0,。、以及（0,C）有关对称轴对称的点（2人<）、与K轴的交点（,0）,（士，0）若与X轴没有交点,则取两组有关对称轴对称的点）.画草图时应抓住如下几点；开口方向，对称轴，顶点，与X轴的交点，与）轴的交点.4ac-b'六、二次函数y=+>+c的性质1 .当”>0时,购物线开门向上，对称轴为X=-F，顶点坐标为-F1.aI2d当x<-（时，A的增大而然小：当x>-（时，y1.的增大而增大；当x=-（时，）,有最小4ac-b2Ift.4f2 .当“<0时，抛物线开口向下，对称轴为.3-2,顶点坐标为;'-与，士生.当x<-且时，F班2a2a4a）2aK的增大而增大：当>-旦时，丫随X的增大而M小；当x=-2时，丫有最大ft±Q.2a'2a4«七、：次函数解析式的表达措施1 .般式：y=r5+bx+c(a.b,C为常数a()>：2 .顶点式：y=a(x-h)2+k(a,ft.k为常数.0)13 .两根式：F=O(K-X1.XX-XJ(awxt,七是柚物城与K轮两交点的横坐标).注意：任何二次函数的蚱析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数挥可以写成交点式，只有抛物线与X轴有交点.即从-4a<20时,她物线的解析式才可以用交点式表达.二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系I.二次项系数”:次函数y=<u'+，”+C中，。作为：次项系数，显<1)当。>0时,他物线开口向上,“的值越大,开。越小.反之。的(ft越小.开口越大：当av时，施物线开门向下，”的值越小,开口越小，反之。的位越大，开11越大.总结起来，。决定了1.物线开门的大小和方向.a的正负决定开门方向，回的大小决定开11的大小.2 .一次项系数在二次项系数a确定的前提下，分决定了地物线的对称轴.<1>在“>()的前提下，当>0时，-2<0,即抛物战的对称轴在y轴左侧：Za当=O时.-A=O,即抛物线的对称轴就是y轴：当<0时，-W>0，即抛物线对称轴在y轴的右侧.<2在aVO的前提卜.,结论刚好与上述相反，即当>0时，-包>0,即抛物线的对称轴在y轴右侧：2a当=0时，-X=O,即抛勒城的对称轴就是丫轴：Za当<o时.-<o,即抛物线对称轴在）,轴的左侧.2a总结起来.在。确定的前提下决定了她物找对称牯的位置.，心的符号的鉴定:对称轴X=-盘在y轴左边则应，>0.在y轴的右侧则"<（）.概括的说就是“左同右异”总结：3 .常数项C当。>0时，他物线与.丫轴的交点在X轴上方，即他物线与F轴交点的纵坐标为正：（2）当C=O时，搬物践与，轴的交点为坐标原点，即拗物线与）轴交点的骸坐标为0：W当c<0时,他物纹与），轴的交点在X轴下方,即他物线与F轴交点的纵坐标为负.总结起来.C决定了抛物线与），轴交点的位置.总之，只要“，/，<都确定，加么这条拗物城就是唯确定的.二次函数解析式确实定：根据已知条件确定二次的数解析式般运用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据遨目的特点，选择合适的形式，才能使解题简便.一般来说,有如下几种状况：1 .已知桃物线上三点的坐标，-股选用一般式：2 .已知他物段顶点或对称轴或最大（小）值，-一般选用顶点式：3 .已知他物线与X轴的两个交点的横坐标-殷选川两根式:4 .已知他物线上纵坐标相似的两点.常选用顶点式.九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种状况，可以用一般式或顶点式体现1 .有关X轴对称>>+for+c有关X轴对称后.得到的解析式是y"-V-bx-c：y=a(-v-)j+&有关X轴对称后.得到的解析式毡y=-a(x-h)2-k:2 .有关y轴对称y"av'+fer+c有关y轴对称后，得到的斜析式是)1-阮+c:,v-(x-f÷*有关y轴对称后,得到的解析式是yq(x+r)'+h3 .有关原点时称>=+W+c有关原点对称后，得到的解析式是y=-av+b.x-ciy"(x-+Jt有关原点对称后,得到的耨析式是y-o(+r)'-4：4,有关顶点对称(即：抛物线绕顶点旋转180°)y=+，"+<有关顶点对称后,得到的解析式是y=-<x2-bx+c-:y="f+大有关原点对称后，得到的超折式是y=-(xf)'+h5.有关点(小，”)对称y=a(x-h)'+k有关点(，”，”)对称后，得到的解析式是y=-(x+-2m+2n-i根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，物物戏的形状定不会发生变化，因此同永远不求抛物线的对称枪物线的体现式时,可以根据跑意或以便运算的原则选择合适的形式.习惯I；是先确定原抛物线（或体现式已知的附物线）的顶点坐标及开口方向，内确定其对称抛物线的蹊点坐标及开口方向.然后再写铝其对称他物纹的体现式.十、二次函数与一元二次方程：I.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与X轴交点状况）：1元：次方程G+fer+c=O是二次函数y="'+/U+C当函数（fty=O时的特殊状况.图象与X轴的交点个数：当A:'-4«c>0时，图象与X轴交于两点A（X1.,0）,B（X1，0）（.r1.v,）.其中的司，士是一元二次方程+辰+c=0（w（）的两根.这两点间的距点48=|x：-XII="J产.当A=O时，图象与X轴只有一种交点：当A<0时，图象与X轴没有交点.当>0时，图象落在X轴的上方，无论X为任何实数，均有y>0：2,当“<0时，图象落在X箱的下方，无论X为任何实数，均有yv2 .她物找j=f1.+桁+c的图象与F轴一定相交，交点坐标为（0,c）；3 .二次函数常用艇题措施总结：（I）求二次函数的图象与X轴的交点坐标，需转化为一元二次方程：求二次函数的最大（小）但需要运用配措施将：次曲数由一般式转化为顶点式：（3）根据图象的位置判断二次函数.v=+v+c中”，人，。的符号,或由二次函数中”,，<的符号判断图象的位置,要数形结合:W二次函数的图象有关对称轴对称,可运用这一性防.求和已知一点对称的点坐标,或已知与X轴的一种交点坐标,可由对称性求出另一种交点坐标.与二次函数彳!关的尚有二次三项式,二次三项式，*'+加+d*O）自身就是所含字母X的二次函数:>0地物线与X轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根=0地物线与K轴只有一种交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根<0枪物线与X轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.“o时为例.我;示二次函数、二次三项式和元二次方程之间的内在联络:图像参照:y=2xz十一、函数的应用刹车距离二次函数应用何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考察重点与常见题型1 .考察二次函数的定义、性质.行关试卷常出目前选择题中.如:已知认为X自变价的二次函数y=Q"-2）/+，2-，-2的图像通过原点.则，”的值是2 .综合考察正比例、反比例.一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考察两个函数的图像，试时类型为选择即，如:如图.假如函数.=H+b的图像在第一、二、三象限内,那么函数y=k2+近-1的图像大体是ABCD3 .考察用杼定系数法求二次函数的解析式，有关习遨出现的领率很高,习应类型钉中等好答时和选拨性的嫁合题，如：已知一条抛物线通过S,3,6）两点，对称轴为X=.求这条微物线的解析式。34 .考察用配措施求拊物线的顶点坐标、对称轴二次函数的极（ft有关试题为解答题.如：已知她物线y=0+辰+（a#0）与X轴的两个交点的横坐标是一1、3,与y轴交点的纵坐标是一T（1确定微物线的解析式：（2）用配措施确定枪物战的开口方向、对称轴和顶点坐标.5 .考察代数与几何的综合能力,常见的作为专跑压轴遨.【例题经典】由加物线的位次璃定系数的符号例1：次函数y=d+加+c的图像如图,则点A"ES）在（a.第一象限B.第二象限C.第三飘限D.第四象限(2)已知二次函数y-n+bx+c(a0)的图象如图2所示，则下列结论：a、b同号；当x=1.和x=3时，函数值相等:如+b=0：当产2时，X的值只他取0.其中对的的个数是<>A.I个B.2个C.3个D.1个【戊评】乔清撤物践的位置与系数a,b,c之间的关系，是处理问胭的关键.例2.已知二次函数y-ax>bxc的图象与X轴交干点(-2.0).(x1.0),且1.<x<2,与y轴的正半轴的交点在点(0.2)的下方.下列结论：(Da<b<O:2ac>0:4aX0：2ab1.>0,其中对的结论的个数为()AI个B.2个C.3个D.4个答案；D公用恃定系数法求.次函数制析式例3.已如：有关X的一元二次方程ax,÷bx+c=3的一种根为x=-2,旦二次函数y=ax>bx+c的对称轴是直线x=2,则拊物战的顶点坐标为()A<2.-3)B.(2.1)C(2.3)D.(3,2)答案：CAB与CD流科.设X杪时，三角形与正方形也小郃分的面例4、(2023年烟台市>如图(能位：m),等腰三胸形ABC以2米/秒的速度沿直线1.向正方形移动，直到枳为ynr.(1)写出y与X的关系式:(2)当*=2.3.5时,y分别是多少？(3)当重杼部分的面积是正方形面积的：分之一时，三角形移动了多长时间？求抛勒城顶点坐标、对称轴.例5、己知抛物线y=1.x-*-3.22(1)用配措施求它的蹊点坐标和对林轴.(2)若该岫物线与X轴的两个交点为A、B.求线段AB的长.【点评】本题1是对.次函数的“狼木措施”的考察，第(2)问正要考察：次函数与一元：次方程的关系.例6.已知:二次函数y-ax-(bH)x3a的图&通过点P(4.10).交X轴于(.v1.0),8(8.0)两点(M<X,).交y轴负半轴于C点，口满足3A0=0B.(1)求二次函数的解析式：(2)在二次函数的图象上与否存在点此使锐角NMeO>NAC0?若存在，请你求出M点的横坐标的取值范附：若不存在，请你阐明理由.x<0,x=-1.x2=3.点A(T,O),P(4,10)代入耨析式得解得a:2b-3.二次函数的解析式为y-2x'-46（2）存在点M使/MCtXNACO.（2）解：点A有关y轴的对称点A，（I,0）,.直线人,（：解析式为丫-6*6宜线八（：与地物线交点为（0.6）.（5,24）.符合遨意的X的他围为T<x<O或（×x<5.当点M的横坐标湎足-1.<x<O或0<x<5时，ZHCO>ZACO.例7、”己知函数），=；/:+加+。的图象通过点八（；，-2）,I）求证：这个二次函数图象的对称轴是x-3J盅目中的矩形框部分是一段故里水污染了无法识别的文字.（1）根据已知和结论中既有的信息，你能否求出题中的二次腐数解析式?若能,请写出求解过程，并画出：次函数图象；若不能，请胡明理由，（2）请你根据已经行的信息,在原题中的走形框中以加一种合适的条件,把原跑补充完整.点评：对于第I小遨，要根据已知和结论中既有信息求出时中的二次函数解析式,就要把本来的结论“函数图象的对称轴是x=3"当作已知来用,再结合条件”图象通过点A（c,-2）",就可以列出两个方程了,而解析式中只有两个未知数，因此可以求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小鹿，只要给出的条件可以使求出的二次函数例析式是第<1）小题中的解析式就可以了.而从不一样的角度考虑可以添加出不一样的条件,可以考虑再给图象上的种任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一种交点的坐标等。辑答J（1）根据F=X2+bx+C的图象通过点A（c,一2），图象的对称轴是“3,因此所求二次函数斛析式为y=；“2-3x+2.图象如图所示.（2）在解析式中令y=。，得:-3x+2=O,解得阳=3+v'5,m=3-石.2因此Ur以填“抛物线与X轴的一种交点的坐标是（3+、用,0）”或她物线与X轮的一-种交点的坐标是（3-5.O）.令x=3代入解析式，得,y=-）,因此她物&y=-3x+2的顶点坐标为（3.-1因此也可以填枪物城的顶点坐标为（3-3等等.函数重.要关注：通过不一样的途径<图象、解析式等）理好函数的详细特性：借助多种现实背景理解函数:将函数视为“变化过程中变盘之间关系”的数学然型：港透函数的思想：关注函数与有关知识的联络。川二次函数处理最值何独例1已知边长为4的正方形截去一种角后成为五边形ABCDE（如图，其中AF=2,BF=I.试在AB上求一点P.使矩形PNDM有最大面积.【泞析】本题是道代数几何综合超,把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起.能很好考察学生的综合应用能力.同步,也给学生探索解遨思绪留下了思维空间.例2某产品每件成本10元.试销阶段每件产品的销件价X（元）与产品的Htfif4I、（件）之间的关系如下表:X（元）152030y（件）252010若11销生量y是销每价X的一次函数.（1）求出日销日量y（件）与铺四价X（Tt）的幽数关系式;（2）要使秘H的第件利润最大,每件产品的俏售价应定为多少元？此时每H销售利润是多少元？15A+）=->5【蟀析】（1设此一次函数体现式为y=kx-b则二，二解得k=-1.,b=40,即一次函数体现24+=20式为y-M0.（2）设每件产品的第t价应定为X元，所执销件利润为U元=<-10>（40-）=-x2÷50x-10Q=-（-25）1+225.产品的新传价应定为25元，此时都日荻得及大销售利润为225元.【点评】处理最值何题应用题的网络与一般应用起类似,也有区别.一要有两点:设未知数在“当某某为何泊时，什么最大（或最小、最省）”的设问中,“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数：（2）向的求解依托配措施或嫉值公式，而不是解方程.例3.你情褥吗？平时我的在跳大时,绳也到最高处的形状可近似地行为拊物纹,如图所示,正在拒知的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m,距地谕均为加,学生丙、丁分别站在即.甲食绳的手水平距离1m、顶.已知学面百角坐标2.5处.绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头生丙的身高是1.5m,则学生丁的身高为健立的平系如右图所示）A.1.5mB.1.625mC.1.6611D.1.6711分析：本题考察二次函数的应用答案：B