2024年二次函数知识点总结.docx

二次论数知识点.二次用软概.含：1.次函数的概含：-JR,形如y=+>x+C<«,b,C是常数，"H的函数，叫做：次函数.这里需要强谓；和一元：次方程类似，：次顼系数“hO,而，c可认为零.二次函数的定义域是全体实效.2.：:次的数y-ar+fev+c的构造特性：等号左边城用故.右边是有关自变f的二次式,X的Ai孤次数是2.(2)a,b,c½W(.“是二次项系数，匕是一次项条数C是常数同.二.二次沿1的她本形式1 .二次函政基本影式：y=的性质：a的绝对值的大.抛物线的开口越小.“的符号开门方向顶点坐标对称轴性Mia>()向上(o).VW>OM.)MT的用大向增大，x<0时,vttxftf;增人而我小：K=O时,y有最小WiOa<O向下(0.0)yW>0时y防工的缙大而M小：x<0HJ.yEfix的增大而增大：x=OM.y有大他02 .J=/+C的性质:上加下减.的符号开口方向顶点坐标对称轴性股«>0向上(0,C),Vttx>0时,yf1.x的盛大而增大t<0时，)fif1.x的埴大酊H小I=0时.F有城小曲，.a<()向下(0,6.Vttx>0时,yRJx的常大血M小&.v<0时.>防X的增大而增大：=0时,yfWtfic.3 .="(X-的性质I左加诚.。的符号开口方向顶点妫标tiwI性旗«>0向上(k)X=h人>时yfx的指大而壮大：XV力时.yfifix的增大而城小；x=t时,y有最小值0a<0向下(力.0)X=h时.vRS*的组1人而减小：XV力时.yEfix的增大而增大：X=力时,yM大伙0.y三(x-)2+的性成:二.一次南“的符号开口方向顶点坐标财杉轴性成tv图依的%Vt11平移a>0向上(*)X=hx>，时，yfx的冶大而冶大；XV九时，yIhXV1.地大而破小：.T=方时在最小值A.%1*16HJ1.平格«<0向下(MXhx>时，yfiUx的箫大面减小Ix<力时,yfifix的川1人而增大IK=才时.)布妙大值A.环节IJK(ft-:<o将掩物蚣解析式转化成项.皂式y=(-tf+Jt,确定其夜总坐标S«)：保扑拍物找y*的形状不变.将此预点平移到(力，外处.详细平整指物如F：W.二次的Sty”（x-rf+氏与A=+hr+c的比校从解析式上有，y=（x-Af+Jt与y=+>x+c是两种不样的体现形式,后者通过足方可以得到前者，即（bV4<c-b1b4<,-'I2a）4«1.a4a五、二次咕灶=底+，”+，图象的祗法五点绘图法I运用配指施林.次用Iky=Or2+版+<化为我点式>,，a（x-h）'+k.勘定其开口方向.对林珀及我点磁标.然后在对称釉曲他左右对稔地描出间图.般我们选川的八点为：顶点）轴的交点（0,c）.以及（0,C）有关对林轴对称的点（2>,c）.与X柏的交点（,0）.（无，0）（若"X轴没仃交点，则取两现在关对称岫对称的点）.银0图时应抓住仙下几点I开口方向.对移轴.顶点,与X轮的交点.与）,柏的交点.六、：次潜ttV=（IX2+阶+C的性而1.当”>0时，M粉践开门向上，时林柏为X=-2,顶点坐标为-二-,二.2aV2a4a）当x<-2时，yfi!ix的加大而减小I当）>-2时，YHIX的增大而增大：当x=-2时，V有城小故处必1.2a2tt2aAa2当“<0时.收物践开门向"对称柏为X=-2,顶点坐标为（-土，%*I.当x<-且时，）,M*的增大而增大I当2a2a4a）2ax>-m.YIaK的增大而成小：.v三-rhy有蚁大也处土.2a2a4a七、二次的数解析式的表达措施1. 般式：y=ax'+hx+c（a.b.C为常数,“工0”2 .顶点式：y=a（x-1.>y+k（a,A为常数，u0）i3 .两极式：J=Ofx-X1.Kx-X1.（。工0.苦.巧运弛物戏与X轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成I1.R式或顶点式.但并非所有的二次函数都可以号成交点式.只行抛物我IjX柏仃之也,即护-4”<2（）时.拊物线的赭折式才可以用文点式代运.：次清数解析式的达：种形式可以?匕A.二次函数的图嵌叮各项系数之向的关系二次的数y=0+hr+c中.”作为二次项系数.湿然”#0.（I）当>0时,物物投开口向1.。的他。大,开口越小,反之。的值梗小,开口越大：0）当“v时,抛一线开口向下.”的31越小.开口越小.反之。的值勒大.开口段大.总结起来.。决定了抛物纹开口的大小和方向.。的正负决定开口方向.的大小决定开门的大小.2. 一次项系数Z»在：次项忝数“碇定的前提R决定了附物规的时称轴.（I）在。>0的旅提下，fe>0ffh-<0,即岫物线的对核轴在）,轴左制：2a当=O时.-卷=0.即他物统的时募轴就足F轴，当/><0时.-A>o.即他物找对称柏在y轴的右侧.2a-在“<0的前提下,结论刚好与上述相应,即当8>0时，->0即收物践的对依轴在了轴右侧I当占=0时.-A=O.即抛物战的对杉轴就是V柏：2a当>v时，-±<0,即Itt为找对称轴在y轴的左<«.2a总站起来，在碉定的M提下，力决定指物线对秋柏的位置.“的符号的盛定：对称粕X=一“在将左边虹<">>0,在），轴的右（W则“<0,概括的说就是“左同右异”2a总峰3.常侬闻C（1）力c>0时.抛物线与Iy轴的交点在X轴上方,即粕物线与）,轴交点的极坐标为正：当C=O时，猴物线与,轴的交口为坐标爆立，即斓物浅与）,轴文式的纵坐标为O；当c<()时.苑物线Kjy轴的交点在X轴”八即苑朝线)_>,轴交点的纵坐标为他总结起东.c决定了指物线9)轴交点的位置.总之，只要"A>,t机确定，郡么这条出物战扰是唯响定的.二次函数解析过确实定：根!己知我件确定二次用依财析K.般运川特定系数法.用侍定系皎法求.次函放的加析犬必须根据题目的特点.选择A适的形式.才能使琳收牌使.殷察说.有加下儿种状;561 .已知效卷线上二点的坐标.一般选用一般式；2 .已知鼬物规顶点或时称轴或处大(小)值，-Ifi选用顶点式，3 .已如购物奴与X轴的两个交.点的横坐标,一般选用两极式I4 .已知搬物纹卜然坐标相似的两点.常选用顶点武.九、二次Wi线图象的对称二次由tk图象的对称殷fih种状况.可以川殷式或顶点式体现1 .有关X轮对称),="d+Zw+<有关K轴对称后.得到的解析式是),=-r-bx-cy=a(x-h)1+k为关X轴对称后.称到的鲫析式是y=-“(x-4-*：2 .有关y轴对物=+bx+<'有关y岫时称后，得到的解析式是y=ax2-bx+cy=(x-)'+K有关y轴对称E.希到的解析式J½y=“(k+%)'+&>3 .有关原点对称y=ax'+hr+c在关吼.以对称后，R到的解析式是y=-r+r-c三.r=(x-力)'+人有关原点对林后.得到的解析式足-A14有关顶点对称(即I指物线烧顶点疾行180.),v=/+Zu+。有关Jf1.袅对称后，为我的解析式是>=Ft2-版+c-竺：2ay=“(x-力f+氏有关顶点对麻区得到的解析式是.v=-(x-+A.5 .有关点(，”.”)对爵y=(-r-)'+Jt在关点(，”.”)对称后，得到的蟀析式是y=-a(x+-2m)1+2n-k根第对称的性陋，显然无论作何种对称变狡，效物戌的形状一定不会发生变化,因此同永远不变.求批构找的对称拗伪我的体现式时，可以根据题意或以便送口的原则,送齐合适的形式，习惯上是先确定原购物觐(或体现式已知的瞅物战)的顶点坐标及开口方向，再礴定火对称粕物线的顶点坐标及开11方向.然石再写出兵对称内物浅的体现式.十、二次诵t'j一元二次方程I1 .二次的故、一元二次方程的关系(二次由数与X林支点状况)：无二次方程a/+.r+c=OJd二次函数y+反+c当雨散依F=O时的特殊状况.图象与X轴的交口个数：当A=Z-4"c>0时.图象、x轴交于两点A(8，0).B(x1.0)(.r1.¾),其中的马，.q是一元.次方程avj+hr+r0(a0)的两极.这两点间的Bv海八8|.q-xj一而.当A=O时.图象与X林只行一种交点：当<()时.图处与X轴没有交点.当0>0时.图象落在X柏的上方，无论K为任何实数.均有)>02当<0时.图象落在N轴的下方.无论K为任何实效,均行)<0.2 .物物线.v=or?+加+。的图象，y轴定相交,交在坐标为(0.C)：3 .二次晶数常用解题措能总结r求.次函数的图象与X轴的交点坐标,常转化为一元二次方程t求:次函数的某火（小）他需耍运用配拾临将二次函数由一般式转化为顶点式:根械图较的也理为断次幽牧y="+6+c中“.b.C的符号.或由次南数中a.b.。的符号到断图象的位解.要数形结合，W.次函数的图象有关对棘轴对移.可运用这性明.求和已如点对棘的点坐标,或已知与X轴的一种交点坐标.可由对称性求出另一种交点坐标.<5）':次函数有关的尚行次：项式.次Hi式“/+凝+<（“工0）自身就是所含字母1的：次的数：卜面以>0时为例.揭东二次函>O电物微与X轮有网个交点二次三项式的更可正、可*可负一元二次方程仃两个不相等实根数、二次三项式和一元=0他物税与X珀只有一种交点.次：顶式的值为非负一元二次方程仃曲个相笠的实敬根二次方程之何的内在<0植物战与X粕无交点:次三项武的值但为正一元二次方程无实数根.联络:图侬心黑:y2x2十一、论数的应用刹车距离:次的数庖川,何时获得最大利涧最大面枳是多少二次函数考察正点与第见IMS!I.考察：次函数的定义、性版有关试电常由目前选译题中.如:已知认为X自变成的二次函数y=Q"-2X+m2一，”-2的图像通过原总，则”，的片是2 .综合号察正比例,反比例、次函数、二次用教的图像.习题的特点是在问直用坐标系内号察四个由数的图像.试题类型为选IwS.她如图.假如函数y=Arx+b的图像在第一、二、三象跟内.那么函数y=1.v*+Z>x1的图像大体是（I)3 .考察用恃定系数法未：次函数的解析式行关习的电现的嫉率很高.习愿美型行中等解答这和达姣性的花合眶.to：己知条抛物块通过©3.(4.6)四点.对移轴为X=求这条拍物线的都折代.J,考察用配僧族求物纹的顶点坳标,对解11、.次函数的极班.有关试题为酬答趣.已切拍物线.VOX(2)【点评】界济岫物践的位Trj系数b.C之间的美系,是处理问国的英雄.例2.已知二次的数y=ax'÷xk的图象与X轴交于点(-2.0).(x1.0).HKx,<2,与y轴的正半轴的交点在点(0.2)的下方.下列结论,+fev+<<a0>与X柏的两个交点的横坐标站一1.3.与y轴交点的纵坐标是一(1)确定他构我的解析式；(2)用配指能确定M构找的开口方向、对科:轴和in.坐标.5.考察代Ik与几何的琮合能力，常见的作为专超压轴题，【例题经典】由抛物线的内置确定系数的符“例1二次论数y=a+加+<的图性如图1.则或MS,与花()aA.第一象IHB.第：象IUC.第三象双D.第四象限<2>己知二次南效y=aS+bx÷c(a0)的图软如图2所示.WT11ife>a、b问号当x=1.和x=3时.函Ii侦相等；<3Ma÷b=0s当y=-2时.X的值只能取0.其中对的的个数处()A.I个B.2个C.3个D.4个(!><b<O12nc>Ot(SMn*c<Osi¾ab*1.>O,其中对的结论的个数为()AI个B.2个C3个D.4个答案：D会用府定彖软法求：次函数解析式例3.己知：有关X的兀二次方程axk+bx+c=3的种根为x=-2,11：次的数尸axbx+c的对称轴是直纹x=2.城枪物浅的顶点坐标为()A(2.-3)B.(2.1)C<2.3)D.(3.2)例1、(2023年邠台币如图<里位1nh等胧：角形般以2米/杪的速收沿口觐1.向正方形移动，OJBCDfR.Hix秒时，三例彩与正方形*受部分的面枳为yn.(1)巧HSy与X的关系式：(2)当尸2,3.5时，y分别是多少？(3)当或缺部分的面枳是正方形面枳的二分之.：角形带动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.15M5.已知瞅物奴y-±x"x-.mM用措施求它的加点坐标和对松林.(2)若该Itt构找与X轴的两个交点为卜H,求线区AH的长.【点评】本趣(1)是对次用致的“驻本插族一的母夔.第(2)问市卷号余次函tkj兀：次力村的关系.例6.已知：次函数尸“r-(b，1.)x-：如的图能通过点M1.,10).交X轴JA(,O),(X,O),(,<,).交y轴负半轴J1点,H满足3A0三0B.求:次函致的妍析式t2在二次函数的图断上与否存在.啦M,使脱角NMCo>48?若存在,请你求出M点的横坐标的取值范围:若不存在.请你阐明理由.解:如图Y拍狗线交X铀丁点A(x,.0).B(x2.0).A”一PJX,i=3<0,又.x"，”¢/Bi>0,x.<0.<30A=B.j1.f-3x.,x,=-3x,1=-3.x=1.XXO».x,=T.x：=3.二点A1.1.0).PGb】0)代入帆析式得解得a=2b=3.二次函数的解析式为y-2x-1.x-6.(2)存在点N使NMaKNAaI(2)«：点A有关y轴的对称点A'(1,0),.这燃A,C第析式为yR-6HftAC与弛物融交点为(0,63(5.24).二讦合题族的X的SiHi为T<x<0或0<x<5.当点M的横坐标满足-1Gig或(Kx<5时.MCO>ACO.M7.已知由tky=g2+尿+C的图象通过点A(c,-2).II求Wi这个二次1.ik图象的时林轴是X=3J超目中的矩形怅部分是段被架水污柒了无法识别的文字.(1>根据已切和结论中既行的伯息,你一否求出租中的二次函数解析式?若能,请写出求解过程.并画出二次函数图猊:若不能,谓网明理由.(2)请你根据已知有的佶息，在原88中的矩形框中，埴加一种合适的条件，把原卷，卜充完整，点评，Xti-5J(I)小趣,要根掂己知和结论中Kui信忠未出麴中的二次由数切析式.就卷杷本宋的结论“幽数图*的对称他是x=3"力作己知来用,再结合条件.阳就通过点A(c.-2)",就可以列出两个方程了.而解析式中只有两个未知数.因此可以求出Ie中的二次函tk解析或。对于弟42小题,只要给出的条件可以使求出的:次诵数解析式是第（1小题中的解析式也可以了.而从不一样的角度考虔可以添加出不样的条件.可以多虑将给图象上的种仔念点的坐标,可以给出顶点的坐标或。%标轴的种交点的坐标等.I解答1.（I）Hi«v=-+/，x+c的图象短过以A（c-2）,图能的对称轴是=3.M2-ci+Z>c+c=-2,2-A=3*2解明b=-3,c=2.2因此所求二次的数解析式为y=x2-3a-+2.图象如图M小.（2）在解析式中令r-o,W2-3x+2=0,解得x=3+5.t,=3-5.囚此可以m“M物线1.JX仲的种交点的电林是3、用,0）"*1jc-ftwX仲的一种交点的坐标是（3-v5,0）.令X=3代入解析式,Wy=-,因此拍物线y=g.d-3x+2的顶点坐标为（3,-1）,因此也可以填Itt物我的顶点坐标为（3,-?）等等，2函数理要关注：通ii小样的途径（图望.解析式等）泮解函数的群fW将性：情助多种现货背景理解函抵；将M数视为“变化过程中交笊之间关系”的数学模生：，戈透函数的思Sh关注的数与仃关知识的Jfttx,用：次函数处理最值何8S例I已知边长为4的正方形故去一种角后成为五边形ABQ）E如图），其中22,BF=1.试在AB上求一点P.使矩形PM）M有最大面积.【评析】本题是代数几何综合题.把相似三角形与:次的数的知识有机的结合在起.能粮好考察学生的综合应用能力.同步.也给学生探索鲫咫思绪困下/思维空间.M2某产品每件成本I。元，试销阶段每件产品的销件价X元）与产品的I1.销传Qy件）之何的关系如下我：X（元）152030Y（件）252010若H钠的My是铜件价X的一次函数.< 1>求出日第例Jity（件）与销代价X（元）的由敢关系式：< 2>要使用日的铜侑利润蚊大，短件产品的销包价应定为多少元？比时每日销仰利洞是多少元？I5k+b=25,【解析】<1）设此一次由数体现式为y=kH>.则（解得k=T.b=40.即次由数体现式为y=-x+40.2k+b=2O< 2>设何件产品的精仰价应定为X元所获馅仰利涧为W元B<x-10）（40-x）=-x,450x-100=-（x-25）,*225.产拈的精传价应定为25元.此时华H获得Ai大利件利润为225元.【点评】处理技低HIB应用JH的思绪与一般应用这类似.也行区划.重要有两点：（】设未知数在.”当某某为何（S时,什么最大（或时小、依各”的设豺中，-JftM"要设为自变量，“什么”要改为函数：（2）何的求解依托配搭值或次值公式，而不是解方程.例3.你舔行吗？平时我打在跳大痛时，斑眼到处麻处的形状可近似地衣为期物跋.如图所示，正在用题的甲、乙两Z学生食酒的户间距为4%跑地面均为加.学生丙.丁分别玷在距甲拿绳的不水平他离的身高足1.5«!.则学生丁的身Bi为（也立的平IRiJ（角坐标系（）.1.5mB.1.62511In.2.5m处.绳子在甩到舱痛处时刚好通过他们的头顶.已知学生内时,T如在图所示）甲广/2-T乙才r-，m.分析:本区考察:次图敷的应用势案：B2.T移规律在旧有函数的基础上“效正右移，负左移：A位正上移，负下移概括成八个字“左加右;或，上加下；成”.搭被ny=axz+6x+<沿y轴邛杵:向1：(F)jTfSwJ个的位.y=ax2+Ar+c攵成y=ax'+bx+c+n(,y=ax+bx+c-m)2>y-ax'+bx+c沿轴平移：向左(右)平移个冷位.y-ax'+bx+c变成y=(x+nr)j+/Kx+，)+c1或y=<(x-n)+b(x-in)+c)