二次函数与一元二次方程的关系.docx
二次函数与一元二次方程的关系青白江区人和学校彭足琼凡是学过初中数学的学生，你问他们初中数学中，最难的学问是什么？他们会不谋而合地说：“二次函数”。没错，不仅仅是学生觉得二次函数难，包括全部从事初中数学教学的一线老师也会有同样的感受。所以，怎样才能学好二次函数，成为了初中学生和老师最最苦恼的问题。二次函数之所以难，我认为二次函数难就难在函数本身就是一个比较抽象的学问，再加上二次函数有三个参数，比一次函数和反比例函数都多，还有就是二次函数的题目不仅仅考它本身的学问，它还可以把初中全部的代数和几何学问放入其中，可见，二次函数成为各个地区中考的压轴题变成了天经地义的事。既然二次函数题可以把初中全部的代数和几何学问放入其中，因此，把二次函数与其它学问紧密联系起来，是我们老师和学生必需驾驭的本事。这里，我就浅谈一下二次函数和一元二次方程的关系及怎样运用一元二次方程的学问来解决一些二次函数的题目，希望能给同学们和老师一点点启示和收获。1、二次函数与一元二次方程形式上的联系与区分。我们清晰的明白，形如：ax'bx+c=O（a、b、C为常数，且a=#0）的方程是一元二次方程，而形如：y=ax'+bx+c（a、b、c为常数，a0）是二次函数。仔细视察一元二次方程：ax'+bx+c=O（a、b、C为常数，且a0）和二次函数：y=ax'bx+c（a、b、C为常数，a0）,不难发觉，它们在形式上几乎相同，差别也只是一元二次方程的表达式等于0,而二次函数的表达式等于y0为什么会这样？主要是因为当二次函数中的变量y取。时，二次函数就变成了一元二次方程。2、二次函数与一元二次方程在二次函数图像上的关系。正是因为二次函数与一元二次方程在形式上的类似，使得二者在二次函数的图像上的关系特别亲密。二次函数的图像是一条抛物线,在求抛物线:y=ax+bx+c与X轴的交点坐标时，令y=0,即：ax'+bx+c=O,二次函数一下就变成了一元二次方程，再求出该方程的解，这个方程的解便是抛物线与X轴的交点坐标的横坐标。由于一元二次方程ax'bx+c=O的根有三种状况b'4ac>0时有两个不等的实数根；b2Yac=O时有两个相等的实数根y-4acVO时没有实数根，所以相应地：抛物线y=ax'bx+c与X轴的交点状况有3种：当b2-4ac>0时，抛物线与X轴有两个交点当b2-4ac=0时，抛物线与X轴有一个交点当b2-4ac<0时，抛物线与X轴有没有交点。因此，一元二次方程ax?+bx+c=O的解就是二次函数y=ax'+bx+c的图像与×轴的交点的横坐标；二次函数y=axi+bx+c的图像与X轴的交点状况与一元二次方程：ax,+bx+c=O的根状况有关。可见二者在二次函数的图像上的关系特别亲密。3、应用一元二次方程解决二次函数问题。正是因为一元二次方程与二次函数无论在形式上，还是在图形上，关系都非常紧密，所以在解决许多二次函数题时，常常都要应用一元二次方程的学问。这里，我就列举几个典型题：典型例题(1)：求证：二次函数y=32+(2m+3)x+2m2+1的值恒为正O分析：要证明该函数的函数值恒为正，只要能够证明到该抛物线的开口向上且与X轴没有交点即可，二次函数y=ax'bx+c中，当a>0时，图像开口向上；当b'4acV0时，抛物线与X轴没有交点。所以本题只需证明到a>0同时b2-4ac<0o证明：y=3×2+(2m+3)x+2m2+1363_=(2m+3)2-12(2m2+1)=-20Gn-历)2-5,.(m-0)23_3_20,-20(m-T)2WO,=-20(m-0)"VO,抛物线与X轴没有交点，.3>0,.抛物线开口向上，二.二次函数y=3x'(2m+3)+2m2+1的值恒为正.典型例题(2)：二次函数的图象过点(一1,0)、(3,0),且与y轴交于(0,3),求该二次函数的解析式。本题除了用二次函数的交点式和一般式来解外，还可以用一元二次方程的根与系数的关系，即韦达定理来解决该题。过程如下:设抛物线的解析式为：y=ax'+bx+c.抛物线与y轴交于(0,3),.c=3.Y二次函数的图象过点(-1,0)、(3,0),；.一元二次方程：ax'+bx+c=O的两个根为X万T.xz=3,3b_11=-1×3,a=-1,V-7=-1+3,b=2,二次函数的解析式为：y=-×2+2x+3典型例题(3):如图，已知抛物线y=?/-(k+2)+k.(1)试求k为何值时，抛物线与X轴只有一个公共点；(2)若抛物线与X轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴的负半轴交于点C,试问：是否存在实数k,使AAOC与ACOB相像？若存在，求出相应的k值；若不存在，请说明理由.!1分析：问题(1)抛物线yA-(k÷2)+k与X轴只有一个公共点，y=22(k+2)+k中=(),从而可以求出k的值。AOCO问题(2)若aAOC和ACOB中，当前一而时，则AAOC和ACOB相AOCO像；当而一而时，则AAOC和aCOB相像。AvB两点的横坐标就是一元二次方程5，一(k+2)+k=0的两个解，所以线段OA和OB可以用含k的代数式表示出来，从而建立方程可以把k的值求出来。详细步骤如下：解：(1)抛物线抛物线y=32-(k+5)x+k与<k+-)2-4×-×k=0-X轴只有一个公共点，.22(k-2)2=0,1.11k=2o(2)c(0,k)且kV0,OC=-k,2x2-(k+2)x÷k=0,T±J("2X=2,Vk<0,xt=2k,x2=1,0A=-2k,0B=1,当OCO-2k-kOCO而一而时，A0CB0C,丁一耳，k=-2；当而一而时，A0C<C0B.-k1,.k=-2,J.当k=-2或一2时ZkAOC和ACOB相像。通过上面的3个例子，你得到了什么启示，又有哪些收获？正是由于二次函数与一元二次方程有着亲密的关系，所以在解决二次函数问题时常常会应用二元一次方程的学问。我们肯定要牢牢驾驭好二次函数与一元二次方程的亲密关系，在面对二次函数时，奇妙的运用一元二次方程的学问来解决二次函数中的问题。
