二次函数中的存在性问题(含答案解析).docx

2018年8月4日初中数学试卷一、综合题(共9题；共135分)1. 如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M(-2,-4),及X轴交于A、B两点,且A(-6,0),及y轴交于点C.(1)求抛物线的函数解析式：(2)求AABC的面积:(3)能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P,使AAPC的面积最大？若能，恳求出点P的坐标；若不能，请说明理由.2. (2017乌鲁木齐)如图，抛物线y=ax'bx+c(a0)及直线y=x+1.相交于A(-1,0),B(4,m)两点，且抛物线经过点C(5,0).(2)点P是抛物线上的一个动点(不及点A、点B重合)，过点P作直线PD_1.X轴于点1).交直线AB点E.当PE=2ED时,求P点坐标;是否存在点P使ABEC为等腰三角形？若存在请干脆写出点P的坐标：若不存在，请说明理山.3. （2017赤峰）如图，二次函数y=axbx+c（a0）的图象交X轴于A、B两点,交y轴于点D,点B的坐标为（3,0）,顶点C的坐标为（1,4）.（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作X轴的垂线，交抛物线于点M,当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值：（3）在他物线上是否存在异J'B、D的点Q,使aBDQ中BD边上的高为2衣？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由.4. （2017广元）如图，已知抛物线y=a+bx+c过点A（-3,0）,B（-2,3）,C（0.3），其顶点为D.（1）求抛物线的解析式；<2）设点M（1,皿），当MB+MD的值最小时,求m的值:(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的个动点，求AAPC的面积的最大值：(4)若抛物线的对称轴及直线AC相交于点N,E为直线AC上随意一点，过点E作EF皿交抛物线于点F,以N,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由.5. (2017巴中)如图，已知两直线1.,1.分别经过点A(1,0),点B(-3,0)，且两条直线相交于y轴的正半轴上的点C,当点C的坐标为(0,<5)时，恰好有11_1.1.Z,经过点A,B,C的抛物线的对称轴及1.、h、X轴分别交于点G、E、F,D为抛物线的顶点.(1)求抛物线的函数解析式；(2)试说明DG及DE的数量关系？并说明理由；(3)若直线1.绕点C旋转时，及抛物线的另一个交点为M,当ZkMCG为等腰三角形时，请干脆写出点V的坐标.6. 如图,已知抛物线y=axbx+c(a0)的对称轴为直线x=-1.,且抛物线经过A(1,0),(2)在抛物线的对称轴X=-I上找点M,使点M到点A的距离及到点C的距离之和最小,求出点M的坐标:(3)设点P为抛物线的对称轴X-1上的个动点，求使ABPC为直角三角形的点P的坐标.7. 如图,抛物线y=axbx+c(a0)及X轴相交于A(-1,0),B(3,0),及y轴交于点(2)连接BC,点P为抛物线上第象限内动点，当ABCP面积最大时，求点P的坐标；(3)设点D是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q,使以点B,C,D,Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.8. (2017临沂)如图，抛物线y=a2+bx-3经过点A(2,-3),及X轴负半轴交于点B,及y轴交于点C,且OC=3OB.(1)求抛物线的解析式：(2)点D在y轴上，且NBDo=NBAC,求点D的坐标；(3)点N在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出全部符合条件的点V的坐标；若不存在，请说明理由.答案解析部分一、综合题1 .【答案】解：设此函数的解析式为y=a(x+h) 函数图象顶点为M(-2,-4),.*.y=a(x+2)-4.又Y函数图象经过点A(-6,0),0=a(-6+2)2-4解得a=”.此函数的解析式为y=:(x+2)i-4,即y=：x2+x-3；(2)解：丁点C是函数y=：x2+x-3的图象及y轴的交点， 点C的坐标是(0,-3),乂当y=0时，有y=«x2+x-3=0,解得x=-6,xr=2. 点B的坐标是(2,0),则S.0=gAB|0C=g×8×3=12;(3)解：假设存在这样的点，过点P作PE_1.x轴于点E,交AC于点F.设E(x,0),则P(x,1x2+x-3),4设直线AC的解析式为y=kx+b,Y直线AC过点A(-6,0),C(0,-3),._6好片。，解得T,1 -3=fcfb=-3.直线AC的解析式为y=-1x-3,.点F的坐标为F(x,-1x-3),则IPF1.=_gx-3-(Jx2+x-3)=-JX2-三X,"Sau1.Saaiy+Sw=1iPFAE+gPFiOE=1IPF0A=1(-1x2-x)×6=-2-2x=-2(x+3)2+”，2 2424244.当*=-3时，SAW有最大值.此时点P的坐标是P(-3,-.【考点】二次函数的应用【解析】【分析】(1)依据顶点坐标公式即可求得a、b、C的值，即可解题：(2)易求得点B、C的坐标，即可求得OC的长，即可求得ZABC的面积，即可解题：(3)作PE_1.X轴于点E,交AC广点F,可将AAPC的面积转化为AAFP和aCFP的面积之和，而这两个三角形有共同的底PF,这一个底上的高的和又恰好是A、C两点间的距离，因此若设设E(x,0),则可用X来表示AAPC的面积，得到关广X的一个二次函数，求得该二次函数最大值，即可解题.2.【答案】(1)解：点B(4,m)在直线yr+1.上，.'.m=4+1.=5»B(4,5),把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得a-bAc=0c,解得«=->.16+4b+c=5(=425a+Sb+c=0C=S.抛物线解析式为y-x2÷4x+5(2)解：设P(x,-x2+4x+5),则E(x,x+1.),D(x,0),则PE="x'+4x+5-(x+1.)三-xz+3x+4.DE=x+1.I,VPE=2ED,.,.I-x1.+3x+4=2x+1.,当.3x+4=2(x+D时,解得x=-1.或x=2,但当X=-I时,P及A重合不合题意，舍去,.P(2,9)；当-X'3x+4=-2(x+1.)时，解得x=-1.或x=6,但当X=-I时，P及A重合不合题意，舍去，.P(6,-7)；综上可知P点坐标为(2,9)或(6,-7)；设P(x,-+4x+5),则E(x,x+1.),且B(4,5),C(5,0),BE=(x-4y+(x+1.-5)*=eX-4,CE=(x-5),+(x+iy=2x,-8x+26，BC=(4-5),+(5-0/=S6，当ABEC为等腰三角形时，则有BE=CE、BE=BC或CE=BC三种状况，当BE=CE时，则Wx-4=-8+-26，解得X=2,此时P点坐标为(：，):当BE=BC时，则zX-4|=,解得x=4+vT3或x=4-8，此时P点坐标为(4+11，-411-8)或(4-11»411-8)；当CE=BC时，则2-8X+26=v1.26解得X=O或x=4,当x=4时E点及B点重合，不合题意,舍去，此时P点坐标为(0,5)；综上可知存在满意条件的点P,其坐标为(”小)或(4+11，-48-8)或(4-/，411-8)或(0,5)【考点】二次函数的应用，及二次函数有关的动态几何问题【解析】【分析】(1)由直线解析式可求得B点坐标，由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式：(2)可设出P点坐标，则可表示出E、D的坐标，从而可表示出PE和ED的长，由条件可知到关于P点坐标的方程，则可求得P点坐标；由E、B、C三点坐标可表示出BE、CE和BC的长，由等腰三角形的性质可得到关于E点坐标的方程，可求得E点坐标，则可求得P点坐标.3 .【答案】(1)解：V抛物线的顶点C的坐标为(1,4),.可设抛物线解析式为y=a(X-I)a+4,:点B(3,0)在该抛物线的图象上,0=a(3-1)44,解得a=-I,.抛物线解析式为y=-(X-I)M,即y=-x2+2x+3,I点D在y轴上，令x=0可得y=3,.D点坐标为(0,3),.可设直线BD解析式为y=kx+3,把B点坐标代入可得3k+3=0,解得k=1，直线BD解析式为y=-x+3(2)解：设P点横坐标为m(m>0),则P(m,-m+3),M(m,-ma2m+3),.'PM=-m+2m+3-(-m+3)="11+3m=-(m-£)+?,24.当m=时，PY有最大值；(3)解：如图，过Q作QGy轴交BD于点G,交X轴于点E,作QH_1.BD于H,设Q(X,-X2x+3),则G(X,-x+3),AQG=I-x+2x+3-(-x+3)=-x'+3x,YABOD是等腰直角三角形，ZDBO450,ZHGQ=ZBGE=45o,当ABDQ中BD边上的高为2&时，即QH=HG=2",QC=&X2#=4.）-x'+3x=4,当-X3x=4时，=9-16<0,方程无实数根，当-xi+3x=-4时，解得X=-ISgx=4,.Q（-1,0）或（4,-5）,综上可知存在满意条件的点Q,其坐标为（-1,0）或（4,-5）【考点】二次函数的应用，及二次函数有关的动态几何问题【解析】【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD解析式：（2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）过Q作QGVy轴，交BD于点G,过Q和QH_1.BD于比可设出Q点坐标,表示出的的长度，由条件可证得ADHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标.4 .【答案】（1）解：将A,B,C点的坐标代入解析式，得90-3b+c=0,（4-2h+c=3c=3解得?=-1,Ib=-2c=3抛物线的解析式为y=-X2-2x+3（2）解：配方，得y=-（x+1.）'4,顶点D的坐标为（-1,4）作B点关于直线x=1.的对称点B',如图1贝IB'(4,3),由(1)得D(-1,4),可求出直线Dir的函数关系式为y=-(x+£，当M(1,m)在直线DM上时，MN+MD的值最小,则m=-1X1.+22=15.555(3)解：作PEJ_X轴交AC于E点，如图2AC的解析式为y=x+3,设P(m,-m-2m+3)»E(m,m+3)»PE=-m-2m+3-(m+3)=-m-3mStc=1PEIx)=1(-m-3m)×3=-2(m+)+,当m=-2时，APC的面积的最大值是二28(4)解：由(1)、(2)得D(-1,4),N(-1,2)点E在直线AC上，设E(X,x+3),当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F(x,-2x+3),VEr-=DN-x:-2x+3-(x+3)=4-2=2,解得，x=-2或x=-1(舍去)，则点E的坐标为：(-2,1).WI点E在线段AC(或CA)延长线上时，点F在点E下方，则F(x,-2x+3),VEF=DN,(x+3)-(-x2-2x+3)=2,解得X=或X=T-E，22即点E的坐标为：(d11,匕W)或(-3-g,3j11)-2-2-2-2-综上可得满意条件的点E为E(-2,1)或：(土，2E)或(二卫，匕)2222【考点】二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用，三角形的面积，轴对称-最短路途问题【解析】【分析】(1)依据待定系数法，可得答案.(2)利用轴对称求最短路径的学问，找到B点关于直线x=1.的对称点B',连接B'D,IrD及直线x=1.的交点即是点M的位置，继而求出m的值.(3)依据平行于y轴的直线上两点间的距离很大的纵坐标减去较小的纵坐标，可得PE的长，依据三角形的面积，可得二次函数，依据二次函数的性质，可得答案.(4)设出点E的坐标，分状况探讨；当点E再线段AC上时，点F在点E上方；当点E再线段AC(或CA)延长线上时，点F在点E下方，依据平行四边形的性质，可得关于X的方程，继而求出点E的坐标.5.【答案】解:设抛物线的函数解析式为y=axbx+c.Y点A(1,0),点B(-3,0),点C(0,乖)在抛物线上，；n+c=，解得a=力，90-3+c=03C=FU=-Wc=3抛物线的函数解析式为y=-乎/-（2）解：DG=DE.理由如F：设直线1.的解析式为y=kx+b,将（1,O）,C（0,&）代入，解得y=-Gx+5;设直线1.的解析式为y=k,x+bz.将B（-3,0）,C（0,串）代入，解得y=乎x+<5;Y抛物线及X轴的交点为A（1,0）,B（-3,0）,.抛物线的对称轴为直线x=-1.,又Y点G、D、E均在对称轴上，G（-1,2/）,D（-1,孚），E（-1,苧），DG=2点-竺=型，DE=型-把=及，、TVVTDC=DE;（3）解：若直线1：绕点C旋转时，及抛物线的另一个交点为M,当ZiMCG为等腰三角形时，分三种状况：以G为圆心，GC为半径画弧交抛物线于点孙、C,点孙及C关于抛物线的对称轴对称，则M；的坐标为（-2,平）；以C为圆心，GC为半径画弧交抛物线于点也、Mj,点出及点A重合，点A、C、G在一条直线上，不能构成三角形，M：,及M1.重合；作线段GC的垂直平分线，交抛物线于点防、Ma,点虬及点D重合，点D的坐标为（-1,竽），M及W重合：综上所述，满意条件的点M只有两个，其坐标分别为（-2,4）,（-1,挚）.【考点】待定系数法求次函数解析式，二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用，及二次函数有关的动态几何问题【解析】【分析】(1)设抛物线的函数解析式为y=ax%bx+c.分别将A(1,O),B(-3,0),C(0,平)三点坐标代入得到一个三元次方程组，解之即可得到抛物线解析式.(2)DG=DE.分别求出过A(1,0),C(0,3)两点的直线1.的解析式为y=-/x+/：过B(-3,O),C(0,3)两点的直线1.的解析式为y=更x+5；由二次函数的性质和已知条件求出DG和DE的长度即可.(3)若直线1.绕点C旋转时，及抛物线的另一个交点为M,当aMCG为等腰三角形时，分三种状况：以G为圆心，GC为半径画弧交抛物线于点MY-2,5)；以C为圆心，GC为半径画弧交抛物线于点比、M,:作线段GC的垂直平分线，交抛物线于点M,、6.【答案】(1)解：依题意得：-1=.1,(+h+c=0c=3解之得：«=-*(h=-2c=3，抛物线解析式为y=-2+3:对称轴为x=T,且抛物线经过A(1,0),.把B(-3,0)、C(0,3)分别代入直线y=mx+n,得-3m+n=0,In=3解之得：严=!,in=3直线y=mx+n的解析式为y=x+3(2)解：设直线BC及对称轴X=T的交点为M,则此时MA+MC的值最小.把x=7代入直线y=x+3得，y=2,M(-1,2),即当点M到点A的距离及到点C的距离之和最小时M的坐标为(-1,2)(3)解：如图:设P(-1,t),又YB(-3,O),C(0,3),.BC'=18,PB'=(-1+3)2+tM+t2,PC2=(-1)2+(t-3)s=tj-6t+10,若点B为直角顶点，则BC'+PBMV即：18+4+t2=-6t+10解之得:t=-2：若点C为直角顶点，则BCWU=PB?即：18+-61.+10=4+。解之得:=4,若点P为直角顶点，则PBaPe=Bd即：4+t'-6t+10=18解之得：t=3+11,t?=上电；22综上所述P的坐标为(-1,-2)或(-1,4)或(-1,匕口)或(T,匕竺).22【考点】二次函数的应用，二次函数的实际应用-动态几何问题【解析】【分析】先把点A,C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b,c的关系式，再依据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a,b,C的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n,解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式：设直线BC及对称轴X=-I的交点为M,则此时MA+MC的值最小.把X=T代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标:设P(-1,t),又因为B(-3,0)，C(0,3)，所以可得BCJ1.8,PB=(-1+3)z+tM+ti，PC2=(T),(1.-3)2=t2-6t+1.0,再分三种状况分别探讨求出符合题意I值即可求出点P的坐林.7 .【答案】(1)解：设抛物线解析式为y=a(x÷1.)(x-3),把C(0,3)代入得a1.(-3)=3,解得a=-1,所以抛物线解析式为y=-(x+1.)(x-3),即y=-x'2x+3解:设直线BC的解析式为广kx+m,把B(3,O),C(0,3)代入得ri1.c+m=o,所以直线BC的解析式为y=x+3,作PMy轴交BC于虬如图1,设P(X,-x2+2x+3),(0<x<3),则M(x,-x+3),PM=-x2+2x+3-(-x+3)=-x,Sg=13PM=-X2+2="(x-£)i+,222228当X=3时，ABCP的面积最大，此时P点坐标为(3，?)(3)解：如图2,抛物线的对称轴为直线x=1.,当四边形BCDQ为平行四边形，设D(1,a),则Q(4,a-3),把Q(4,a-3)代入y=-x2+2x+3得a-3=-16+8+3,解得a=-2,AQ(4,-5)：当四边形BCQD为平行四边形时，设D(1,a),则Q(-2,3+a),把Q(-2,3+a)代入y=-x-+2x+3得3+a=-4-4+3,解得a=-8,.Q(-2,-5)：当四边形BQCD为平行四边形时，设D(1,a),则Q(2,3-a),把Q(2,3-a)代入y=-x2+2x+3得3-a=-4+4+3,解得a=0,.,.Q(2,3),综上所述，满意条件的Q点坐标为(4,-5)或(-2,-5)或3).【考点】二次函数的应用，及二次函数有关的动态几何问题【解析】【分析】(1)设交点式y=a(x+1.)(X-3),然后把C点坐标代入求出a的值即可得到抛物线的解析式；(2)先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=-x+3,作PMy轴交BC于M,如图1,设P(x,-x2+2x+3),(OVXV3),则M(x,-x+3),利用三角形面积公式得到；.Sd“=；3PM=-IX2+2,然后依据二次函数的性质求解：(3)如图2,分类探讨：当四边形BCDQ为平行四边形，设D(1,a),利用点平移的坐标规律得到Q(4,a-3),然后把Q(4,a-3)代入y=-x%2x+3中求出a即可得到Q点坐标；当四边形BCQD为平行四边形或四边形BQCD为平行四边形时，利用同样方法可求出对应Q点坐标.8 .【答案】(1)解：由y=ax1bx-3得C(0.-3),.0C=3.V0C=30B>OB=1.B(-1,0),把A(2,-3),B(-1,0)代入y=axtbx-3得f*+-3=-3,1.-b-3=0.*.=1.，U=-2.抛物线的解析式为y=x'-2x-3(2)解：设连接AC,作BF1.AC交AC的延长线于F,VA(2,-3),C(0.-3),，AFx轴，F(-1,-3),.BF=3,AF=3,.*.ZBAC=45,设D(0,m),则OD=Im,：ZBDO=ZBac,ZBDO450,AOD=OB=I,imI=I,.*.m=±1,D1.(0,1),D?(0,-1)(3)解：设M(a.a2-2a-3),N(1,n),以AB为边，则ABMN,AB=MN,如图2,过M作ME_1.对称轴y于E,AF_1.X轴于F,则4ABFgZkNME,NE=AF=3,ME=BF=3,a-1|=3,.a=3或a=-2,M(4,5)或(-2,11)；以AB为对角线,BN=AM,BN矶如图3,则N在X轴上，M及C重合，M(0,-3),综上所述，存在以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形，M(4,5)或(-2,ID或(0,-3).【考点】二次函数的图象，二次函数的性质，二次函数的应用【解析】【分析】(1)待定系数法即可得到结论；(2)连接AC,作BF_1.AC交AC的延长线于F,依据已知条件得到AFx轴,得到F(-1,-3),设D(O,m),则OD=Im即可得到结论：(3)设M(a,a'-2a-3),N(1,n),以AB为边，则AB肺，AB=MN,如图2,过M作ME_1.对称轴y于E,AFIX轴于F,于是得到ABF刍ANM于证得NE=AF=3,ME=BF=3,得到M(4,5)或(-2,11)；以AB为对角线，BN=AM,BN7M,如图3,则N在X轴上,M及C重合，于是得到结论.