二次函数分类知识点、考点、典型例题及练习.docx

二次函数分类学问点、考点、典型例题及对应练习«9I二次函数的低念例1（基础）.二次函数y=-3/-6x+5的图像的顶点坐标是（）A.（-1,8）B.<1,8）C（-1,2）D<1,-4>点拨：本网主要考察：次函数的顶点坐标公式例2.（拓展，2008年武汉市中考感，12）下列命题中正确的是若4-4ac>0.则二次函数y=ax*+bx+c的图轨与坐标轴的公共点的个数是2或3若1.-4aC=0,则二次函数y=a2+bxr的图象与X轴只有一个交点，且这个交点就是抛物纹顶点。当C=一5时，不论b为何（ft,他物纹y=ax?+bx+c肯定过y轴上肯定点.G）若抛初纹y=a-+bx+c与X轴有唯一公共点，则方程axbx+c=。有两个相等的实数根>若抛物线y=axbx+c与X轴。两个交点A、B,与y轴交于C点，c=4,Sabc=6,则施物线解析式为y=x2-5x+4t,若抛物线y=a-+bx+c<a0）的顶点在X轴下方.则一元二次方程a+bx+c=O有两个不相等的实数根.若拗物战y=ax*bx+c（a关0）羟过原点，则一元：次方程a（+bx+c=O必有一根为0.若ab+c=2则他物线y=a2+bg（a0）必过肯定点.若1.V3ac,则拗物线y=ax2+bx+c与X轴肯定没有交点.若元二次方程a-+bx+c=O有两个不桁等的实数根,则函数y=c-+bx+a的图象与X轴必有两个交点，若b=0,则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点一个在原点左边，一个在原点右边。点拨：本超主要考查二次函数图象及其件侦,一元二次方程根与系数的关系.及二次函数和一元二次方程二者之间的联系.攵习时，抵住系数a、h、C对图形的影响的基本特点,提升学生的数形结合实力，抓住拗物线的四点,轴与方程的关系，训练学生对函数、方程的数学思想的运用。2二次函数的性旗例3若二次函数y=0+力x-4的图像开口向上，与X轴的交点为（4,0）,32,0）知，此拊物践的对称轴为出线x=1.此时X1=一1.q=2时,对应的y,与）-2的大小关系是（>A.y1<yB.y=y1C.y>yjD.不确定点拨：本遨可用两种解法解法I：利用：次函数的劝称性以及拗物线上函数值y随*的改变规律确定；a>0时，撇物观上越远离对称轴的点对应的函数侑越大：a<0时，拊物线上越张近对称轴的点对应的函数侑越大解法2：求值法B将已知两点代入函数解析式,求出a.b的值一把一坐标值代入求出力与它的位.进而比较它们的大小【举一反三】变式I：已知（2.功）.（3.%）二次函数y=-X2+2.x+w上两点.试比较%与生的大小变式2：己知（O,t7i）.（3.<7,）二次函数y=-X2+2.v+mJt两点,试比较彷与生的大小变式3：已知二次函数y=+极+，”的图像与y=-X2+2x+m的图像关于y轴对称，（-2.qJ,（-3.公）是前者图像上的两点试比较q与电的大小题型3二次函数的图像例4如图所示，正方形ABCD的边长为10,四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上，H.它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直，若小正方形的边长为X,R（Xx10.阴彤部分的面积为y.则能反映y与X之间的函数关系的大致图像时（>«94二次函数图像性朋（共存问、符号问）例5、（2009湖北省荆门市函数产公+1,y=W-+fex+1.<0）的图象可能是（）点拨：本题考查函数图象与性质，当>0时,H找从，丫向右是上升的抛物线开”向上.D足惜的,南数yraxe11.j=r÷hx÷I（>>的图象必过<01）.所以C是正确的.故选C.例6已知=次函数y=a2+bx+c的图象如图.则下列5个代数式：ac.4a-2b+c.2a+b,2a-b中，其值大于O的个数为（）a+b+c.A.2B3C、4D、5点按：本题考查二次函数图像性质.a的符号例开口方向确定,b的符号由对林轴和a共同确定,C看其与y轴的交点坐标,a-b÷c,4a-2b÷c存x取某个特别值时y的值可从图像中直观发觉«95二次函数的平移例74抛物税），=2.V向下平移I个单位，得到的拈物税地<>A.y=2（x+1.）2B.y=2（x-1.）2C,y=2x2+1D.y=2x2-«96二次函数亶用«1售利滔类问题例8某商品的进价每件为50元,现在的售价为每件60元,每星期可卖出70件,市场调查反映：假如何件的售价每涨IO元（售价每件不能高于140元），那么每星期少卖5件,设每件涨价X元（X为IO的正整数倍），好周销售业为y件。<1>求y与X的函数关系式及自变量X的取值范用。<2）如何定价才能使每周的利涧最大且每周的量较大？秘周的最大利润是多少？点拨：销售总利洵=销竹收x（售价-进价）本类题上要考杳学生用二次函数学问蜂决实际何国中的最值问题如最大利润'Ai大面枳、材料景值、时间最少，效率最高势间即），及函数门变量取值对最低的约束等学问。习时用意，自变量的取值限制条件:如正整改倍，非负按数倍,自然数倍,2的整数倍等条件的限制.JKSt7二次函数与几何图形瀛合（面枳、动点I例9已知二次函数y=0+6+c（w）的图象经过点A（1.,0）,BQQ）,C（0.-2）,直线x=，（n>2）与X轴交于点。.（I）求：次函数的解析式：（2）在直城.r="?（加>2）上有一点£（点£在笫四象限）,使得E8为顶点的三角形与以4O、C为顶点的三角形相像,求E点坐标（用含团的代数式发示）：（3>在（2）成立的条件下，拊物戏上是否存在一点F,使得四边形AeE户为平行四边形？若存在，息求出，"的值及四边形A跳尸的面枳；若不存在，请说明理由.点拨,本类跑主要考察：次函数发达式的求法，：次函数与几何学问的运用。面广，学问综合性强,更习时要荷水深究点、城、面中所包含的脱含条件，要用运动、发展、全面的观点去分析图形，井留意到图形运动过程中的特别位置.【基础达标训练】一、选择遨1.(2009年四川省内江TIj)枪物纹F=(X-2)2+3的顶点坐标是(A.(2,3)B.(-2.3)C.(2.-3)D-<-2,一32. (2009年桂林市、百色市)二次函数y=(.r+1)2+2的最小值是().">A.2B.1C.-3D.-33. (2009年上海市)购物城£=2(x+加f+”(，小”是常数)的顶点坐标是)A.(m,)B.(T)C.(1-)D.(一,)4. (2009年陕西省)依据下表中的二次函数y=M+6+c的自变量X与函数尸的对应心可推断二次函数的图像与X轴0y1.只有一个交点B.有两个交点,且它们分别在y轴两O1.C.有两个交点，且它们均在y轴同IW5 .已知二次函数y=+6+c("/0)的图象如图所示，则下列结论:方程“/+5r+c=0的两根之和大于0：yfix的增大而增大：a-b+c<O,其中正确的个数CA.4个B.3个C2个D.1个6 .二次函数y=d+hr+c的图象如图2所示，若点A(1,>).B<2,y2>是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是<)A.y<y2B.v三y2C.,v>y2D.不能确定7 .(2009烟台市)二次函数y="+五c+c的图象如图所示,则一次函y=Ar+"-4“<-与反比例函数，=-+/，+-在同一坐标系内的图象大致X数为图78. (2009年台湾)向上放射一枚炮弹,经X秒后的高度为，公尺，且时间与高度关系为)=uj加，若此炮弹在第7秒与第14杪时的高度相等,则再下列哪一个时间的高度是最高的？（八）第8秒(B)第IO秒(C)第12秒(D)第15秒.9.(2«»年南充)效物线y=(x+IXx-3)(«0)的对称轴是出线<)A.X=IB.X=-IC.x=-3D.=310. <2009年遂宁)把二次函数y，X：-X+3用配方法化成y=«(x-Af+£的形式4A.=-1(-2)2+2B.y=1.(x-2):+4&y=-?.t+2+4D.ya,2-1)+3二、填空邈11. (2009年甘肃庆阳图6(I)是一个横断面为搬物线形态的拱桥，当水面在/时，拱顶(拱桥门的出玛点)离水面2m,水面宽4m.如图6(2)建立平面直角坐标系，则枪物我的关系式是12. (2009年上海市)把拊物税y=ax2*bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位,所得的图象的解析式是y=x3-3x+5.则a+b-r=13. (2009年淄烽市)请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式.过点(3.1)：当X>0时，y叨X的增大而减小：当自变崎的值为2时，函数值小于214. (2009年费底如图7,。的半径为2,G是函数、=1.r的图象，Q是函数、=!/的图纹，则阴22影部分的面积是.tt715. （2009白收市）抛物线V=t'+m+C的部分图望如图8所示.与其关系式、图象相关的2个正确结论；，.（对称轴方程，X1.E半轴、y轴交点坐标例外）图8.请写出图象与16. （2009年包头）将一条长为20cm的铁丝彩成两段，并以堤一段铁丝的长度为周长各轴成一个正方形,则这两个正方形面积之和的最小值是cm2.17. <2（）09年黄石市若他物线y=aP+心+3与y=-x'+3x+2的两交点关于原点对称.则。、分别为.2、y=-a18、（2009年兰州）二次函数3的图思如图12所示，点AO原点,点A,AUm在y轴的正半轴上，点优，2,Rry=-'巧，勺在二次函数3位于第一象限的图象上，若A&A*&&A,，A21KO6O（Ojim都为等边三角形，则Am/WAXIS的边长=三、解答遨19.（2009年内蒙占包头某商场试销种成本为每件6（）元的服装,规定试销期间销何单价不低了成本尔价，且获利不得高于45%,羟试销发觉，销代属），（件）与销售单价X（元>符合一次函数y=H+8，I1.X=65时，y=55：x=75时，y=45.（1）求一次函数,Y=阮+/，的表达式：（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价X之间的关系式：销传单价定为多少元时，Ifii场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于SOO元，试确定销售单价X的范困.20.(安徽省)心理学家发觉,学生对慨念的接受实力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满意函数关系：y=-O.1.x2+2.6x+43(O<x<3O)y值越大,表示接,受实力越强.U)X在什么莅围内，学生的接受实力逐步增加？X在什么范围内，学生的接受实力逐步降低？(2)第IO分时，学生的接受实力是什么？(3)第几分时,学生的接受实力最强？第23时图22.拊物线>=-2x-3与X轴交a、B两点(A点在B点左侧)，H线,与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2.(1)求R、B两点的坐标及真线AC的函数去达式；(2)P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物战于E点，求城段PE长度的最大值：(3)点G是地物线上的动点,在X轴上是否存在点F,使A、C.F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？悔如存在，求出全部满意条件的F点坐标：假如不存在,请说明理由.【实力提高训练】23.如图，在平面直角坐标系中放置始终角三角板，其顶点为4-10),(0.3).0(0.0),将此三角板绕原点O顺时针旋转90°,得到4NBO.(1)如图，一拊物战经过点A、B、&，求该她物战解析式;(2)设点P是在第一象双内他物线上一动点，求使四边形P8.A&的面枳达到最大时点P的坐标及面枳的最大值.24. （12分）如图1.在平面直角坐标系Xoy中,二次函数y=ax'+bx+c（a>0）的图象顶点为D,与y轴交于点C,与X轴交于点A、B.点A在原点的左侧，点B的坐标为（3.O）.OB=OC,tanZACO=-.（1）求这个二次函数的解析式：（2）若平行于X轴的直线与该地物线交于点M、N,且以MN为直径的网与X轴相切，求该园的半径长度：（3）如图2,若点G（2,y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的效物线上的一动点，当点P运动到什么位置时，AAGP的面枳最大？求此时点P的坐标和ZAGP的以大面枳.25. （2009年湖南长沙）为了扶持高校生自主创业,市政府供应/80万元无息贷款.用于某高校生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品，弁约定用该公司羟首的利娟逐步偿还无息贷款.已知该产品的生产成本为姆件40元，员工加人期月的工资为2500元，公司每月需支付其它戏用15万元.该产品期月销售埴y（万件）与销作单价X（元）之间的函数关系如图所示.（1）求月销科fit,（万件）与的售单价X（元）之间的函数关系式：（2）当销竹单价定为50元时，为保证公司月利润达到5万元（利润=销值额一生产成本一员工工资一具它费用），该公司可支配员工多少人？（3）若该公司有80名员工，则该公司最早可在几个月后还清无息贷款？26. 如图，PI角梯形ABCD中，ADBGNABC=90"，已知AD=AB=3,BC=4.动点P从B点动身，沿城段BC向点C作匀速运动：动点Q从点D动身.沿线段D向点作匀速运动.过Q点垂出于RD的射线交AC于点M,交Be于点N.P、Q两点同时动身，速度都为每秒1个IR位长度.当Q点运动到A点,P、Q两点同时停止运动.设点Q运动的时间为I杪.求N3MC的长（用I的代数式表示）：（2）当t为何值时.四边形PCDQ构成平行四边形？（酚是否存在某一时刻，使射线QS恰好将AABC的面枳和刷长同时平分？若存在，求出此时t的值：若不存在,请说明理由：（Q探究：1为何彼时，APMC为等腰三角形？(ffi25Sff1.)专题一：二次函数的图象与性质本专题涉及二次函数概念,二次函数的图象性质，物物线平移后的表达式等.试造多以埴空题、选择造为主也有少量的解答麹出现.考点1.二次通数图象的对称轴和蹊点坐标二次函数的图象是一条抛物线,它的对称轴是直线X-.顶点坐标是.4a-b-）.2a2a4«例1已知.在同始终角坐标系中,反比例函数）=与二次函数y-+2x+c的图像交于点X4（-1.w）.（1）求用、C的值；（2）求二次函数图像的对林轴和顶点坐标.考点2拗物线与a、b、C的关系抛物线y=af+bx+c中，当a>0时，开口向上，在对称柏X=-A的左侧y随X的增大而减小，在对称2«轴的右侧，y1.¾x的增大而埴大；当a<O时，开口向下，在对林粕的右恻，ySf1.x的增大而埴大，在对称轴的右侧yKX的增大而减小.y例2已知y=+布的图象如图1所示，则y=ax-8的图象行定过（）A.第一'二、三象限B.第一、二、四象限C.其次、三、四象限D.第一、三、四象限考点3.二次函数的平移当kX)(k<0)时,抛物线y=ax2+k<a0)的图©可。抛物线y=2向上(或向卜)平移IkI个。位得到;当h>()(h<0)时，附物绞尸1<x-h)2(a0)的图©可由弛物税y=a向右(或向左)平移Ih1.个通位得到.例3把她物线y=32向上平移2个单位.得到的枪物线是()A.y=3(x+2)2B.y=3(x-2)2C.y=3x2+2D.y=3x2-2专题练习一1 .对于抛物线y=-g2+g-与,下列说法正确的是()A.开口向下，顶点坐标为(5,3>B.开口向上，顶点坐标为(5,3)C开口向下，顶点坐标为<-5.3>D.开口向上,顶点坐标为(-5.3)2 .若拗物线y=J2x+c与y轴的交点为(0,-3),则下列说法不正确的是A.微物线开口向上B她物税的对称轴是X=IC当X=I时，y的最大值为4D.他物线与X轴交点为(-1.0).<3,0)3 .将二次函数y=2的图象向左平移I个堆位匕度，再向下平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是.4 .小明从图2所示的：次函数y="d+尿+c的图象中，视察得出了卜面八条信思：t<0:Z>c>0;”一力+0()：助一动=0：。-劭>0，你认为其中正确信息的个数有.(填序号>专题发习二，二次函数表达式的确定本专理E要涉及二次函数的三种表示方法以及依据题目的特点敏捷选川方法确定：次函数的表达式.胞型笠以解答题为匚考点1.依据实际问题模型确定二次函数表达式例I如图I,用一段长为30米的篇笆围成一个一边靠墙(墙的长我不限的矩形菜园ABCD,设由8边长为*米，则菜园的面枳S(单位：米2>与X(单位：米)的函数关系式为(不要求写出自变录X的取做莅困.考点2.依据Ii物线上点的坐标Ii1.定二次函数表达式1.若已知地物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax2+bx+c(a0):2 .若己知她物线的顶点坐标或最大(小)值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式：y=a(x-h)0k(a0):3 .若已知抛物线与X轴的两个交点坐标及另一个点,则可用交点式：y=a(x-x,><x-x2)(a0).例2已知她物线的图象以A(-1.4)为顶点,且过点B<2.-5).求该效物线的表达式.例3已如一抛物线与X轴的交点是A(-2.0)、B(1.0),且经过点C(2.8).(1)求该附物线的解析式：(2)求该拊物tU的顶点坐标.专项薛习二1.1.I1.于世界金瞅危机的不断扩散,世界经济受到严竣冲击.为了盘活资金.削减损失.某电零商场确定对某种电视机连续进行两次降价,若设平均辩次降价的百分率是X,降价后的价格为y元，脱价为a元，则y与X之间的函数表达式为()A.y=2a(x-1.)B.y=2a(1.-x>C.y=a(1.-x2)D.y=a(1.-x)22 .如图2,在平而且角坐标系XOy中，拊物践y=xbx+c与X轴交于A、B的点，点A在X轴鱼半轴，点B在X轴IE半轴，与y轴交于点C,且IanZACO=,CO=BO.B=3.则这条抛物战的函数解析式是.3 .对林轴平行于y轴的她物线与y轴交干点(0.2).且x=1.时,y=3tX=I时y-1.求此她勃线的关系式.4 .推理运算：二次函数的图象经过点八(0,-3),(2.-3),C(TQ).(1)求此二次函数的关系式:（2）求此二次函数图皱的1贪点坐标：（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向或少平移个单位使得该图取的璐点在原点.三=.二次函数与一元二次方程的关系本专避主要涉及依据二次函数的图象求一元二次方程的近似粮,由图象推断元二次方程极的状况.由一元二次方程根的状况推断抛物线与X轴的交点个数等，翅型主要埴空即、选择题和解答题.考点1.依据二次函数的自交量与函数值的对应值，确定方程根的范围一元：次方程a2+by=0就是二次函数y=ax2+bx+c当函数y的值为0时的状况.例!依据卜列表格中二次的数y=axbx+c的自变型X与函数值），的对应值，推断方程uS+bx+c=O（aO,a,b,c,为常数）的一个解X的范用是<）X6.176.186.196.20y=ax2+限+c-0.03-0.010.020.04A.6<<6.17B.6.17<<6.18C.6.1.8<.v<6.19D.6.I9<X<6.2O考点2.依据二次画数的图革确定所对应的一元二次方程的根.二次函数y=a+bx+c的图象与X轴的交点有三种状况：有两个交点、一个交点、没有交点；当：次函数y=a2+bx+c的图象与X轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变埴X的值，即一元二次方程a+by=O的根.例2已知二次函数y=-43x+m的部分图段如图I所示，则关于X的一元二次方程x2+3x+m=O的解为.考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的状况当二次函数y=a-+bx+c的图象与X轴有两个交点时，则一元二次方程a-+bx+c=O有两个不相等的实数根：当二次函数y=a+bx+c的图象与X轴有一个交点时,则一元二次方程a+by=O有两个相等的实数根；当二次函数y=a+bc的图象与X轴没有交点时，则一元二次方程axj+bx+c=O没有实数根.反之亦然.例3在平面I1.角坐标系中，微物线F=Y-I与工轴的交点的个数是（）A3B.2C.1.D.0专项螺习三1.1.¾1y=kx1-7x-7的图象和X轴有交点，则k的取值范附是.2 .已知二次函数y=-W+2x+m的部分图象如图2所示，则关于X的一元二次方程-F+2x+w=O的解为3 .已知函数y=r'+bx+c的图象如图3所示,那么关于X的方程ax2+辰+c+2=O的根的状况是（A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4 .二次南y=ax2+bx+c（a0）的图象如图4所示，依据图象解答下列问题:（I）写出方程av2+ftv+c=O的两个根.（2）写出不等式如2+bx+c>O的解集.<3）写出），K1.的增大而减小的自变htx的取值范围.（4）若方程/+加+。=人有两个不相等的实数根，求人的取值范悦.专题四，利用二次函数解决实际问题本专段主要涉及从实际问题中建立二次函数模鞭,依据二次函数的攒值解决实际问题，能依据图象学习建立二次函数模型解决实际同跑.解决实际问逸的盛本思路：（D理解问题;（2）分析问鹿中的变呆和常最：（3）用函数表达式表示出它们之间的关系：（4）利用二次函数的有关性质进行求解：（5）检验结果的合理性对问题加以拓展等.例某商场格进价为2000元的冰箱以2400元售山，平均每天能售出8台，为了协作国家“家电下乡”政策的实施，商场确定实行适当的降价措施,调我表明：这种冰箱的竹价昨降低50元，平均好天就能多种出4台.<I）假设每台冰箱降价X元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出.y与K之间的函数表达式；（不要求写自变法的取值范用）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时乂要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种沐箱的利涧最高？最高利润是多少？专JK调练四1.小李想用黄笆用成一个周长为60米的矩形场地，矩出面枳S（单位：平方米）的矩形一边长X（单位：米）的改变而改变.（I）求S与X之间的函数关系式，并写出自变心N的取值范用；（2）当X是多少时，矩形场地面积S最大?最大面枳是多少?2 .某旅行社有客房120间，母间客房的日租金为50元，母大都客湎,旅社装修后要提高租金,经市场时查发觉，假如每间客房的日租金每增加5元时，则客房每天出租数就会IW减6间，不考虑其他因素，族社将每间客房的11租金提高到多少无时，客房I租金的总收入公通？3 .座拱桥的轮施是她物税型（如图I所示），祺岛6m瞪度20m,相邻两支柱间的距离均为5m.（1）将抛物线放在所给的百角坐标系中（如图2所示），求拊物线的解析式：（2）求支柱Er的长度：（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车1的间隔忽视不计）?谛说明你的理由.